1La rubrique « Notes » du Bulletin of the American Mathematical Society signalait quatre cours de mathématiques de niveau avancé donnés en 1916-1917 à Turin :
By Professor T. Boggio: Potential; selected topics of analytical mechanics, three hours. By Professor G. Fubini: Cantor’s numbers; entire and algebraic entire numbers; theory of numbers and forms with algebraic applications; applications of analysis to the theory of numbers, three hours. By Professor C. Segre: Higher views concerning elementary geometry, three hours. By Professor C. Somigliana: Electromagnetism with special regard to propagation phenomena, three hours. [BAMS 1916, Notes, 50]
2Trois de ces cours, ceux de Tommaso Boggio, Corrado Segre et Carlo Somigliana, étaient dans la lignée de la tradition d’enseignement de l’université de Turin. Celui de Fubini ne l’était pas. Ce cours détonne à la fois par le nom du titulaire, qui était un analyste, un mathématicien appliqué, et non un théoricien des nombres, et par le sujet, jamais inclus jusqu’alors dans l’offre de formation de l’université.
- 1 L’état de l’art par rapport au sujet « Fubini et la théorie des nombres» est simplement inexistant (...)
3Une analyse historico-critique du cours de théorie des nombres de Fubini apparaît donc digne d’intérêt sous un double point de vue : mathématique-institutionnel, d’une part, car il est l’un des premiers enseignements de cette discipline proposé en Italie, et patrimonial, d’autre part, car il permet de définir comment la communauté turinoise répertoriait un certain domaine de savoir au début du xxe siècle. Dans cet article, après avoir abordé la question du positionnement du cours de Fubini dans le paysage de la théorie des nombres en Italie entre la fin du xixe et le début du xxe siècle1, on partira de ces Lezioni pour retracer une pratique de patrimonialisation collective, c’est-à-dire pour analyser comment une communauté mathématique (l’École italienne de géométrie algébrique) liée à un lieu spécifique (l’université de Turin), organisait l’enseignement supérieur sur une année donnée (1916), identifiant ce qu’elle jugeait important de préserver et de transmettre par rapport à un certain domaine du savoir, aux ressources disponibles et à une identité construite dans le temps long.
4Le choix d’une telle focale d’analyse nous conduira tout d’abord à placer le cours de Fubini au carrefour de deux récits : l’histoire de ladite École italienne de géométrie algébrique et celle du patrimoine matériel de la Bibliothèque mathématique de l’université de Turin, deux récits étroitement liés dans la mesure où leurs acteurs (Enrico d’Ovidio, Corrado Segre, Gino Fano, Guido Fubini) coïncident. Par ailleurs, elle nous amènera à montrer que les notions du patrimoine et de la patrimonialisation sont effectivement pertinentes pour pour mettre en perspective les circonstances dans lesquelles le cours de Fubini a été professé (ainsi que les autres cours), pourvu que ces mêmes notions soient déclinées au moins dans trois sens différents : matériel, immatériel et culturel.
- 2 La figure de libero docente, instaurée en Italie en 1859 et abolie en 1970, n’a pas d’équivalent e (...)
- 3 L’équivalent du deuxième cycle.
5Pour comprendre pourquoi il est important de fixer les coordonnées géographiques et temporelles de notre étude de cas – l’université de Turin en 1916 – il faut prendre en compte le statut de la théorie des nombres dans l’Italie unifiée. La théorie des nombres est un domaine très peu représenté au niveau national jusqu’après la seconde guerre mondiale. Selon les périodes et les lieux, elle est intégrée aux cours confiés à des liberi docenti2, ou bien elle fait l’objet de cours d’analyse supérieure, l’un des trois enseignements de secondo biennio3, avec la géométrie et la mécanique supérieures, proposés dans toutes les universités de 1861 jusqu’à aujourd’hui. Entre 1885 et 1938, seuls 52 cours de théorie des nombres ont été délivrés, 35 au choix et 17 sous le titre d’analyse supérieure, un enseignement qui globalement abordait une palette très variée de sujets, en fonction des tradition locales et des enseignants chargés des cours. En 1916, par exemple, à Bologne (prof. Salvatore Pincherle) le cours d’analyse supérieure traitait la théorie des ensembles et des fonctions à variables réelles ; à Pise (Ulisse Dini) la théorie générale des séries et les représentations intégrales des fonctions analytiques ; à Rome (Umberto Crudeli) les fonctions de ligne, à Padoue (Francesco d’Arcais) les fonctions harmoniques et polyharmoniques.
6En l’absence d’une position légitimée du point de vue institutionnel, la recherche en théorie des nombres est, elle aussi, fortement conditionnée par la géographie, c’est-à-dire par la présence en certains lieux de communautés savantes (souvent réduites à un maître et à quelques élèves). Quatre d’entre eux sont les centres principaux de recherche en théorie des nombres : Turin, Pise, la Vénétie et la Sicile.
- 4 Voir [Butzer, Carbone et al. 1999], [Rowe 2018, 75, 154, 174–175]. Malheureusement, si le cas de C (...)
7À Turin et à Pise, depuis les années 1860-1870, Enrico Betti et Angelo Genocchi, fervents lecteurs des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, s’en approprient d’une manière autonome certains chapitres : équations algébriques, théorie de Galois, théorie des congruences, etc. [Mammone 1989], [Viola 1991]. Il s’agit cependant de cas isolés. Ni Betti ni Genocchi ne « font école », c’est pourquoi les jeunes qui souhaitent se perfectionner dans ce domaine sont obligés de compléter leur apprentissage à l’étranger : Ernesto Cesàro en Belgique (1870-1880), Luigi Bianchi à Munich et Göttingen (1879-18814).
8Le mérite de « combler une lacune spécifique dans la culture mathématique italienne » [Brigaglia & Scimone 1998, 520] revient à Bianchi qui, à partir de 1891, accroît la visibilité de la théorie des nombres à Pise à travers ses leçons dans lesquelles il introduit la théorie des idéaux selon l’approche allemande [Goldstein, Schappacher et al. 2007]. L’enseignement de Bianchi laisse une empreinte durable. Parmi ses élèves de l’École normale supérieure qui auraient abordé ces questions – d’une façon plus ou moins cohérente et continue – on peut citer Adolfo Viterbi, Onorato Nicoletti, Guido Fubini, Alberto Mario Bedarida, puis plus tard Giovanni Sansone, Luigi Fantappiè et Tito Chella.
- 5 Voir [Toti Rigatelli 1992], [Brigaglia 2017]. Il existe aussi des contributions de Giuseppe Verone (...)
- 6 L’examen de laurea, à la fin de la quatrième année d’études consiste dans la discussion publique d (...)
- 7 Le groupe de théoriciens des nombres commence à augmenter après la traduction italienne de textes (...)
9Un troisième centre d’intérêt est situé en Vénétie. Padoue est la seule université à envisager régulièrement des cours de théorie des nombres entre 1885 et 1921, confiés à un professeur de lycée avec libera docenza, Paolo Gazzaniga5. Aureliano Faifofer et Umberto Scarpis y obtiennent leur laurea6 ; ils deviendront tous deux enseignants et auteurs, respectivement, de la traduction italienne des Vorlesungen über Zahlentheorie de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Braunshweig, F. Vieweg und Sohn, 1877, Lezioni sulla Teoria dei numeri pubblicate e corredate di appendici da R. Dedekind, Venezia, Tip. Emiliana, 1881) et du premier manuel italien de théorie des nombres (Primi elementi della teoria dei numeri, Milano, Hoepli, 18977).
10La Sicile est le quatrième pôle de développement des études sur la théorie des nombres [Martini 2004], [Brigaglia 2020]. Les Rendiconti du Cercle mathématique de Palerme, qui comptent dans leur comité de rédaction Edmund Landau, publient des travaux de Michele Cipolla sur les équations algébriques dont toutes les racines sont des racines de l’unité, de Pia Nalli sur la série de Dirichlet, etc.
11Du début du xxe aux années 1920, grâce aux efforts individuels de cette petite poignée de théoriciens des nombres, la communauté mathématique italienne réussit, quoique difficilement, à maintenir en vie les liens avec les développements les plus récents de la recherche (non seulement celle effectuée en Allemagne, mais aussi celle menée en France et aux États-Unis). Preuve en est la production de traités : les trois volumes de la Teoria dei gruppi di ordine finito e sue applicazioni (1919-1923) de Michele Cipolla, l’ouvrage de Gaetano Scorza intitulé Corpi numerici ed algebre (1921) et surtout le livre de Bianchi que nous avons déjà cité, à savoir les Lezioni sulla teoria dei numeri algebrici, publiées en 1923 mais qui étaient issues d’un cours professé à Pise en 1920-1921.
12Néanmoins, l’algèbre abstraite accumulera un sérieux retard en Italie entre 1925 et 1938 [van der Waerden 1971], [Bottazzini & Gray 2013] : à contre-courant par rapport au mouvement international, les cours avancés, comme ceux de Bianchi à Pise, de Scorza à Catane et de Cipolla à Palerme, seront arrêtés presque partout.
13Qu’ils soient professés dans le cadre de cours libres ou de cours dits d’analyse supérieure, les enseignements en théorie des nombres étaient proposés durant les deux dernières années d’études et prenaient la forme de monographies.
14Chaque année, au printemps, le professeur (ou le libero docente) était tenu de fournir au Conseil de la faculté le titre et le résumé du programme. Durant l’été, il construisait le cours et parfois préparait un brouillon manuscrit de ses leçons. Par exemple, la Bibliothèque spéciale de mathématiques de Turin conserve 40 cahiers manuscrits des cours de géométrie supérieure donnés par Corrado Segre entre 1888 et 1924, 7 cahiers des leçons de Gino Fano, 35 de ceux d’Alessandro Terracini et plus de 150 polycopiés lithographiés des cours de mathématiques supérieures proposés dans toute l’Europe.
15Le professeur jouissait d’une complète liberté dans l’organisation du cours : en plus de choisir le thème, il structurait son enseignement comme il le jugeait le plus approprié suivant ses intérêts de recherche à un moment donné, ses préférences, son appartenance à un certain collectif de recherche. La construction d’un cours magistral est donc un moment de patrimonialisation du savoir par excellence, dans la mesure où elle demande de mettre en valeur sa culture, de mobiliser ses propres connaissances et lectures sur un certain sujet, parfois de commencer à étudier quelque chose de nouveau, éventuellement pour se situer ou se repositionner dans un courant de recherche. L’architecture d’un cours supérieur implique d’ailleurs un effort créatif qui :
[...] consiste ici à mettre en ordre, à clarifier, à simplifier. Ce travail peut aboutir parfois à l’invention de nouveaux concepts, de nouvelles méthodes, de nouvelles théories, mais surtout il contribue puissamment à organiser le savoir mathématique en imposant des choix : quelles sont les connaissances prérequises, quels sont parmi les résultats ceux qui sont jugés essentiels, ceux qui sont accessoires, ceux qu’il suffit de renvoyer en exercices d’application? Ces choix impliquent en effet non seulement une opinion sur la valeur didactique de tel ou tel mode d’exposition mais aussi une vision de la nature et de la structure du savoir mathématique. [Belhoste 1998, 299–300]
- 8 [Scorza 1930, 19–20] : La parte più ragguardevole delle contribuzioni italiane all’aritmetica pura (...)
16Pour comprendre les raisons qui poussent Fubini à choisir la théorie des nombres comme thème de son cours d’analyse supérieure de 1916-1917, il est ainsi nécessaire de prendre en compte sa trajectoire scientifique et professionnelle dans son intégralité. Tout d’abord, Fubini s’était formé à Pise, en contact étroit avec Bianchi. À vrai dire, Bianchi avait alors déjà arrêté ses recherches sur le groupe modulaire dans les corps quadratiques imaginaires, sur les formes de Dirichlet et d’Hermite et sur les formes quadratiques quaternaires à coefficients entiers, qui représentaient « la partie la plus remarquable des contributions italiennes à l’arithmétique pure du xixe siècle8 ». Cependant, les cours de Bianchi sur la théorie des groupes de substitution et sur les équations algébriques selon Galois (1897-1899) avaient fasciné Fubini et lui avaient transmis le goût de certains sujets : les formes quadratiques et hermitiennes, les polygones et polyèdres fondamentaux [Fubini 1929a, 66]. En tant qu’assistant bénévole auprès de Bianchi sur la chaire d’algèbre et de géométrie analytique, Fubini avait également acquis de solides compétences en algèbre abstraite et en théorie des groupes, domaines dans lesquels il avait publié ses premiers travaux et son livre Introduzione alla teoria dei gruppi discontinui e delle funzioni automorfe (Pisa, Spoerri, 1908).
- 9 Tels étaient, par exemple, les titres des cours donnés dans les deux années précédentes. 1914-1915 (...)
- 10 G. Fubini à T. Levi-Civita, 15.11.1916, in [Nastasi & Tazzioli 2003, 115] : Mi sono messo a studia (...)
17En deuxième lieu, Fubini réoriente ses travaux en 1916, passant de l’analyse à la géométrie projective-différentielle, sur laquelle se concentrera sa production ensuite jusqu’en 1937. Ce cours d’analyse supérieure entièrement consacré à la théorie des nombres – contrairement aux six autres qu’il avait donnés jusqu’alors à Turin – reflète ce tournant et révèle une évolution dans son parcours professionnel9. L’hypothèse est validée par un passage d’une lettre de Fubini à son ami Tullio Levi-Civita, où il écrit : « J’ai commencé à étudier la théorie des nombres, avec les applications à la géométrie des objets algébriques et je vais devenir un géomètre pur10 ».
- 11 [Picone 1946, 57] : delle cose belle e del nuovo, dotato di una prodigiosa versatilità.
- 12 D’après le résumé publié dans L’Enseignement mathématique (30, 1931, p. 151), le cours développait (...)
- 13 Cette partie se focalisait sur les réseaux modulaires et leurs liens avec l’analyse diophantienne.
18Troisièmement, Fubini est « le mathématicien le plus éclectique que l’Italie ait jamais eu » [Picone 1946, 57]. Admirateur « des belles choses et du nouveau, chercheur de prodigieuse polyvalence11 », il traite, soit dans ses travaux soit dans ses cours, de thèmes très différents. C’est évidemment cet éclectisme qui le conduit à proposer, en 28 ans d’enseignement à l’université de Turin, 23 sujets, appartenant à 4 domaines disciplinaires, dont la théorie des nombres, à laquelle il consacre deux cours (1916-1917 et 1931-193212) et une partie de celui du 1937-193813, le dernier avant qu’il ne soit contraint d’abandonner son poste en raison des lois raciales.
- 14 [Fubini 1935, 11] : grande paesaggio, in cui il ricercatore innalza edifici, costruisce e varia le (...)
- 15 [Fubini 1935, 11–12] : nei vecchi edifici abbandonati, ma non crollati, si trova un oggetto che in (...)
- 16 [Segre 1954, 282] : cosette graziose.
- 17 [Fubini 1929b, XXXVII] : fittissimo reticolato di vie che collegano l’uno all’altro teorema, e che (...)
19Enfin, l’enseignement de Fubini s’appuie moins sur le caractère systématique de la transmission que sur la volonté d’ouvrir de nouveaux horizons aux étudiants. Dans cette perspective, l’enseignement de la théorie des nombres paraît absolument approprié à Fubini, puisque ce champ montre très efficacement en quoi les mathématiques, tout en entretenant un rapport à leur histoire, n’en patrimonialisent que certaines composantes. La théorie des nombres apparaît en fait à Fubini comme un « grand paysage, dans lequel le chercheur élève des bâtiments, construit et fait varier les chemins qui mènent de l’un à l’autre : c’est un paysage étrange, où on arrive parfois aux endroits les plus inattendus14 ». Dans les itinéraires, des écarts minimaux peuvent conduire à des découvertes grandioses, les hypothèses d’où on était parti peuvent être modifiées, voire bouleversées. En théorie des nombres, les vieux bâtiments ne tombent jamais, mais ils tombent en désuétude, car de nouvelles constructions surgissent, nécessaires pour résoudre de nouveaux problèmes, de sorte que parfois « dans les vieux bâtiments abandonnés, mais pas effondrés, il y a un objet qui inspire de nouvelles idées, qui indique de nouveaux chemins, qui donne à l’ancienne construction une vie nouvelle et féconde15 ». Dans la salle de classe, donc, Fubini passera sous silence beaucoup de « petites mignonneries16 » du patrimoine de la théorie des nombres pour filtrer les résultats qui continuent à être des outils actifs de connaissance et pour se concentrer sur le « réseau très dense de chemins qui relient les théorèmes les uns aux autres, et qui ouvrent de nouveaux points de départ pour de nouvelles recherches17 ».
20S’il est vrai que les professeurs de cours avancés ont une totale autonomie dans la construction de leur enseignement, il existe néanmoins des contraintes qui, bien que non formelles, sont essentielles. Évidemment, ils ne peuvent pas ignorer la formation des étudiants, le patrimoine de connaissances qu’ils ont acquis dans les trois enseignements de base (algèbre, géométrie, calcul), ni les ressources disponibles, c’est-à-dire, ici, le patrimoine matériel des livres, journaux, tirés à part, lithographies, modèles de la Bibliothèque spéciale de mathématiques de l’université de Turin. Enfin, il faut que les professeurs n’échappent pas au patrimoine culturel du lieu où leur enseignement s’inscrit, c’est-à-dire à certaines identités collectives, certaines traditions de pensée forgées au fil du temps, et qui, dans le cas de l’université de Turin, s’incarnent dans deux Écoles : celle de Peano et celle de Segre.
21Comment Fubini se positionne-t-il face à tout cela ? Il est facile de répondre en ce qui concerne la première contrainte. En 1916, le niveau des enseignants, et par conséquent la préparation des étudiants turinois en algèbre est très faible. La chaire d’algèbre complémentaire et de géométrie analytique est occupée depuis 1872 par Enrico d’Ovidio, l’un des pères-fondateurs de l’École italienne de géométrie algébrique, qui avait acquis une certaine notoriété dans sa jeunesse grâce à d’élégants travaux sur les formes algébriques et en particulier sur les formes binaires et leurs invariants. Depuis les années 1890 toutefois, le cumul de postes (recteur, doyen de la faculté des sciences, membre du Conseil supérieur de l’enseignement public, directeur de l’École polytechnique de Turin, etc.) avait complètement détourné d’Ovidio de la recherche. Sur le plan pédagogique également, les lithographies de ses cours d’algèbre, disponibles dans de multiples éditions successives, dont la dernière était datée de 1903, renvoient l’image d’un enseignement démodé à tous points de vue (contenu, méthode, langue).
22Il s’avère en revanche beaucoup plus complexe de s’interroger sur les deux autres formes (le patrimoine matériel de l’université de Turin et le patrimoine culturel du milieu) de contraintes pesant sur l’enseignement de Fubini.
- 18 Sur les caractéristiques de cette identité voir [Conte & Giacardi 2016], [Luciano & Roero 2016].
23À l’université de Turin, tant l’enseignement supérieur que la gestion de la Bibliothèque spéciale de mathématiques sont « monopolisés » par les membres d’une communauté de recherche à l’identité très forte : celle que l’on appelle habituellement l’École italienne de géométrie algébrique18. D’Ovidio donne les cours d’analyse supérieure pendant vingt ans (1888-1908) et dirige la Bibliothèque pendant presque autant d’années (1883-1906) ; les cours de géométrie supérieure sont professés pendant quarante ans d’affilée par Segre, également directeur de la Bibliothèque de 1907 à 1924. La seule exception se produit au cours de la période 1908-1910, lorsque Giuseppe Peano est chargé de l’enseignement d’analyse supérieure. L’expérience n’est pas du tout positive. Sans même lui faire terminer le deuxième semestre, Segre, d’Ovidio, Fano et Somigliana relèvent Peano de ses fonctions, en invoquant les raisons suivantes :
- 19 Archivio Storico dell’Università di Torino, VII, 83, Verbale del 17.3.1910, in [Luciano 2006, 65–6 (...)
les deux cours d’Analyse Supérieure dispensés par le prof. Peano pendant ces dernières années ont des défauts [...]. Ils ont un caractère fragmentaire, asystématique, ils abordent (sauf exceptions non significatives) des sujets détachés, qui semblent être choisis au hasard, sans jamais ou presque jamais approfondir aucune de ces théories qui sont généralement connues sous le nom d’analyse supérieure. En revanche, chaque argument n’est traité ici que dans la mesure où le permettent la logique mathématique et le Formulario, tels qu’ils ont été développés jusqu’à présent. Le Formulario est le texte de référence pour les étudiants d’analyse supérieure de notre faculté. Or, à notre avis, cela ne correspond pas à ce qu’un tel cours doit être. Ce n’est pas ainsi que les jeunes chercheurs de valeur peuvent être mis en contact avec les travaux de pointe qui sont conduits en analyse supérieure. Ainsi, ils feront leur l’orientation critique dans laquelle le prof. Peano est un maître, et non l’orientation constructive, qui est essentielle à cette matière19.
24L’histoire avait laissé des séquelles et son écho ne s’était pas encore éteint en 1916. Ainsi, quelques mois seulement avant le début des leçons de Fubini, Peano était intervenu au Conseil de la faculté pour demander que le cours d’analyse supérieure lui soit rendu :
- 20 Archivio Storico dell’Università di Torino, VII, 83, Verbale dell’11.3.1915, in [Luciano 2006, 68– (...)
Dans presque toutes les universités, l’enseignement d’analyse supérieure est confié au professeur de calcul infinitésimal, qui par conséquent se voit donner l’opportunité de conduire ses jeunes étudiants à l’étude et à la recherche dans les domaines avancés de l’analyse. Il juge donc peu conforme aux souhaits des études que, après l’avoir chargé de ce cours dans les deux années 1908-1909 et 1909-1910, ils le lui ont enlevé, au mépris de ses mérites, pour attribuer l’enseignement à une personne [Fubini] qui par le passé ne s’est pas montrée au courant de ses travaux, qui suivent une autre approche, ce qui donne ainsi lieu à une séparation complète entre les cours de calcul infinitésimal et d’analyse supérieure20.
- 21 Toutes les sources historiques compulsées par Peano dans les différentes éditions du Formulario so (...)
25À vrai dire, en 1916 Fubini n’est pas encore rattaché à l’École italienne de géométrie algébrique : il est arrivé à Turin en 1908 comme professeur ordinaire d’analyse infinitésimale à l’École polytechnique et il devient professeur associé d’analyse supérieure à l’université à partir de 1910. Cependant, lorsqu’il sélectionne un sujet, comme la théorie des nombres, atypique par rapport au milieu turinois, il ne peut ni ne veut ignorer les « sensibilités » de ses collègues, en particulier d’Ovidio, Peano, Segre et Fano. Nous avons déjà parlé de d’Ovidio. Peano, ancien élève de Genocchi, cultive un intérêt tout sauf épisodique pour la théorie des nombres, mais seulement pour ses aspects historiques. Cet intérêt s’est développé au fil des ans grâce aux études préparatoires à la compilation des notes historiques des chapitres « Arithmétique » et « Théorie des Nombres » du Formulario21, la série encyclopédique de textes à laquelle Peano et son École se sont consacrés pendant les années 1891-1908. Avec Giovanni Vacca, son assistant et élève, Peano a repéré et traduit en symboles logico-mathématiques des dizaines d’extraits de Diophante, Fermat, Wilson, Leibniz, Goldbach, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann et, pour questionner la cohérence de ses interprétations, il est entré en contact avec des historiens de l’arithmétique supérieure, tels qu’Otto Stolz et Gustav Wertheim. En 1916, cependant, comme l’épisode ci-dessus nous le montre, Peano n’était pas une figure influente ou appréciée dans l’espace social académique de Turin.
- 22 Le fichier Segre est conservé à Turin, dans la Bibliothèque spéciale de mathématique, [cf. Conte (...)
- 23 Le catalogue de la bibliothèque personnelle de Segre est publié dans [Luciano & Roero 2016, 211–23 (...)
26En deuxième lieu, il y a Segre, qui avait été « à l’École Klein » en 1891 et qui considérait les mathématiciens allemands comme ses « maîtres à distance » [Luciano & Roero 2012, 18–27, 45–55]. Segre avait accumulé des compétences en théorie des nombres, en particulier en ce qui concerne la théorie des groupes, des formes et les corps cyclotomiques. Mathématicien cultivé, il avait étudié en profondeur non seulement la production allemande (Richard Dedekind, Alexander Brill, Max Nöther, Heinrich Weber, Georg Scheffers,...), mais aussi les travaux des Américains : Leonard Eugene Dickson, George A. Miller, Hans Frederick Blichtfeld, Maxime Bôcher. Néanmoins, cela ne l’empêchait pas d’avoir une vision très orientée de la théorie des nombres, ce dont atteste son Schedario personale [fiches personnelles], une source d’une importance primordiale pour identifier le patrimoine matériel et immatériel d’un géomètre italien de l’époque. Le Schedario Segre (comportant plus de 500 fiches matières manuscrites) comprend une fiche « Teoria dei numeri », dans la section « Didattica », avec seulement deux titres : les manuels élémentaires de Scarpis (1897) et de Gazzaniga (1903). En revanche, la fiche « Teoria dei numeri (geom.) » catalogue 14 travaux : les classiques points de repère (Gauss et Dirichlet-Dedekind), un essai de Felix Klein (colloque d’Evanston), deux livres de Hermann Minkowski (géométrie des nombres), deux mémoires par Edmund Busche, etc.22 Il faut noter par ailleurs que cette polarisation des lectures de Segre relativement à la théorie des nombres correspond parfaitement à l’analyse de son patrimoine matériel (sa bibliothèque et sa collection d’opuscules23).
- 24 [Fano 1895], [Peano 1895, 101–114]. Il s’agit en fait de la traduction en symboles logico-mathémat (...)
27Enfin, parmi les interlocuteurs de Fubini on rencontre Fano, ancien élève de Segre et lui aussi géomètre algébrique. Pendant un séjour d’étude à Göttingen en 1893-1894 (semestre d’hiver), Fano avait suivi un cours sur les fonctions automorphes de Klein, un cours de Zahlentheorie par Ernst Christian Julius Schering et un cours sur la théorie des nombres algébriques par Heinrich Weber [Fano 1894, 177, 183]. De retour en Italie, non seulement Fano avait rapporté une collection de Specialvorlesungen lithographiées de Klein, Hilbert, Weber et d’autres, qu’il avait remises à la Bibliothèque spéciale de mathématiques, mais il avait aussi été chargé par Peano d’écrire et de référencer l’entrée « Nombres algébriques » du Formulario. Il avait ainsi passé quelques mois à traduire en symboles idéographiques la première partie du cours de Weber relatif aux concepts de nombre algébrique, de corps de nombres et au problème de décomposition en idéaux d’après Dedekind24. Néanmoins, même s’il était au courant des progrès de l’algèbre abstraite et de la théorie des nombres grâce à un large réseau de relations internationales, Fano avait abandonné ces sujets depuis longtemps en 1916.
28Finalement, lors de l’organisation de son enseignement de théorie des nombres de 1916, la communauté savante avec laquelle Fubini est supposé interagir partage certaines caractéristiques :
- la filiation avec l’Allemagne, notamment l’université de Göttingen, à laquelle plus ou moins tous les collègues de Fubini pensent quand ils entendent parler de théorie des nombres ;
- une formation lacunaire en algèbre abstraite, mais une excellente culture géométrique (notamment en géométrie algébrique), largement partagée parmi les élèves de Segre ;
- la tendance à valoriser aussi les implications didactiques de la théorie des nombres. À cet égard, à l’université de Turin, les enseignements avancés étaient rarement complètement déconnectés des cours de pédagogie des mathématiques donnés par Segre à la faculté du Magistero. Le lien entre la recherche et l’enseignement était particulièrement fort chez tous les mathématiciens turinois, et ce n’est pas un hasard si les membres des Écoles de Peano et de Segre présentaient un profil mixte d’enseignants-chercheurs, c’est-à-dire d’enseignants du secondaire (collège ou lycée), ayant une production de recherche en logique, fondements, géométrie algébrique, mathématiques élémentaires d’un point de vue supérieur25, histoire des mathématiques, etc.
- 26 Archivio Volterra, Accademia dei Lincei, C. Somigliana a V. Volterra, 15.5.1916 : vivere nel limbo (...)
- 27 Le cahier manuscrit relatif au cours de géométrie supérieure donné par Segre au cours de l’année a (...)
29Une dernière remarque s’impose à propos du patrimoine culturel (point 1). Lorsque Fubini donne sa première leçon de théorie des nombres, le lundi 6 novembre 1916, l’Italie traverse une période dramatique. Après l’entrée en guerre aux côtés de la Triple Entente, les conditions économiques et sociales du pays se détériorent considérablement. Le recrutement militaire vide les salles de classe. Ainsi, Fubini se trouve face à une vingtaine d’étudiants, pour la plupart des femmes, qui suivent en parallèle les cours de mécanique supérieure de Somigliana et de géométrie supérieure de Segre. Au risque d’être accusés par les collègues interventionnistes, comme Somigliana lui-même, de « vivre dans les limbes des saints Pères, ignorant la guerre, sans aucune antipathie ni sympathie pour personne, sauf le dû respect aux Allemands26 », Segre et Fubini choisissent pour cette année deux thèmes clairement en lien avec l’Allemagne : les mathématiques élémentaires d’un point de vue avancé et la théorie des nombres27. La circonstance peut être révélatrice de l’existence d’une communauté, qu’on l’appelle école ou non, qui partage non seulement un patrimoine de savoir mathématique mais aussi des valeurs, ainsi que des convictions politiques et idéologiques.
30Lorsqu’un professeur construit son cours, pendant son buen retiro d’été, il tire parti de tout son patrimoine matériel (bibliothèque et « miscellanea »). On ne connaît pas le contenu de ce patrimoine pour Fubini, car lorsqu’il quitte l’Italie pour Paris, puis pour Princeton, en raison des persécutions antisémites, il emporte peu de choses avec lui. Cependant il n’y a aucune raison de penser que le corpus dont disposait Fubini ait été de dimension différente de ceux de ses collègues Segre (407 livres, 5783 extraits, tirés à part et opuscules), Peano (203, 2671), et Fano (187, 10223).
- 28 C’est-à-dire les étudiants qui faisaient une « tesi di laurea», qui est un mémoire de fin d’études (...)
- 29 C. Segre au doyen de l’université de Turin, 25.2.1916, in [Giacardi & Roero 1999, 444].
31Le dernier acte dans la construction d’un cours magistral implique cependant la nécessité de cerner avec soin la littérature à utiliser en classe, de l’adapter aux ressources réellement disponibles aux étudiants, aux tesisti28 et aux chercheurs en formation. La situation ne joue pas ici en faveur de Fubini, qui doit tenir compte de l’interdiction d’importer des marchandises auprès des Empires centraux (y compris des livres et des journaux), une interdiction contre laquelle Segre avait en vain protesté en février 1916, en tant que directeur de la Bibliothèque spéciale de mathématiques29.
- 30 Il n’y a pas de références explicites ou implicites à la tradition anglo-américaine de la théorie (...)
- 31 Archivio Storico dell’Università di Torino : Consorzio Universitario Piemontese. Prospetto delle v (...)
32La lithographie des Lezioni di Teoria dei numeri de Fubini ne comprend pas de bibliographie (il était exceptionnel que les cours polycopiés en comportent) et donne également très peu de références qui sont par ailleurs toutes de provenance italienne ou allemande30. On y trouve huit références en tout, dont quatre citations explicites : les Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet-Dedekind dans la traduction de Faifofer, un cours lithographié de Bianchi du 1911-1912, les Vorlesungen über Zahlentheorie de Julius Sommer et le livre Diophantische Approximationen de Minkowski. Les quatre autres références sont des allusions génériques aux « méthodes de Kummer, Dedekind, Kronecker, Hilbert », aux « leçons de Minkowski », à la « théorie de Kronecker-Hilbert » et aux « résultats de Kummer » [Fubini 1917, 136, 141, 142, 152, 168, 208, 231]. Il s’agit de textes tous présents dans la Bibliothèque spéciale de mathématiques de Turin qui possédait la Geometrie der Zahlen de Minkowski (1896) depuis 1898 et les Diophantische Approximationen du même auteur depuis l’année de parution (1907). Une copie des Vorlesungen über Zahlentheorie de Sommer avait également été donnée par Fubini à la Bibliothèque en 1907, juste après la publication31.
33Outre des volumes et des collections de journaux, la Bibliothèque possédait une autre ressource formidable : la miscellanea (les mélanges) [Luciano 2018]. Créée en 1883, à partir d’un noyau initial d’environ 700 pièces, la collection des opuscules fut valorisée au fil du temps par les directeurs Segre et Fano. Le recueil, qui, à l’imitation de la légendaire collection de Göttingen, était entièrement mis à disposition des chercheurs dans la salle de lecture de la Bibliothèque, contenait avant la deuxième guerre mondiale des milliers d’extraits, tirés à part, brochures et lithographies, beaucoup provenant de dons et legs de Segre (5783 pièces), Peano (2670), Fano (4115), Fubini, Somigliana. Les bombardements alliés de 1943, en brûlant la salle de lecture de la Bibliothèque, ont causé des dommages importants : 3856 pièces ont été perdues. Du côté de la théorie des nombres, les professeurs et les étudiants de master pouvaient y trouver, par exemple, l’essai de Kronecker Über bilineare Formen mit vier Variabeln (1883) acquis en 1891, les Beiträge zur analytischen Zahlentheorie de Landau acquis en 1908, le travail de Hilbert Die Theorie der algebraischen Zahlkörper dans son édition française par Lévy (Théorie des corps de nombres algébriques, 1910), acquis en 1912, mais aussi des écrits parus partout dans le monde : en Amérique (L. E. Dickson, G. A. Miller, H. F. Blichfeldt...), en Angleterre (Godfrey Hardy, Louis Mordell...), au Japon (Matsusaburo Fujiwara, Toshikazu Suzuki). Enfin, les étudiants pouvaient consulter un recueil de notes de cours magistraux tenus dans plusieurs universités italiennes et allemandes, y compris les lithographies des leçons de théorie des nombres de Bianchi, Weber (Lehrbuch der Algebra, 1895) et Klein (Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie, 1896).
34Bref, les étudiants du cours de théorie des nombres de Fubini avaient à leur disposition un riche patrimoine matériel, mais un corpus de textes et de sources visiblement polarisé vers l’Allemagne dans la mesure où il avait été sélectionné et accumulé au fil des ans (à partir de 1883) par des membres d’une communauté savante avec une identité bien définie (géomètres algébriques qui avaient tous passé un ou plusieurs séjours d’études à Göttingen).
35Les considérations précédentes sont corroborées par l’analyse de la structure et de l’articulation des Leçons de théorie des nombres de Fubini.
- 32 L’indicatrice d’Euler ou fonction phi d’Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nomb (...)
36Conscient de la formation incomplète de ses étudiants en algèbre, Fubini consacre les quatre premières leçons à des sujets préparatoires, nécessaires à la compréhension des développements successifs : divisibilité, algorithme euclidien pour calculer le PGCD, résolubilité en nombre entiers de l’équation diophantienne ax + by = 1 avec a, b premiers entre eux et unicité de la décomposition des entiers en facteurs premiers. Les notions de champ holoïde (anneau algébrique, dans la terminologie d’aujourd’hui), de module et d’idéal lui permettent de démontrer le théorème d’infinité des nombres premiers et d’esquisser l’étude de la fonction φ(m) de Gauss32. Les éléments classiques de l’arithmétique des congruences (mod m) sont illustrés : petit théorème de Fermat, congruences linéaires et leurs systèmes, théorème des restes chinois, théorème de Wilson, racines primitives et indices, pour aboutir à la résolution des équations sur les congruences xn ≡ D(mod p) et à l’énoncé de la loi de réciprocité quadratique.
37Aucun des sujets abordés dans ces premières leçons, ni leur exposition, n’est, bien entendu, « original », à tel point que Fubini ne ressent pas le besoin de répertorier des références bibliographiques. En s’adressant à des étudiants qui n’avaient entendu parler d’algèbre abstraite que par le cours de d’Ovidio, Fubini se sent « obligé » de suivre fidèlement les manuels italiens : Scarpis, Gazzaniga, Chebyshev-Massarini et Bianchi.
38Pour répondre aux exigences d’un public d’élèves qui se destine majoritairement à l’enseignement secondaire, Fubini ne manque pas de souligner certains volets pédagogiques des sujets développés. Annetta Segre et Luisa Ghigi tireront profit de ces suggestions « complémentaires » dans leurs deux mémoires d’habilitation à la profession d’enseignant.
39La partie centrale du cours de Fubini (15 leçons sur un total de 24) porte sur quatre « chapitres choisis » de théorie des nombres : géométrie des nombres, théorie des formes, nombres algébriques et arithmétique analytique. En ce qui concerne le premier, Fubini se propose de rechercher des éléments de réseaux de points pour lesquels une certaine forme quadratique prend une valeur minimale. Le problème est réduit à l’étude des points avec des coordonnées entières contenus dans des figures particulières, et ceci est étroitement lié à l’étude de la réduction des formes quadratiques à coefficients entiers. Six heures sont destinées à démontrer d’importants théorèmes sur la structure des entiers dans un corps de nombres, en particulier la finitude du groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres et le théorème de Dirichlet sur la structure du groupe des unités. Le cours se poursuit par un chapitre sur l’équivalence de structure, ou mieux sur l’équivalence de catégorie, entre les coniques et les formes quadratiques. Trois leçons abordent la théorie des entiers algébriques, démontrant leur structure d’anneau et de module sur l’anneau des entiers, et en présentant les analogies et les différences que cette théorie comporte avec l’arithmétique classique. Quatre autres leçons traitent enfin de la divisibilité en nombres entiers algébriques et des liens entre la théorie des idéaux et celle des formes.
40Si le croisement des sujets et les objectifs « techniques » de Fubini (c’est-à-dire les résultats qu’il vise à transmettre) sont clairs, ses stratégies de patrimonialisation le sont beaucoup moins. Par exemple, en dehors des références explicites aux ouvrages de Minkowski et aux conférences lithographiées de Klein de 1896, on ne peut pas ne pas s’interroger sur l’attention « disproportionnée » qu’il accorde à la géométrie des nombres, sauf à évoquer l’hypothèse formulée auparavant, à savoir que Fubini avait « commencé à étudier la théorie des nombres pour devenir un géomètre pur ». On peut également s’interroger sur l’étrange processus de patrimonialisation de la théorie des idéaux et de celle des formes. En effet, bien qu’il soit conscient du fait que les langages des idéaux et des formes sont équivalents en vertu d’une correspondance introduite par Hilbert, Fubini ne se résout pas à adopter une approche unique et développe d’abord la perspective de Dedekind (en introduisant les idéaux comme les PGCD « manquants » des éléments dans l’anneau des entiers d’un champ holoïde), puis dans un second temps selon le « point de vue » de Kronecker [Fubini 1917, 137–142, 159–168 ; 144–147, 168–175].
41Un dernier aspect à évaluer concerne la cohérence entre le sujet principal du cours de Fubini, sa vision et celle de ses collègues des caractéristiques de l’enseignement supérieur. À cet égard, on peut dire que, conformément aux objectifs qu’il s’était fixés, Fubini vise à donner beaucoup d’idées à ceux qui commencent des études en théorie des nombres, en acceptant de faire l’économie sur plusieurs points de ses chapitres choisis par exemple en sacrifiant la rigueur sur certains points des démonstrations pour le théorème des unités de Dirichlet ou la finitude du groupe des classes.
42La sélection est faite entièrement en vue de la dernière partie du cours, qui peut à juste titre être considérée comme celle relevant de l’apprentissage à la recherche, et qui se joue sur trois thèmes : arithmétique analytique (fonctions zêta de Riemann et de Dedekind), arithmétique des corps quadratiques et ses applications (dont le dernier théorème de Fermat), corps intermédiaires des extensions cyclotomiques [Fubini 1917, 219–221]. Les outils précédemment introduits permettent alors à Fubini de créer des ponts et faire des connexions entre des « phénomènes très disparates » qui, à son avis, rendent particulièrement évocatrice la théorie des nombres en tant que discipline ou le processus par lequel son patrimoine s’est construit au fil des siècles. Ainsi, par exemple, en se référant à la tradition de Göttingen, il part de la détermination des positions des sommets de polygones réguliers, pour arriver aux équations cyclotomiques, qu’il aborde en profondeur : il veut trouver des générateurs de sous-champs des champs cyclotomiques (les périodes de Gauss) et exploiter leurs propriétés pour exprimer par radicaux la racine primitive ℓ-ième de l’unité Z. Finalement, la conclusion de son cours est complètement consacrée à la loi de réciprocité quadratique, non seulement parce qu’elle est historiquement fondamentale, mais encore parce qu’elle constitue le point de départ des généralisations concernant l’arithmétique des champs de nombres et la structure de leurs groupes galoisiens.
43Si elles constituent une trace importante d’un des rares cours de théorie des nombres professés en Italie au début du xxe siècle, les Lezioni de Fubini, situées au carrefour entre le Fubini-analyste et le Fubini-géomètre pur, témoignent également de sa capacité à s’inscrire dans une tradition de recherche dominante à l’université de Turin en 1916, d’une part sans trahir sa formation et ses idées, d’autre part en adaptant son enseignement aux ressources matérielles disponibles et en le déclinant conformément à l’identité collective des collègues géomètres.
44En adoptant une focale d’analyse patrimoniale par rapport aux Leçons de Fubini, au moins trois sens ont pu être conférés aux termes patrimoine et patrimonialisation :
- Sens matériel. C’est le concept de patrimoine tiré des sciences économiques ou financières, et dans notre cas, l’ensemble des biens et des ressources à disposition des mathématiciens de Turin (bibliothèques, collections et archives soit publiques soit privées). Les formes du processus de patrimonialisation mises en avant sont à cet égard les formes classiques de la gestion patrimoniale des biens possédés par une personne physique ou morale : acquisition, administration, conservation, valorisation ;
- Sens immatériel. Il s’agit du sens consacré par l’étymologie et les sciences juridiques : le patrimoine comme héritage, construit par le père, légué par lui, et à transmettre aux générations futures. Dans notre optique, il s’agit d’un patrimoine immatériel de connaissances en théorie des nombres, transmis par l’enseignement ; la filiation doit être conçue au sens large, parce que la transmission a lieu soit entre le professeur d’analyse supérieure (Fubini) et ses étudiants, soit entre le maître (Segre) et un candidat membre de l’École (Fubini). Le processus de patrimonialisation s’effectue par la sélection, l’organisation et la transmission d’un corpus de connaissances, même si cela peut aboutir à des solutions originales, voire à un travail créatif. Le processus de patrimonialisation est semi-collectif, c’est-à-dire que du point de vue officiel Fubini est le seul acteur, le seul qui choisit comment gérer son cours, quels contenus de théorie des nombres sont à préserver et à transmettre, mais il le fait en accord et sous le contrôle de l’École ;
- Patrimoine culturel. Ce qui est perçu par un groupe de mathématiciens comme étant digne d’être transmis n’est pas forcément un ensemble de contenus mathématiques. Dans une école de recherche on peut notamment observer un processus de fabrication d’un patrimoine partagé de références extra-mathématiques, qui joue une importance capitale dans une optique identitaire, en procurant aux membres de l’École un sentiment d’identité, d’enracinement et de continuité. Les marqueurs de cette forme de patrimonialisation sont les plus difficiles à saisir, puisqu’elle relève de la construction stratifiée d’une identité culturelle de groupe et a une large dimension orale33. La sociabilité devient une composante essentielle de cet aspect : l’école n’est pas seulement une communauté de pratique mathématique, c’est un groupe d’amis, une famille, dont les membres (d’ailleurs tous appartenant à une même communauté ethnique, juive, très restreinte à Turin) partagent bien plus que les mathématiques : des valeurs, des idéaux, des convictions politiques, etc.
45Enfin, outre sa pertinence pour analyser le cours de théorie des nombres de Fubini, une telle focale d’analyse a également un potentiel heuristique puisqu’elle pourrait être utilisée pour mettre en lumière les formes de patrimonialisation mises en place par l’École italienne de géométrie algébrique sur une temporalité plus longue et à une échelle plus large, dans des espaces autres que l’université de Turin.