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Les structures bourbakistes: objets ou concepts épistémiques ?

Bourbaki: Structures as Epistemic Objects or Concepts?
Paola Cantù et Frédéric Patras
p. 233-259

Résumés

Deux courants de pensée jouent un rôle important dans la philosophie des mathématiques contemporaine. Le structuralisme, s’il n’est pas une idée nouvelle, continue de se déployer en des directions multiples – de la pratique mathématique jusqu’à ses dimensions ontologiques –, et de faire l’objet d’études, par exemple en direction des modalités de sa genèse. L’épistémologie historique, dont la conception classique a été largement enrichie récemment, est également au cœur de débats qui renouvellent la philosophie des sciences bien au-delà de ses problématiques classiques. Son usage en mathématiques requiert toutefois des analyses spécifiques du fait de leurs idiosyncrasies, des notions comme celle de rigueur, d’expérience ou d’ontologie y ayant un sens et une charge historique différentes de celles qu’elles ont dans les sciences de la nature. Le propos de cet article sera de mettre en situation certains de ces débats en se concentrant sur un des phénomènes les plus significatifs du xxe siècle mathématique: le structuralisme de Bourbaki. Il s’intéressera en particulier aux potentialités de l’épistémologie historique, en cherchant à montrer que ses outils permettent de mieux comprendre certains enjeux du structuralisme. L’accent sera mis en particulier sur deux notions clés dans les travaux de Rheinberger, Daston et Hacking, celles d’objets et de concepts épistémiques.

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Texte intégral

1 Introduction

  • 1 Dans le contexte mathématique, très spécifique, il conviendrait sans doute de leur associer Léon B (...)

1On associe classiquement, en France, l’épistémologie historique aux noms de Bachelard, Canguilhem et Foucault [Braunstein, Diez, et al. 2019]1.

2Entendue ainsi, l’épistémologie historique est d’abord une épistémologie: elle est attentive aux concepts scientifiques plutôt qu’à la théorie générale de la connaissance (l’epistemology telle que la conçoit la tradition anglo-saxonne). Elle est historique en tant que, attentive aux mutations des concepts, des théories et aux ruptures épistémologiques, elle sait devoir inscrire leur étude dans un contexte historique. Il se trouve que les mathématiques ont de ce point de vue un statut spécial. Bachelard lui-même, si attaché à l’idée de rupture, insiste sur les idiosyncrasies mathématiques : selon la formule de La Formation de l’esprit scientifique, l’histoire des mathématiques serait une merveille de régularité connaissant, certes, des périodes d’arrêt, mais pas de périodes d’erreur [Bachelard 1938].

3Les travaux de Ian Hacking sur l’ontologie historique et ceux de Daston et Rheinberger ont par ailleurs donné naissance à une autre forme d’épistémologie, également identifiée comme « épistémologie historique » dans la littérature. Nous la qualifierons ici, pour la distinguer de la première, d’épistémologie historique analytique. Elle est sensible aux enjeux clés de l’épistémologie historique à la Bachelard (ruptures, mutations conceptuelles...), et lui reconnaît parfois une certaine forme de paternité historique aux côtés de Foucault [Hacking 1975, 2002], [Rheinberger 1997, 2005, 2010, 2012], [Daston 2000, Daston & Galison 2007]. La spécificité de cette seconde approche que nous retiendrons ici, et qui justifie qu’on la distingue de la filiation bachelardienne directe, est d’avoir été fortement influencée par les méthodes analytiques. Cette influence s’observe dans les développements théoriques ou les descriptions effectuées avec, par exemple, des positionnements relatifs aux enjeux discursifs et linguistiques ou aux constructions sociales – positionnements qui peuvent expliquer le rôle joué par Foucault, médiateur naturel entre les deux traditions. Elle s’observe aussi dans un souci ontologique, dont on voit déjà la manifestation dans les choix terminologiques effectués par Hacking (« ontologie historique).

4Ceci dit, l’objet de cet article n’est pas d’entrer dans les détails du développement de l’ontologie historique et celui de ses rapports possibles aux mathématiques – nous le ferons ailleurs –, mais de se concentrer sur une distinction ontologique précise, développée au sein de l’approche analytique, et qui nous semble fondamentale : celle entre objets et concepts épistémiques, sous la forme proposée par Feest & Sturm [2011]. L’épistémologie historique analytique a en effet récemment revisité l’opposition classique entre concepts et objets scientifiques, thèse qui mérite d’être analysée en détail pour en comprendre l’origine et les applications possibles aux mathématiques.

5La distinction entre objet et concept épistémiques selon Feest & Sturm s’écarte de schémas classiques, aussi variés soient-ils, en ce qu’elle ne se réfère plus aux objets et concepts d’une théorie scientifique, mais à ceux-ci en tant qu’ils peuvent devenir objets d’étude de l’épistémologie historique elle-même, et donc en tant qu’ils peuvent être doublement chargés d’une épaisseur épistémologique et d’une épaisseur historique [Feest & Sturm 2011]. L’opposition entre objets et concepts ne porte ainsi plus seulement sur une opposition ontologique ou sémantique classique où les objets « tomberaient sous les concepts » (Kant), seraient des éléments d’une classe d’équivalence définissant le concept (Frege) ou, de façon plus formelle, seraient des modèles de concepts compris sur un mode axiomatique (au sens où par exemple l’« objet » groupe orthogonal O(3) serait un modèle de la notion axiomatique de groupe, groupe de Lie ou groupe algébrique).

6La nouvelle distinction qui se met en place est désormais plutôt entre concepts considérés comme objets d’étude des théories scientifiques (les objets épistémiques) ou comme outils pour « l’organisation intellectuelle et pratique d’une panoplie d’activités » (les concepts épistémiques) [Hacking 2002, 21]. Prenons un exemple concret, du type de ceux que nous développerons ensuite, et qui illustre comment nous entendons mettre en œuvre cette distinction: le concept de groupe. Il sera conçu comme objet épistémique lorsque son concept formalisé fera l’objet d’une attention épistémologique spécifique aux modalités du développement de sa théorie. Il sera conçu comme concept épistémique lorsque sa notion sera invoquée comme principe organisateur, ou comme notion unifiant des classes différentes de phénomènes mathématiques.

7De façon plus précise encore, cet article se propose de mobiliser cette distinction entre objet et concept épistémiques, telle que théorisée au sein de l’épistémologie historique analytique, pour aborder sous un nouvel angle la notion de structure dans l’œuvre du collectif de mathématiciens Bourbaki, emblématique d’un des grands courants des mathématiques du xxe siècle, le structuralisme.

8On verra en particulier que cette distinction fait écho à une distinction fondamentale au sein du corpus bourbakiste entre deux usages du mot « structure ». Prenons le cas des groupes. Le programme d’Erlangen, par exemple, qui propose d’étudier les géométries à partir des groupes de transformation associés, a été rétrospectivement compris comme relevant d’une « démarche structuraliste » avant l’heure : chercher « la structure » sous-jacente aux différentes géométries (euclidienne, projective, hyperbolique, sphérique, riemanienne...).

On aboutit ainsi à une classification rationnelle et « structurale » des théorèmes de « géométrie » suivant le groupe dont ils relèvent : groupe linéaire pour la géométrie projective, groupe orthogonal pour les systèmes métriques, groupe symplectique pour la géométrie du « complexe linéaire. [Bourbaki 2007a, 195]

Dans ce cadre, la notion de groupe est mobilisée comme principe organisateur, et donc sur le mode des concepts épistémiques. Lorsque cette notion est abordée par contre d’un point de vue technique, au travers du développement de sa théorie et son analyse épistémologique, elle devient objet épistémique.

2 Les structures chez Bourbaki

  • 2 Ces deux utilisations sont à rapprocher de l’idée de « structuralisme » telle qu’on la trouve en s (...)
  • 3 Toutes les traductions sont dues aux auteurs, sauf mention contraire.

9Précisons encore notre méthode et notre propos. Ces deux utilisations, chez Bourbaki, de la notion de structure se retrouvent ailleurs dans les mathématiques de la première moitié du xxe siècle, pas toujours avec l’utilisation du mot « structure » lui-même, mais avec les mêmes concepts sous-jacents [Corry 2004, Patras 2001]2. La première est générale, programmatique, assez floue. L’autre est plus technique et est déclinée selon les diverses théories mathématiques (groupes, anneaux, espaces de Hilbert...). Le texte d’une conférence prononcée par H. Cartan, un des membres fondateurs de Bourbaki, rend bien compte de ces deux utilisations, avec d’un côté l’idée programmatique générale d’une classification structurelle des théories mathématiques et de l’autre les structures mathématiques axiomatisées particulières (celles par exemple où plusieurs structures apparaissent simultanément, comme avec les groupes topologiques, les corps ordonnés3...) :

[Dans le contexte de cette conférence] il serait difficile de donner une définition générale du terme de « structure » : nous l’approcherons donc au travers d’exemples. Tout d’abord il y a les structures algébriques, définies par les lois de composition [...]. Les structures d’ordre sont des structures algébriques particulières [...]. Il y a aussi les structures topologiques [...]. Avec ces structures « simples » comme point de départ, nous arrivons à ces domaines où plusieurs d’entre elles apparaissent simultanément [...]. Mais quels sont les avantages d’une classification théorique de type structurel en mathématiques? L’exemple suivant rend clair un tel avantage : supposez que vous ayez mis en place tous les théorèmes fondamentaux de la théorie générale des espaces topologiques, vous pouvez toujours les appliquer à tous les cas particuliers d’espaces topologiques. [Cartan 1980, 177–178]

10Les deux utilisations bourbakistes de l’idée de structure sont présentes dans le texte. L’une suggère que la méthode structurale est, pour Bourbaki, un principe de classification ou d’organisation architecturale des mathématiques. Son analyse sera effectuée dans la section 3, où nous montrerons qu’elle peut être reconduite à un axe de développement de l’épistémologie historique mentionné plus haut : celui des concepts épistémiques. L’autre utilisation relève d’une autre logique, celle des objets épistémiques. Son analyse, développée dans la section 5, montrera que cette utilisation prend en charge naturellement l’analyse de la formation de concepts spécifiques et leur évolution. Pourtant, et c’est là un autre point essentiel, ces deux perspectives, quoiqu’elles puissent et doivent être distinguées, apparaissent finalement comme les deux moments d’un mouvement dialectique qui les réunit dans la création et l’écriture mathématique. En effet, elles se rejoignent et sont étroitement liées dans la pratique mathématique, comme cherchera à le montrer l’analyse de la dimension opérationnelle de la notion de structure dans la section 4.

  • 4 De nombreux matériaux non publiés sont archivés sur le site des Archives Henri-Poincaré créé par L (...)

11Les idées qui résultent de ce travail vont donc finalement dans deux directions. D’une part tester la pertinence de la distinction concept/objet de l’épistémologie historique analytique en mathématiques ; d’autre part, aborder avec un regard philosophique renouvelé le structuralisme bourbakiste avec, en filigrane, le souci de proposer de nouveaux outils théoriques pour aborder le corpus correspondant4.

  • 5 Voir [Corry 1992], [Aubin 1997], [Corry 2004], [Patras 2001] et [Reck & Schiemer 2020].
  • 6 Voir [Peruzzi & Zipoli Caiani 2020], avec en particulier [Bartocci 2020], [Marquis 2020].

12Pour ce qui est de la bibliographie, nous intéressant à l’idée de structure telle qu’elle s’est cristallisée dans le corpus, mais également aux commentaires méthodologiques et interprétations qui ont accompagné cette cristallisation, nous ferons principalement référence aux textes publiés et classiques dus à Bourbaki lui-même, en particulier [Bourbaki 1939-1984, 1948] et aux nombreux témoignages de ses membres (Cartan, Dieudonné...) sur le fonctionnement du groupe et ses ressorts mathématiques, programmatiques et méthodologiques, témoignages incontournables lorsqu’il s’agit d’appréhender l’épistémologie bourbakiste, explicite ou implicite. Parmi la vaste littérature secondaire sur Bourbaki, notre propos étant majoritairement philosophique, nous nous appuierons ensuite sur les diverses études portant spécifiquement sur les origines et le développement du structuralisme – bourbakiste, mais pas seulement – depuis les travaux de Corry, Aubin et Patras jusqu’aux contributions les plus récentes: l’ouvrage dirigé par Reck et Schiemer sur la préhistoire du structuralisme5 et celui dirigé par Peruzzi et Zipoli Caiani sur les structures mères bourbakistes en sémantique, mathématiques et sciences cognitives6.

13Signalons enfin que, si notre article s’inscrit dans un courant de recherches sur Bourbaki en philosophie des mathématiques – avec, par exemple, les travaux de Heinzmann et Petitot [2020] qui mettent en évidence le rôle pragmatique et fonctionnel des structures dans son travail et celui de ses membres, ou ceux de Marquis sur le style structuraliste [2022] –, il aura des objectifs complémentaires, orientés en direction de problématiques de nature différente, puisqu’il s’agira d’étudier le rôle épistémologique joué par le concept de structure à l’intérieur de théories mathématiques spécifiques et, par ailleurs, comme principe d’organisation de la connaissance mathématique en général.

3 La structure, un concept épistémique ?

14On peut considérer le livre de Ian Hacking [1975] sur les probabilités comme texte fondateur pour la théorie des concepts épistémiques. Hacking s’y place dans un contexte intellectuel élargi qui inclut le progrès scientifique, l’économie et la théologie pour expliquer le changement dans l’histoire des idées qui a permis le développement des nouveaux concepts de probabilité, d’induction et d’inférence statistique. Son approche remet en cause la possibilité d’une histoire des idées qui ne serait pas ancrée dans l’étude de la contribution des pratiques scientifiques concrètes au développement des concepts les plus généraux. Elle suppose aussi que les pratiques scientifiques émergent souvent bien avant leur conceptualisation explicite. Les concepts épistémiques qu’il s’agit d’analyser peuvent donc être soit des concepts explicitement formulés, soit des pratiques scientifiques implicites. Lorraine Daston, et d’autres, y voient une voie pour réconcilier la vision néopositiviste de la science avec les résultats de la sociologie et de l’histoire [Daston & Galison 2007, 377].

15De façon plus concrète, on peut concevoir les concepts épistémiques comme une famille de notions générales : méthodes, paradigmes, styles de raisonnement, champs de discours, épistémè, catégories liées à une théorie scientifique, dont l’épistémologie va s’efforcer de reconstruire la constitution et les transformations historiques. Parmi les concepts épistémiques, qu’on peut aussi concevoir comme des concepts d’ordre supérieur, ou comme les objets d’une méta-épistémologie historique [Hacking 2002, 9], on peut citer encore l’expérimentation, l’observation, l’objectivité... Ces cadres conceptuels sont soit des conditions de possibilité soit des co-produits des théories scientifiques: l’épistémologie historique s’efforce de les étudier en soulignant leur constitution et leurs transformations historiques et sociales, mais selon une perspective, comme Hacking le déclare ouvertement, foucauldienne.

Deux thèmes étroitement liés prédominent : certaines manières nouvelles dont un philosophe peut faire usage de l’histoire, et mes utilisations des premiers travaux « archéologiques » de Michel Foucault. [Hacking 2002, v]

  • 7 Du moins dans le cadre de ses propres travaux et de leur époque, puisque les travaux récents de Je (...)

16Abordons maintenant cette thématique des concepts épistémiques depuis le point de vue bourbakiste. L’idée générale de structure chez Bourbaki est, on l’a vu avec Cartan, à la fois principe architectonique organisateur général et à la base de l’axiomatisation des théories particulières. Principe, méthode, idée directrice, autant de dimensions qui confèrent à la structure un caractère épistémique et le statut d’un concept d’ordre supérieur qui va guider le développement mathématique et déborder des contenus mathématiques proprement dits, sans toutefois que cela lui confère un caractère métamathématique en un sens technique. Cela, du moins tant que ces dimensions restent pensées sous leur forme programmatique, mais, on le sait, la tentative de Bourbaki de formaliser la notion de structure au chapitre IV de sa Théorie des ensembles a pour l’essentiel été un échec [Corry 2004], [Bartocci 2020]7. Quoi qu’il en soit, l’idée générale a une double fonction, dynamique et organisatrice:

De plus, et c’est ce qui nous importe particulièrement en ce Traité, la méthode axiomatique permet, lorsqu’on a affaire à des êtres mathématiques complexes, d’en dissocier les propriétés et de les regrouper autour d’un petit nombre de notions, c’est-à-dire, pour employer un mot qui sera défini plus loin avec précision, de les classer suivant les structures auxquelles elles appartiennent (une même structure pouvant intervenir, bien entendu, à propos d’êtres mathématiques divers). [Bourbaki 2007b, E.I. 9]

17La citation est intéressante car, si elle décrit ce qui va faire le cœur du projet d’écriture des Éléments de mathématique, elle manifeste aussi la dualité entre systèmes d’axiomes (qui englobent des domaines d’objets, ont une sémantique à travers leurs réalisations dans différents modèles...) et l’idée de classification qui relève d’une autre logique, non plus fondationnelle mais organisatrice. Bourbaki le souligne d’ailleurs, avec les difficultés que sa mise en œuvre comporte :

Quelque artificiel que puisse parfois devenir ce principe de classification dès que s’enchevêtrent les structures, c’est lui qui est à la base de la répartition en Livres de ce Traité. [Bourbaki 2007b, E.I. 9]

Ces idées, indissociables de la méthode axiomatique, ont, enfin, des répondants cognitifs puisque la faculté de donner des contenus multiples aux mots ou notions premières d’une théorie est même une importante source d’enrichissement de l’intuition du mathématicien » [Bourbaki 2007b, Introduction, E.I. 8].

18Si la dimension programmatique des structures chez Bourbaki est résolument affirmée, sa dimension historique va moins de soi. Elle passe par Gauss, Lejeune-Dirichlet, Dedekind, Peano, Hilbert [Bourbaki 1948], le programme d’axiomatisation des théories algébriques (groupes, anneaux, corps...) et, au-delà, par les diverses axiomatisations entreprises au début du xxe siècle. Il convient ici de distinguer deux moments conceptuels. Il y a d’une part le développement naturel des mathématiques autour du programme d’axiomatisation, incarné par Hilbert. L’analyse de ce programme ne suffit cependant pas à elle seule à comprendre le projet structuraliste, qui le déborde sur plusieurs points. De fait, il est intéressant d’étudier comment Bourbaki a lui-même délibérément ancré son épistémologie implicite des mathématiques dans cette dynamique historique:

Ce que Bourbaki voulait faire, c’était décrire dans un style similaire [à celui de l’école allemande d’algèbre des années 1920] tous les théorèmes de base en mathématiques, et mettre en évidence leurs relations mutuelles [...], la connexion se faisant par la notion de structure. [Dieudonné 1982, 619]

19Le choix des mots est important et loin d’être gratuit. Celui de « style » d’abord : il y a un « style structuraliste », avec tout ce que cela signifie de métathéorique [Patras 2001, chap. 1], [Marquis 2022]. Ce style se constitue très progressivement, a une histoire propre, et a par exemple assez peu à voir avec les différentes axiomatisations de la géométrie entreprises autour de la fin du xixe siècle. Dieudonné décrit bien un de ses traits, très présent chez Bourbaki : l’idée de relations entre résultats mathématiques pouvant transcender les domaines disciplinaires.

Par ailleurs :

[La notion de structure] exprime en des termes précis une direction que l’on peut faire remonter au moins jusqu’à Gauss, à savoir la conviction croissante que la classification traditionnelle des mathématiques n’était pas vraiment adaptée à la nature profonde de cette science. [Dieudonné 1982, 619]

  • 8 Sur Grassmann et le structuralisme, nous renvoyons à [Cantù 2020].
  • 9 L’idée d’architecture est fondamentale dans le projet bourbakiste. Elle permet d’interroger non pl (...)

20Les études réunies dans [Reck & Schiemer 2020] montrent en effet bien comment la thématique structuraliste s’est constituée très progressivement, au moins depuis Grassmann8, et a remis en cause tout un ensemble de conceptions antérieures des mathématiques en faveur d’une approche résolument axiomatique. Les systèmes d’axiomes y ont toutefois des fonctions additionnelles par rapport à celles, plutôt de nature logique et fondationnelle, qu’ils ont classiquement dans la pensée axiomatique [Patras 2001, chap. 4–5]. Dans sa contribution la plus aboutie à la philosophie des mathématiques, « L’Architecture des mathématiques »9, Bourbaki précise que l’axiomatique ne doit pas être conçue seulement comme un système statique qui vise à garantir l’unité des mathématiques mais qu’elle vise, au-delà, à l’intelligibilité :

Ce que se propose pour but essentiel l’axiomatique, c’est précisément ce que le formalisme logique, à lui seul, est incapable de fournir, l’intelligibilité profonde des mathématiques [...]. La méthode axiomatique enseigne à rechercher les raisons profondes de cette découverte, à trouver les idées communes enfouies sous l’appareil extérieur des détails propres à chacune des théories considérées, à dégager ces idées et à les mettre en lumière. [Bourbaki 1948, 37]

21Bien entendu, si toutes ces dimensions programmatiques et méta-théoriques du concept de structure permettent de le qualifier de « concept épistémique » et de le rattacher – légitimement, selon nous – au projet général de l’épistémologie historique, on peut objecter à cette interprétation que de nombreux traits des concepts épistémiques chez Hacking ne se retrouvent pas dans la conception que Bourbaki a des structures – ceux liés au caractère socialement construit des concepts épistémiques ou au type d’expériences auxquelles ils sont associés, par exemple.

4 La dimension opératoire de l’idée de structure

22Le concept de structure a une dimension programmatique et architecturale, que nous venons de souligner et d’articuler à la notion de concept épistémique. Dans la tradition de l’épistémologie historique analytique, cette dernière notion est inséparable de pratiques scientifiques concrètes, et c’est effectivement le cas ici. La structure, comprise comme principe architectural et organisateur, est en effet issue d’une pratique mathématique spécifique. L’abstraction y joue un rôle essentiel qui se manifeste dans une méthode de substitution d’objets abstraits (groupes, idéaux...) aux objets précédemment étudiés (polynômes, racines...) [Patras 2001, 110]. Cette pratique, qui vise aussi à rendre explicites certaines propriétés implicites des objets mathématiques – puisque chercher à comprendre la structure de quelque chose, c’est en chercher les déterminations implicites [Patras 2001, 108] – est à la fois à l’origine du style mathématique bourbakiste proprement dit, et la réaction à un paradigme historique antérieur, ancré dans une définition traditionnelle des mathématiques incapable de rendre intelligible leur nature profonde. Nous voudrions approfondir maintenant ces idées en abordant de façon plus spécifique la question générale de ce que signifie « chercher la structure » d’un objet ou d’une classe d’objets mathématiques, au-delà de ce qui serait la solution « standard » (chercher un système d’axiomes adéquat).

  • 10 La manière dont Bourbaki a pratiqué l’histoire des mathématiques a fait l’objet de débats et polém (...)

23Pour donner un contenu précis aux considérations qui suivent, nous prendrons l’exemple de ce qui est considéré un des plus grands succès de Bourbaki : la partie sur les groupes et algèbres de Lie des Éléments de mathématique [Bourbaki 1939-1984]. Plus spécifiquement, nous nous appuierons sur le chapitre I [Bourbaki 2006a] et la Note historique10 des chapitres I à III [Bourbaki 2006b] du traité sur les Groupes et Algèbres de Lie. Dans cette Note, citée NGA dans la suite de cette section, on peut noter que Bourbaki n’analyse pas l’histoire des théories correspondantes au filtre des structures. Qu’il n’y utilise pas l’idée de structure comme outil herméneutique dans le détail de l’analyse historique n’est au fond guère étonnant : c’est une chose que de penser les structures comme fil conducteur de l’évolution de la pensée mathématique depuis Gauss, autre chose de les mobiliser dans l’étude de telle ou telle avancée technique – ce qui supposerait un travail simultanément épistémologique et historique, mais ce n’est pas dans cet esprit et cette logique que la Note est écrite. Les interprétations qui suivent sont donc de notre fait, mais nous semblent un développement naturel des thèses structuralistes à la manière bourbakiste.

  • 11 Nous renvoyons à [Patras 2001], dont c’est l’un des fils conducteurs.

24Une difficulté classique dans l’interprétation du structuralisme tient à la différence entre méthode axiomatique et style structuraliste11. La première conduit à des schémas d’axiomes, qui permettent de définir les structures mathématiques (groupes, espaces topologiques...), mais elle ne permet pas de rendre compte de la multiplicité de choix (de méthode, d’écriture...) qui sont au cœur d’un projet comme celui de la rédaction des Éléments de mathématique. Le fait est qu’en mathématiques, le rôle épistémique d’un concept est souvent indissociable d’enjeux techniques et locaux.

  • 12 Le lecteur est renvoyé au traité de Bourbaki pour un exposé méthodique.

25Prenons l’exemple de la naissance des liens entre groupes et algèbres de Lie. Pour fixer les idées et aider à la compréhension des développements qui suivent12, un groupe de Lie est un groupe topologique (le produit est par exemple une application continue), et on peut munir l’espace tangent à l’élément unité du groupe d’une structure d’algèbre de Lie. En d’autres termes, cet espace tangent est un espace vectoriel muni canoniquement d’un produit, dénoté en général sous forme de crochet [  ], qui vérifie les relations d’anticommutativité [x,y] = − [y,x] et de Jacobi [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0. La théorie des groupes et des algèbres de Lie est extrêmement riche et a des liens étroits avec la mécanique, la géométrie, l’algèbre, la physique théorique... De nombreux concepts mathématiques fondamentaux comme l’application exponentielle ou la dualité se comprennent mieux à son éclairage. Il serait hors de propos d’entrer ici dans le détail des arguments mathématiques correspondants, mais on peut deviner qu’une telle théorie peut servir de pierre de touche pour un approfondissement des thèses directrices du structuralisme bourbakiste. Nous nous limiterons donc à quelques indications et deux exemples significatifs.

  • 13 Comme Bourbaki, Hawkins s’intéresse aux propriétés structurales de la théorie : « Je me suis conce (...)
  • 14 Le groupe des matrices 3 × 3 à coefficients complexes et inversibles.
  • 15 Le groupe des matrices 2 × 2 à coefficients complexes et de déterminant 1.

26Commençons par l’analyse génétique, en suivant NGA et l’ouvrage de référence postérieur sur l’histoire des débuts de la théorie des groupes de Lie [Hawkins 2012]13. Cayley et Sylvester analysent, au début des années 1850, les invariants du groupe linéaire GL(3, ℂ)14 et du groupe spécial linéaire SL(2, ℂ)15. Cayley montre par exemple que les invariants provenant de certaines représentations de SL(2, ℂ) sont solution de deux équations aux dérivées partielles Xf = 0, Yf = 0 où X et Y sont des opérateurs différentiels [NGA, 287], [Hawkins 2012, 262].

En termes modernes, cela s’explique par le fait que X et Y engendrent l’algèbre de Lie sl(2, ℂ) [l’algèbre de Lie du groupe SL(2, ℂ)]; d’ailleurs Cayley calcule explicitement le crochet XY – YX et montre qu’il provient [comme X et Y] d’une transformation « infiniment petite ». [NGA, 288]

Hawking fait sur ce point la même analyse:

Un mathématicien lisant aujourd’hui les articles de Cayley verra immédiatement que leur contenu peut être interprété facilement en termes d’algèbres de Lie, bien que le concept n’ait été introduit que vingt ans plus tard. [Hawkins 2012, 263]

27L’algèbre de Lie d’un groupe de Lie permet aujourd’hui de décrire la loi du groupe dans un voisinage infinitésimal de son unité. « La conception d’une transformation “infiniment petite” remonte au moins aux débuts du Calcul infinitésimal » [NGA, 287]. Elle est mise en avant par Bourbaki dans le processus d’émergence des liens entre un groupe de Lie et sa version infinitésimale (le groupe infinitésimal, en langage moderne son algèbre de Lie). L’approche de Hawkins, plus systématique et historique, est un peu différente. Alors que Bourbaki est spécifiquement guidé dans le passage analysé par les liens entre groupe et algèbre de Lie, Hawkins insiste plus sur la dimension algébrique du travail de Cayley et associe quant à lui l’approche infinitésimale à Sylvester [Hawkins 2012, 264].

28Ce moment historique et théorique associé au rôle de la théorie des invariants dans la naissance de l’idée de groupe infinitésimal est intéressant de plusieurs points de vue. Conceptuellement, il indique l’ancrage de théories modernes dans des problématiques et méthodes classiques – ici, celles du calcul infinitésimal. Mathématiquement, il indique comment une théorie comme celle des groupes et algèbres de Lie est dès son origine à la jonction de plusieurs champs mathématiques : théorie des invariants, des représentations, des opérateurs différentiels, du calcul matriciel, des équations aux dérivées partielles... Enfin, et peut-être surtout, il y a chez Bourbaki cette idée de la possibilité d’une lecture moderne d’un passé dont les contenus mathématiques s’éclairent et se comprennent, « s’expliquent » par cette lecture effectuée à la lumière de leur « mise en structures ». Bourbaki ne le formule pas ainsi dans la Note, mais c’est tout le sens de son épistémologie mathématique. Elle a été critiquée, en particulier en tant que méthode d’analyse historique [Dauben & Scriba 2002], mais est inséparable de sa conception des mathématiques et de leur exposition.

29Toutes ces composantes nous semblent relever du statut de concept épistémique des structures mathématiques : dimension historique et génétique ; rôle central que jouent, dans le structuralisme bourbakiste, les interactions entre théories et champs mathématiques ; achèvement des processus de création mathématique par la mise en place de théories axiomatisées au sein desquelles les résultats antérieurs prennent tout leur sens.

30Prenons un deuxième exemple, assez différent dans sa nature. Les structures au sens bourbakiste permettent de déployer un véritable « calcul » pour comparer les systèmes d’axiomes. Cette idée est exprimée très clairement dans [Bourbaki 2007b, chap. IV], mais trouvera son meilleur développement indépendamment de Bourbaki, avec la théorie des catégories et le codage des « transformations entre théories » dans le formalisme des foncteurs (avec en particulier, les foncteurs d’oubli et les foncteurs adjoints).

  • 16 La structure d’algèbre de Lie est donc « plus faible » que celle d’algèbre associative: on oublie (...)
  • 17 Dans le langage des catégories, on vient de définir un foncteur d’oubli des algèbres associatives (...)
  • 18 Pour plus de détails sur l’émergence de l’idée d’algèbre enveloppante et le théorème de structure (...)
  • 19 Cette construction peut être obtenue là encore par un véritable calcul structural puisque U(𝔤) s’o (...)
  • 20 Dans le langage des catégories, cette construction est fonctorielle et le foncteur algèbre envelop (...)

31Un exemple élémentaire classique de ces phénomènes est donné par les liens entre algèbres associatives (où le produit vérifie la relation d’associativité (xy)z = x(yz) et algèbres de Lie: toute algèbre associative est munie d’un crochet de Lie défini par [x,y] := xy − yx16,17. Le crochet ainsi défini vérifie en effet de façon évidente la relation d’anticommutativité, celle de Jacobi se déduit facilement de la relation d’associativité. En sens inverse, on peut associer à toute algèbre de Lie 𝔤 une algèbre associative vérifiant des propriétés universelles : son algèbre enveloppante, une idée qui remonte à Poincaré [NGA, 300], [Poincaré 1899]18,19. La définition et l’étude des algèbres enveloppantes ouvre la partie du traité sur les Groupes et algèbres de Lie, puisqu’elles font l’objet de la deuxième section du Livre I, précédé seulement de la première section, qui donne la définition des algèbres de Lie. Dans le langage des Éléments de mathématique, l’algèbre enveloppante est obtenue en « cherchant une algèbre associative à élément unité et une α-application de 𝔤 dans cette algèbre qui soient universelles » [Bourbaki 2006a, Groupes et algèbres de Lie, 22]20. On trouve là une autre situation où la pensée structurelle ne se limite pas à des principes régulateurs ou programmatiques généraux, mais se traduit dans des pratiques, des calculs.

32Toutes ces considérations et exemples nous conduisent naturellement à un moment clé du structuralisme bourbakiste et des analyses effectuées dans cet article. Si l’édification des théories y est gouvernée par des visées structurales, si le processus même de construction des théories passe par des pratiques mathématiques effectives – et ce qui va avec : des méthodes, des calculs, des raisonnements typiques... –, ces processus s’achèvent dans la construction de théories et d’objets qui peuvent eux-mêmes faire l’objet d’un intérêt théorique et épistémologique différent. Pour prendre un exemple très concret, nous avons vu au début de cette section le rôle joué par la théorie des invariants, avec Sylvester et Cayley, dans les tout débuts de la théorie des algèbres de Lie. Cette même théorie des invariants peut aussi être abordée comme objet d’étude en elle-même : non plus au filtre de l’idée générale et programmatique de structure, mais au travers de toutes les significations, tous les enjeux théoriques qui vont se jouer dans la notion même. Il n’est pas jusqu’à un objet mathématique fondamental comme SL2(ℂ) ou son analogue réel SL2(ℝ) qui ne puisse faire l’objet d’une étude conceptuelle orientée vers les significations qu’il véhicule. D’où un autre point de vue sur les structures, différent à la fois mathématiquement et épistémologiquement. Point de vue complémentaire au premier, les deux se rejoignant, dialectiquement, pour faire l’unité de la démarche structuraliste. Démarche englobante qui renvoie d’un côté à une conception du devenir des mathématiques et de leur architecture, de l’autre à une attention aux théories, aux systèmes d’axiomes particuliers, dont l’étude va faire l’objet de la section 5.

5 Les structures, objets épistémiques ?

  • 21 Consulter par exemple, pour une vue d’ensemble sur le structuralisme en mathématiques et ses diffé (...)

33Nous avons traité les structures comme concepts (épistémiques), sans trop insister sur l’ontologie sous-jacente. Un des traits fondamentaux du structuralisme est, de fait, d’aller vers une dissolution de l’être et de la substance des objets mathématiques classiques au profit des structures correspondantes21. Dans le structuralisme bourbakiste également, les objets sont souvent éléments d’un domaine de modèles d’une structure donnée au sens où, par exemple, un groupe de permutations est un modèle ou une réalisation particulière de la notion abstraite de groupe. Pour autant, ce n’est pas à cette forme-là d’ontologie que nous nous intéresserons ici, mais à celle des structures elles-mêmes, qui, dans le structuralisme, deviennent elles-mêmes objets à part entière – et même, à proprement parler, les seuls objets mathématiques, si l’on suit jusqu’au bout Bourbaki [1948].

34La notion d’objet épistémique que nous mobiliserons pour cette étude des structures peut être reconduite, dans la période récente, à une étude de Rheinberger sur le rôle de la technique de synthèse de protéines dans le développement de la biologie moléculaire [Rheinberger 1997]. Les objets épistémiques y sont des objets sociaux, mais pas sur le mode de l’ontologie sociale : ils ne se réduisent pas à des objets de convention ou de négociation qui nécessiteraient la reconnaissance intersubjective de leur rôle par les acteurs sociaux. Ils ne résultent pas non plus seulement de l’interaction entre les sujets et les objets dans une relation référentielle de type linguistique [Rheinberger 2005, 408–409]. Ils résultent plutôt d’une forme d’interaction entre les objets eux-mêmes, entre les traces matérielles produites par une expérience et les objets auxquels ces traces sont censées se référer et qui sont générés inconsciemment à l’intérieur de certaines pratiques d’expérimentation scientifique. Ce type d’objet échappe à la subjectivité, tout en étant strictement lié à des conditions historiques et à des pratiques scientifiques qui expliquent comment, à un certain moment, il devient l’objet d’un discours scientifique spécifique à l’intérieur d’une pratique expérimentale ou théorique. Cette notion d’objet épistémique a été plutôt conçue pour les sciences de la vie, de l’homme ou de la nature, et nécessite d’être adaptée aux mathématiques.

  • 22 Les sources françaises mentionnées par Rheinberger incluent Gaston Bachelard, Georges Canguilhem, (...)
  • 23 L’exemple des nombres naturels est détaillé dans [Patras 2014].

35Dans cette direction, on notera que la notion d’objet épistémique peut être reconduite à la signification accordée au mot « épistémologie » dans la tradition française, comme le fait d’ailleurs Rheinberger22: non pas une théorie de la connaissance, mais l’étude philosophique des découpages proposés par la pratique scientifique [Granger 1992, 41]. Mais elle peut aussi être centrée sur l’étude des transformations ontologiques d’une théorie, comme dans la métaphysique appliquée développée par Lorraine Daston, qui étudie les conditions historiques qui permettent la naissance, la croissance ou la mort des objets scientifiques et les différents degrés de leur réalité [Daston 2000, 1], [voir aussi Feest & Sturm 2011]. Citons les exemples des électrons [Arabatzis 2011], du phlogiston [Chang 2011], mais aussi des quarks, des gènes, de l’éther, du calorique... Là encore, il s’agit d’une perspective ontologique qui peut être mobilisée en mathématiques : on sait bien que la conception et la compréhension d’objets mathématiques aussi fondamentaux que le point, l’espace, le nombre, l’infini... ont subi des mutations profondes au cours de l’histoire23.

36Nous allons donc aborder la question du statut épistémologique des structures particulières, comme celles de groupe, de corps, d’anneau..., vues désormais comme objets, et plus spécifiquement comme objets épistémiques, c’est-à-dire ayant fait ou faisant l’objet d’un discours scientifique ne se réduisant pas à sa composante technique et dont la constitution peut être observée et faire l’objet d’une analyse épistémologique. Pour certaines structures, ce statut épistémique va de soi et s’est constitué progressivement, souvent à la fin du xixe siècle ou au début du xxe. Les « structures mères » au sens de Bourbaki : structures d’ordre, structures algébriques, structures topologiques, en sont un bon exemple. On sait qu’elles ont été utilisées par exemple dans les travaux de Piaget [Aubin 1997, 317 sqq.], pour analyser la constitution d’une pensée mathématique chez les jeunes enfants, dans une perspective didactique : exemple typique d’une situation où l’analyse de structures mathématiques comme concepts épistémiques pourrait être rattachée aux méthodes de l’épistémologie historique analytique – la didactique étant une discipline largement expérimentale.

37Un autre exemple emblématique est celui de la notion de groupe, avec une genèse multiforme puisqu’elle est apparue comme un concept stratégique dans des contextes très différents. On peut citer, entre de nombreux autres, la recherche de solutions d’équations polynomiales par radicaux, le programme de Klein visant à renouveler l’idée de géométrie au travers des notions de groupes de transformations ou d’isomorphismes ou encore la physique théorique où les représentations des groupes de Lie classiques interviennent à divers niveaux et jouent un rôle clé, en particulier en mécanique quantique et en théorie quantique des champs.

  • 24 « La question désormais n’était plus de comprendre comment les sujets connaissants pouvaient parve (...)
  • 25 Formule « épistémologie française », à comprendre au sens développé dans [Patras 2022].

38L’approche structuraliste conduit au développement d’un discours systématique et unifié sur ces phénomènes. Un premier point est réglé presque immédiatement : le rôle de la subjectivité dans le rapport à l’objet. On a vu que l’un des traits de l’épistémologie historique analytique est d’avoir écarté le sujet connaissant au profit des structures objectives de la science, celles-ci ayant par ailleurs un ancrage temporel24. Sur ces questions, la proximité de Bourbaki à l’épistémologie française25 (Cavaillès, Lautman, Desanti, Granger, Vuillemin...) joue à plein : la dynamique de création d’idéalités mathématiques, pour reprendre l’expression de Desanti, est guidée par les objets, les problèmes et les théories existants.

L’histoire de toutes les théories mathématiques débute invariablement par l’étude d’objets particuliers [...]; lorsqu’on commence à les grouper, c’est plutôt à la manière des premiers naturalistes [...]. Une étude plus poussée fait ensuite apparaître des propriétés plus cachées, souvent difficiles à cerner exactement, ou conduit à mettre l’accent sur des phénomènes qui paraissaient au premier abord trop « évidents » pour les souligner, comme les propriétés élémentaires des fonctions continues. [Dieudonné 1982, Introduction]

  • 26 Cette thématique de l’abandon est intimement liée à celle de la désuétude, qui a fait l’objet d’un (...)

39L’idée d’une constitution des structures (au niveau des objets et des théories), c’est-à-dire d’une dynamique du processus abstractif sous-jacent, est essentielle, car le structuralisme est aussi une théorie du mode de constitution historique des mathématiques. Il l’est en tant que conception globale du progrès mathématique et de sa logique – c’est le point de vue des concepts épistémiques –, et il l’est aussi en tant que conception du mode de formation et de développement des théories particulières, des structures associées (en tant cette fois que systèmes d’axiomes précis), et de leurs domaines d’objets – c’est le point de vue des objets épistémiques. Les questions qui se posent alors de ce deuxième point de vue, dans la logique de l’épistémologie historique, vont porter sur les modalités effectives de formation, croissance et mort des structures [Feest & Sturm 2011, 292]. Ici, il faut entendre « mort » en un sens spécifique : les structures mathématiques ne « meurent » pas, mais elles peuvent évoluer profondément et certains points de vue être progressivement abandonnés26. Les nombres entiers ne sont par exemple pas tout à fait les mêmes avant et après les travaux de Cantor, Dedekind et Frege, et nous les comprenons encore aujourd’hui le plus souvent comme classes d’équivalence pour les bijections entre ensembles finis plutôt que comme « collections d’unités ».

  • 27 Rappelons que Dieudonné est souvent considéré comme ayant été le porte-parole de Bourbaki : « Dans (...)

40Les textes historiques de Bourbaki ou Dieudonné27 abondent d’exemples. Plutôt que de les parcourir, nous nous arrêterons sur deux exemples concrets.

  • 28 C’est le titre de la section III de la Note : Le « dictionnaire » groupes de Lie – algèbres de Lie(...)

41Le premier portera à nouveau sur la Note historique (NGA) du traité Groupes et algèbres de Lie. Une classe d’objets qui parcourt la Note est celle des transformations infinitésimales, avec des variations comme « transformations infiniment petites ». Nous les avons mentionnées, car elles sont fortement impliquées dans la genèse de la notion d’algèbre de Lie, mais c’est une classe d’objets avec un fort contenu historique et épistémologique qui pourrait également être étudiée pour elle-même. Ceci dit, le phénomène structural central abordé dans la Note est la correspondance entre groupes et algèbres de Lie, c’est-à-dire entre une structure globale – celle de groupe continu – et sa description locale, infinitésimale, au voisinage de l’unité. L’idée clé est sans doute celle d’un « dictionnaire28:

La théorie générale développée [dans la Theorie der Transformationsgruppen de S. Lie et F. Engel (Leipzig, Teubner, 1888–1893)] aboutit (sans que cela soit dit de façon très systématique par les auteurs) à forger un « dictionnaire » faisant passer des propriétés des groupes « finis et continus » à celles de leurs transformations infinitésimales. Il est basé sur les « trois théorèmes de Lie », dont chacun est formé d’une assertion et de sa réciproque. [NGA, 294]

42Ces objets et ce dictionnaire peuvent et doivent faire l’objet d’une étude spécifique : il s’agit maintenant de comprendre, la théorie étant ébauchée, ce que l’on peut appeler leurs propriétés de structure. Cela passe par l’étude des morphismes et sous-objets:

Toujours par analogie avec la théorie des groupes de permutations, Lie introduit les notions de sous-groupes, sous-groupes distingués, « isomorphismes mériédriques » (homomorphismes surjectifs), et montre qu’elles correspondent à celles de sous-algèbres, idéaux et homomorphismes surjectifs d’algèbres de Lie. [NGA, 296]

  • 29 Rappelons que logarithme et exponentielle définissent un isomorphisme local, au voisinage de l’uni (...)

43La théorie se développe ensuite dans plusieurs directions, abordées dans la Note : étude approfondie des algèbres de Lie (avec des phénomènes comme la résolubilité et la semi-simplicité) [NGA, 298], exponentielle et formule de Hausdorff29 [NGA, 300], etc.

44La Note historique rédigée par Bourbaki n’a pas de visées épistémologiques, mais elle met en avant un ensemble de phénomènes et de questions qui le sont : rôle des infinitésimaux, idée de dictionnaire local/global, au niveau des objets, de leurs transformations, méréologie (la théorie du tout et des parties – des sous-objets) spécifique au champ considéré... Ces phénomènes sont par ailleurs associés à des pratiques qu’on retrouve de façon transverse en mathématiques, comme l’étude et la classification des sous-objets, l’étude des propriétés des morphismes...

45Le deuxième exemple que nous aborderons est celui de la structure d’espace de Fréchet, cas particulier de système d’axiomes pour les espaces topologiques. Ce qui retiendra notre attention sera à nouveau la dimension épistémique de la structure dans la perspective bourbakiste : nous nous intéresserons donc ici exclusivement à l’auto-analyse par Bourbaki de son adoption de la terminologie espaces de Fréchet .

Au début des années 1950 [c’est en effet] le groupe Bourbaki qui décida de donner le nom d’espaces de Fréchet aux espaces topologiques linéaires qui sont localement convexes, métrisables et complets. [Taylor 1987, 35]

Sollicité par Taylor, Dieudonné s’en explique. Nous reproduisons intégralement son analyse, chacun de ses moments ayant une importance propre.

Jusqu’en 1945, sauf pour le chapitre sur les espaces (F) dans le livre de Banach (avec bien sûr le théorème important du graphe fermé), il n’y a presque pas eu d’articles utilisant ce genre d’espace en analyse; même Sobolev, dans son article fondamental introduisant les distributions (sous un nom différent) ne les utilisait pas. La situation a changé seulement lorsque Schwartz, sous l’influence des idées de Bourbaki, a réalisé que les espaces (F) jouent un rôle fondamental en théorie des distributions, et publia avec moi en 1949 un article sur la dualité dans ces espaces. Bien sûr, pour obtenir des résultats significatifs, nous avons dû faire une hypothèse de convexité locale en plus des axiomes de Banach; Mazur et Orlicz ont fait la même chose au même moment, mais ont appelé ces espaces (B0) (probablement d’après Banach). Depuis lors, il y a eu des articles traitant d’espaces (F) non localement convexes avec des applications, notamment en théorie de la mesure, mais l’écrasante majorité des applications, y compris l’énorme théorie des équations aux dérivées partielles, a eu trait aux espaces localement convexes.

Bien sûr, dans les cercles de Bourbaki, on savait que (F) signifiait Fréchet, mais Bourbaki a toujours rejeté les abréviations, et c’est pourquoi le nom Fréchet a été choisi pour les espaces (F) localement convexes. Comme vous le savez, Fréchet a toujours recherché la généralité sans se soucier des applications, ce qui répugnait à l’esprit de Bourbaki, selon lequel aucune notion ne pouvait être acceptée si nous ne pouvions être convaincus qu’elle était utile dans un problème classique (bien que de nombreux lecteurs, par manque de culture, ne l’aient pas réalisé). Néanmoins, nous avons pensé que le nom de Fréchet méritait d’être attaché à ces espaces, pas tant pour son article de 1926, mais parce que, dans sa thèse de 1906, il a certainement été le premier à avoir défini les topologies d’espaces de Fréchet au moyen de distances sur des espaces d’une importance fondamentale en analyse : l’espace de toutes les suites réelles Rn, et l’espace de toutes fonctions holomorphes dans le disque unité. [Taylor 1987, 36]

  • 30 Sur la collaboration Dieudonné-Schwartz et plus généralement le traitement des espaces de Fréchet (...)

Comme annoncé, nous ne nous intéresserons donc pas ici au contenu technique ou historiographique du texte30, mais plutôt à sa portée épistémologique et méthodologique. Dieudonné met en effet en évidence plusieurs points essentiels pour la compréhension de la dynamique de formation des structures, avec en particulier tout un ensemble de choix collectifs qui tiennent à des enjeux de pertinence et d’efficacité.

  • 31 Les espaces dont le groupe fondamental est trivial.
  • 32 Les espaces qui s’identifient aux sphères à déformation près (techniquement, à équivalence d’homot (...)

46Tout d’abord, c’est le point essentiel de son argumentation, une structure a une épaisseur cognitive en mathématiques – elle est intéressante – si elle est utilisée, voire requise, pour des applications. D’où par exemple le choix d’inclure des hypothèses de convexité locale qui, a priori, ne vont pas de soi, dans la définition des espaces de Fréchet – on pourrait très bien appeler espaces de Fréchet les espaces (F) et espaces de Fréchet localement convexes les espaces de Fréchet de Bourbaki, comme on parle d’espaces topologiques simplement connexes31 ou ayant le type d’homotopie de sphères32, la logique d’une approche axiomatique étant de procéder par ajout d’axiomes de structure à des systèmes d’axiomes fondamentaux plutôt que de donner un nom spécifique à chaque construction, par une sorte de rasoir d’Ockam mathématique...

47Bourbaki et Dieudonné insistent en effet toujours sur les critères d’applicabilité et de signification: l’abstraction ne vaut rien pour elle-même, elle vaut au service du travail mathématique concret et donc dans une situation et une configuration historique – intrinsèquement variable et appelée à évoluer. Ainsi, c’est le travail de Schwartz, la théorie des distributions et les phénomènes de dualité qui changent la situation, selon un schéma diachronique que l’on retrouve dans le structuralisme propre à la linguistique. De façon plus générale, l’intérêt d’une structure est indissociable de sa sémantique : ses modèles, applications, utilisations – quoique Bourbaki soit de façon générale surtout intéressé par les applications internes aux mathématiques.

  • 33 On notera que ce jugement de valeur n’est pas présenté par Dieudonné, dans le passage cité ci-dess (...)

48L’idée de culture (« background » chez Taylor) joue ici un rôle essentiel. Elle pose divers problèmes, la culture mathématique d’un individu ou d’un groupe d’individus étant elle-même soumise à divers aléas, le résultat de déterminants sociaux, et le fait de traditions, d’intérêts séculaires propres à telle ou telle communauté. Tout cela rejoint, chez Bourbaki, la présence de jugements de valeur (« le nom de Fréchet méritait33...) que l’on ne peut que rapprocher d’un autre jugement sur Fréchet dans la Notice historique de la partie sur la Topologie générale des Éléments:

  • 34 Le jugement a blessé Fréchet et est commenté par Taylor dans le premier de ses articles [Taylor 19 (...)

Les premières tentatives pour dégager ce qu’il y a de commun aux propriétés des ensembles de points et de fonctions, furent faites par Fréchet et F. Riesz; mais le premier, partant de la notion de limite dénombrable, ne réussit pas à construire un système d’axiomes commode et fécond34...

  • 35 Voir par exemple [Patras 2001, chap. 5].

49Quoi qu’il en soit, on voit bien ici que tout un ensemble de paramètres liés à leur développement historique et technique joue un rôle décisif dans la constitution de cette épaisseur cognitive et sémantique qui est, chez Bourbaki, caractéristique des structures intéressantes. L’idée de « mort » (mathématique), déjà abordée brièvement du point de vue de l’épistémologie historique, en donnerait une autre illustration. Son exemple illustre bien, lui aussi, les phénomènes de continuité et de temporalité propres aux mathématiques : une idée, une notion peut cesser d’y susciter de l’intérêt sans pour autant cesser de valoir. Cette image de la mort a été employée explicitement par un membre clé du groupe, Claude Chevalley35, pour décrire les théories ayant atteint leur plénitude. Les disciplines mathématiques croissent ou dépérissent. Lorsqu’elles ont atteint leur plein développement, lorsque ne restent à résoudre que des problèmes d’un intérêt douteux ou marginal, mais surtout lorsque leurs idées se figent au sein d’un texte formalisé, c’en est fini de la fascination qu’elles exerçaient sur les mathématiciens au travail . Elles demeurent cependant, boîtes à outils ou simples reliques d’intérêts passés que de nouveaux problèmes pourraient cependant remettre au goût du jour.

50Comme avec les concepts épistémiques, il y a, dans le fait d’accorder aux structures bourbakistes le statut d’objets épistémiques, des choix théoriques en décalage avec ceux effectués par l’épistémologie historique analytique – ceux de Rheinberger, en l’occurrence. Si une dimension historique-sociale est bien présente, à la fois au travers des processus de constitution et de jugements de valeur ou de l’intérêt porté à telle ou telle structure, qui lui confèrent une épaisseur épistémique, l’objet mathématique est intrinsèquement théorique. Sa constitution au travers d’expériences ou sa mobilisation sous forme technique-pratique relèvent de modalités largement spécifiques aux mathématiques. Pour autant, il ne faut pas négliger ces dimensions, ni le rôle qu’elles jouent dans la cristallisation de tel ou tel concept. Si l’exemple des espaces de Fréchet en donne une bonne illustration, on pourrait en donner d’autres.

  • 36 On renvoie le lecteur par exemple à [Cartier & Patras 2021], [Kassel 1995], [MacLane 1971] pour pl (...)

51Dans le cas, paradigmatique pour le structuralisme, des groupes, si la définition de la structure formelle de groupe s’est figée il y a longtemps déjà sous sa forme ensembliste (un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition associative, unitaire et telle que tout élément a un inverse), le xxe siècle a vu se multiplier des définitions alternatives. En géométrie algébrique, un groupe (algébrique, affine) G est l’ensemble des morphismes d’algèbre d’une algèbre de Hopf commutative H vers un corps de base, et la donnée de H (l’algèbre des fonctions régulières sur G) fait intrinsèquement partie de la définition de G comme groupe algébrique. Dans la théorie des groupes quantiques, qui est pour l’essentiel une théorie des déformations de groupes de matrices, cette dualité entre groupes et algèbres de fonctions est abandonnée: un groupe quantique s’identifie à la donnée d’une algèbre de Hopf non commutative (et non cocommutative), et n’est plus un groupe au sens classique. On peut argumenter qu’il s’agit là de notions de groupe augmentées d’axiomes de structure additionnels (comme dans le cas des groupes algébriques), ou de généralisation de la notion où la terminologie même est discutable (puisqu’un groupe quantique n’est plus un groupe). Le plus troublant d’un point de vue épistémologique est sans doute la possibilité de donner une définition de la notion de groupe dans le langage des catégories : un groupe au sens usuel devient alors un groupe dans la catégorie des ensembles36. On retrouve là, transposés dans l’univers des structures, les vieux débats sur la notion de nombre: un nombre négatif, un nombre complexe sont assurément reconnus comme des nombres, mais que dire des quaternions, des octonions, des matrices? Finalement, si les systèmes d’axiomes définissant les structures bourbakistes sont indubitablement d’abord et avant tout des objets théoriques, tous les déplacements auxquels nous venons de faire allusion montrent bien le caractère toujours inachevé et mouvant des idées mathématiques.

6 Conclusion

  • 37 Sur cette première opposition, on pourra consulter [Cantù & Patras 2023].

52Au-delà de Bourbaki, la notion de structure est omniprésente dans l’étude des mathématiques, avec des acceptions différentes : on la trouve en mathématiques (avec les structures algébriques, topologiques ou ordonnées, par exemple), en métamathématique (des premières réflexions sur les structures isomorphes chez Russell, Hilbert ou Hahn jusqu’à la théorie des modèles37), en philosophie des mathématiques (qui s’est beaucoup interrogée récemment sur les différentes versions du structuralisme, de Benacerraf à Shapiro) ou en histoire des mathématiques. Cette polysémie fondamentale de la notion de structure est au fondement des différentes variantes du structuralisme: mathématique ou philosophique, méthodologique ou théorique, linguistique ou historique.

53La notion de structure relève ainsi d’une dynamique de réflexion originale sur les mathématiques, souvent ancrée dans des pratiques concrètes et effectives : l’influence de Bourbaki sur la façon même de faire des mathématiques par ses membres et, au-delà, par plusieurs générations de mathématiciens, a souvent été soulignée [Patras 2001, chap. V]. Si l’histoire joue un rôle essentiel dans cette réflexion, c’est bien entendu au travers des processus de constitution et de leur logique interne, mais aussi de façon plus globale au travers de la saisie unitaire des mathématiques que chaque époque propose au travers de telle ou telle architecture du corpus qui, dans son détail, ne se limite jamais à un simple cadre axiomatique mais renvoie également à des priorités thématiques, et quelque chose comme une culture mathématique historiquement et socialement constituée.

[Pour ce qui est de l’]ontologie historique, [elle] porte sur les façons selon lesquelles les possibilités de choix, et d’être, apparaissent dans l’histoire. Elle ne doit pas être pratiquée en termes de grandes abstractions, mais en termes de formations explicites dans lesquelles nous pouvons nous constituer, des formations dont les trajectoires peuvent être tracées aussi clairement que celles des traumatismes ou du développement de l’enfant, ou, à un certain niveau, qui peuvent être tracées de façon plus obscure par des concepts organisateurs plus grands, comme l’objectivité ou les faits eux-mêmes. [Hacking 2002, 23]

54Nous avons, dans cet esprit, analysé ici deux rôles de la notion de structure chez Bourbaki, comme concept organisateur et comme formations théoriques concrètes dont les trajectoires conceptuelles peuvent être observées et étudiées. Cette analyse avait plusieurs objectifs, dont celui de montrer comment les thèses de l’épistémologie historique analytique peuvent être utilisées dans un contexte mathématique, mais aussi d’aider à concevoir le cœur du projet bourbakiste – l’édification d’une architecture structurale des mathématiques – comme une dialectique, un va-et-vient, entre le niveau conceptuel (les structures analysées dans leur lien intrinsèque à la fonction organisatrice de la méthode axiomatique chez Bourbaki) et celui des objets épistémiques (les structures qui naissent à l’intérieur d’une pratique mathématique et sont considérées comme objet d’étude théorique dans les traités bourbakistes).

55L’étude de Bourbaki à travers le prisme des deux notions de concept épistémique et d’objet épistémique permet finalement de mieux cerner les enjeux de la notion de structure – enjeux indissociablement mathématiques, historiques et épistémologiques. Conçue comme système d’axiomes permettant de caractériser statiquement un objet ou une classe d’objets mathématiques (par exemple les groupes), elle a également une fonction organisatrice pour les mathématiques et contribue à en expliciter la dynamique interne, qui n’est pas réductible à un accroissement progressif et linéaire. La notion d’architecture mouvante des mathématiques qui se dégage alors se prête bien à être explorée au travers d’études portant simultanément sur les objets scientifiques et les concepts organisateurs.

56La notion de structure, pouvant être entendue d’une part comme la conceptualisation d’une pratique d’organisation des branches mathématiques, et d’autre part comme objet de recherche qui naît sous l’effet du discours axiomatique en devenant un objet mathématique à part entière, témoigne finalement d’une complémentarité entre les deux axes de l’épistémologie historique analytique basés respectivement sur l’analyse des concepts et celle des objets scientifiques. L’analyse de Bourbaki, avec ce qu’elle a d’emblématique, permet quant à elle de mettre en place les ingrédients d’une réflexion originale sur l’épistémologie et l’histoire qui trouve une place naturelle dans les débats contemporains. Elle conduit aussi à élaborer de nouveaux outils herméneutiques pour l’étude plus générale du structuralisme en mathématiques, une problématique qui déborde largement le champ des questions que nous avons abordées ici.

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Bibliographie

Arabatzis, Theodore [2011], On the historicity of scientific objects, Erkenntnis, 75(3), 377–390, doi : 10.1007/s10670-011-9344-5.

Aubin, David [1997], The withering immortality of Nicolas Bourbaki: A cultural connector at the confluence of mathematics, structuralism, and the Oulipo in France, Science in Context, 10(2), 297–342, doi : 10.1017/S0269889700002660.

Bachelard, Gaston [1938], La Formation de l’esprit scientifique, Paris: Vrin.

Bartocci, Claudio [2020], Ladders of sets and isomorphisms, dans Structures Mères: Semantics, Mathematics, and Cognitive Science, édité par A. Peruzzi & S. Zipoli Caiani, Cham: Springer, 59–90, doi : 10.1007/978-3-030-51821-9_4.

Bourbaki, Nicolas [1939-1984], Éléments de mathématiques, Paris, Hermann puis Masson.

Bourbaki, Nicolas [1948], L’architecture des mathématiques, dans Les Grands Courants de la pensée mathématique, édité par F. Le Lionnais, Paris: Cahiers du sud, 35–47.

Bourbaki, Nicolas [2006], Groupes et Algèbres de Lie. Chapitre 1, Springer, réimpression de l’éd. de Paris : Hermann, 1972.

Bourbaki, Nicolas [2006], Groupes et Algèbres de Lie. Chapitres 2 et 3, Berlin; Heidelberg: Springer, réimpression de l’éd. de Paris : Hermann, 1972.

Bourbaki, Nicolas [2007], Algèbre: Chapitre 9, Springer Berlin Heidelberg, réimpression de l’éd. de Paris : Hermann, 1959.

Bourbaki, Nicolas [2007], Théorie des ensembles, Berlin; Heidelberg: Springer, réimpression de l’éd. de Paris : Hermann, 1970.

Braunstein, Jean-François, Diez, Iván Moya et al. [2019], Qu’est-ce que l’épistémologie historique ? Des « échantillons » plutôt que des « manifestes, dans L’Épistémologie historique : Histoire et méthodes, Paris: Éditions de la Sorbonne, 5–11.

Cantù, Paola [2020], Grassmann’s conceptual structuralism, dans The Prehistory of Structuralism, édité par Erich H. Reck & Georg Schiemer, New York: Oxford University Press, 21–58, doi : 10.1093/oso/9780190641221.003.0002.

Cantù, Paola & Patras, Frédéric [2023], Russell and Carnap or Bourbaki? Two ways towards structures, dans Logic, Epistemology and Scientific Theories. From Peano to the Vienna Circle, édité par P. Cantù & G. Schiemer, Springer, forthcoming.

Cartan, Henri [1980], Nicolas Bourbaki and contemporary mathematics, The Mathematical Intelligencer, 2(4), 175–180, doi : 10.1007/BF03028596.

Cartier, Pierre & Patras, Frédéric [2021], Classical Hopf Algebras and their Applications, Springer.

Chang, Hasok [2011], The persistence of epistemic objects through scientific change, Erkenntnis, 75(3), 413–429, doi : 10.1007/s10670-011-9340-9.

Corry, Leo [1992], Nicolas Bourbaki and the concept of mathematical structure, Synthese, 92(3), 315–348, doi : 10.1007/BF00414286.

Corry, Leo [2004], Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Bâle: Birkhäuser, 2e éd.

Daston, Lorraine [2000], Biographies of Scientific Objects, Chicago: University of Chicago Press.

Daston, Lorraine J. & Galison, Peter [2007], Objectivity, New York; Cambridge, Mass.: Zone Books.

Dauben, Joseph W. & Scriba, Cristoph J. [2002], Writing the History of Mathematics: Its Historical Development, Science Networks. Historical Studies, Bâle: Birkhäuser.

Dieudonné, Jean [1982], The work of Bourbaki during the last thirty years, Notices of the American Mathematical Society, 29, 618–623.

Feest, Uljana & Sturm, Thomas [2011], What (good) is historical epistemology?, Erkenntnis, 75, 285–302, doi : 10.1007/s10670-011-9345-4.

Granger, Gilles-Gaston [1992], À quoi sert l’épistémologie ?, Droit et Societé, 20–21, 39–44, doi : 10.3406/dreso.1992.1134.

Hacking, Ian [1975], The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge, Mass.: Cambridge University Press, 2e éd., 2006.

Hacking, Ian [2002], Historical Ontology, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Hawkins, Thomas [2012], Emergence of the Theory of Lie Groups: An essay in the history of mathematics 1869–1926, New York: Springer.

Heinzmann, Gerhard & Petitot, Jean [2020], The functional role of structures in Bourbaki, dans The Prehistory of Mathematical Structuralism, édité par E. H. Reck & G. Schiemer, New York: Oxford University Press, 187–214.

Huet, Sylvestre & Cartier, Pierre [1998], Bourbaki est mort, CQFD. Interview avec P. Cartier, Libération, 28 avril.

Kassel, Christian [1995], Quantum Groups, New York: Springer.

Livernet, Muriel & Patras, Frédéric [2008], Lie theory for Hopf operads, Journal of Algebra, 319, 4899–4920, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.03.016.

MacLane, Saunders [1971], Categories for the Working Mathematician, New York: Springer.

Maronne, Sebastien & Patras, Frédéric [2022], L’épistémologie mathématique de Gaston Bachelard, Études Bachelardiennes, Gaston Bachelard et la philosophie des sciences aujourd’hui, 1, 51–68, doi : 10.7413/2724-5470052.

Marquis, Jean-Pierre [2020], Forms of structuralism: Bourbaki and the philosophers, dans Structures Mères: Semantics, Mathematics, and Cognitive Science. Studies in Applied Philosophy, Epistemology and Rational Ethics, édité par A. Peruzzi & S. Zipoli Caiani, Cham: Springer, 37–57, doi : 10.1007/978-3-030-51821-9_3.

Marquis, Jean-Pierre [2022], The structuralist mathematical style: Bourbaki as a case study, dans Objects, Structures, and Logics, édité par C. Ternullo & G. Oliveri, Springer, 199–231, doi : 10.1007/978-3-030-84706-7_8.

Patras, Frédéric [2001], La Pensée mathématique contemporaine, Paris: Presses Universitaires de France.

Patras, Frédéric [2014], La Possibilité des nombres, Science, histoire et société, Paris: Presses Universitaires de France.

Patras, Frédéric [2022], Philosophie mathématique, l’école française au xxe siècle: histoire, logique, mathématique, dans Précis de philosophie de la logique et des mathématiques, édité par A. Arana & M. Panza, Paris: Éditions de la Sorbonne, t. 2, 467–482.

Paumier, Anne-Sandrine [2014], Laurent Schwartz (1915-2002) et la vie collective des mathématiques, Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie – Paris VI.

Peruzzi, Alberto & Zipoli Caiani, Silvano (éds.) [2020], Structures Mères: Semantics, Mathematics, and Cognitive Science. Studies in Applied Philosophy, Epistemology and Rational Ethics, Cham: Springer, doi : 10.1007/978-3-030-51821-9.

Pillon, Perceval & Angleraux, Caroline (éds.) [2022], La Désuétude conceptuelle: abandon ou transformation?, Philosophia Scientiæ, t. 26-1, Paris: Kimé.

Poincaré, Henri [1899], Sur les groupes continus, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 18, 220–255, http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1899cp.pdf.

Reck, Erich H. & Schiemer, Georg (éds.) [2020], The Prehistory of Mathematical Structuralism, New York: Oxford University Press.

Rheinberger, Hans-Jörg [1997], Toward a History of Epistemic Things. Synthesizing proteins in the test tube, Stanford: Stanford University Press.

Rheinberger, Hans-Jörg [2005], A reply to David Bloor: “Toward a sociology of epistemic things”, Perspectives on Science, 13(3), 406–410, doi : 106361405774287973.

Rheinberger, Hans-Jörg [2010], On Historicizing Epistemology. An Essay, Stanford: Stanford University Press.

Rheinberger, Hans-Jörg [2012], A plea for a historical epistemology of research, Journal for General Philosophy of Science, 43, 105–111, doi : 10.1007/s10838-012-9183-3.

Taylor, Angus E. [1982], A study of Maurice Fréchet: I. His early work on point set theory and the theory of functionals, Archive for History of Exact Sciences, 27(3), 233–295, doi : 10.1007/BF00327860.

Taylor, Angus E. [1987], A study of Maurice Fréchet: III. Fréchet as analyst, 1909–1930, Archive for History of Exact Sciences, 37(1), 25–76, doi : 10.1007/BF00412329.

Ton-That, Tuong & Tran, Thai-Duong [1999], Poincaré’s proof of the so-called Birkhoff-Witt theorem, Revue d’histoire des mathématiques, 5(2), 249–284, http://www.numdam.org/item/RHM_1999__5_2_249_0/.

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Notes

1 Dans le contexte mathématique, très spécifique, il conviendrait sans doute de leur associer Léon Brunschvicg auquel un numéro spécial (2021-3) de la Revue de métaphysique et de morale a récemment été consacré. Sur Bachelard et Brunschvicg et sur l’épistémologie mathématique de Bachelard, on pourra consulter [Maronne & Patras 2022].

2 Ces deux utilisations sont à rapprocher de l’idée de « structuralisme » telle qu’on la trouve en sciences humaines et comme mouvement culturel. Les rapports complexes de Bourbaki à cette autre forme de structuralisme sont analysés en détail dans [Aubin 1997].

3 Toutes les traductions sont dues aux auteurs, sauf mention contraire.

4 De nombreux matériaux non publiés sont archivés sur le site des Archives Henri-Poincaré créé par Liliane Beaulieu, http://archives-bourbaki.ahp-numerique.fr/, et sur le site http://sites.mathdoc.fr/archives-bourbaki/ des Archives de l’Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki. Nous remercions Christophe Eckes pour les échanges que nous avons eus sur l’état des recherches historiques sur Bourbaki, un domaine très actif avec de nombreux enjeux.

5 Voir [Corry 1992], [Aubin 1997], [Corry 2004], [Patras 2001] et [Reck & Schiemer 2020].

6 Voir [Peruzzi & Zipoli Caiani 2020], avec en particulier [Bartocci 2020], [Marquis 2020].

7 Du moins dans le cadre de ses propres travaux et de leur époque, puisque les travaux récents de Jean-Pierre Marquis en réévaluent le contenu [Marquis 2020].

8 Sur Grassmann et le structuralisme, nous renvoyons à [Cantù 2020].

9 L’idée d’architecture est fondamentale dans le projet bourbakiste. Elle permet d’interroger non plus seulement les concepts et objets qui forment la science et leurs modes de production, mais également la constitution de la science comme un ensemble organique, à une époque et dans un contexte historique donnés.

10 La manière dont Bourbaki a pratiqué l’histoire des mathématiques a fait l’objet de débats et polémiques. Il lui a en particulier été reproché d’avoir instrumentalisé l’histoire au service de la conception des mathématiques qui organise son œuvre.

11 Nous renvoyons à [Patras 2001], dont c’est l’un des fils conducteurs.

12 Le lecteur est renvoyé au traité de Bourbaki pour un exposé méthodique.

13 Comme Bourbaki, Hawkins s’intéresse aux propriétés structurales de la théorie : « Je me suis concentré sur les origines [de la théorie] et sur le développement ultérieur de ses aspects structurels » [Hawkins 2012, v].

14 Le groupe des matrices 3 × 3 à coefficients complexes et inversibles.

15 Le groupe des matrices 2 × 2 à coefficients complexes et de déterminant 1.

16 La structure d’algèbre de Lie est donc « plus faible » que celle d’algèbre associative: on oublie une partie de la structure en passant de la seconde à la première puisque le crochet de Lie est déterminé par le produit associatif. On notera que la propriété inverse est fausse : on ne peut pas retrouver le produit d’une algèbre associative à partir de la connaissance du crochet de Lie associé. Cette propriété est facile à vérifier puisque toute algèbre commutative a un crochet de Lie associé nul.

17 Dans le langage des catégories, on vient de définir un foncteur d’oubli des algèbres associatives dans les algèbres de Lie.

18 Pour plus de détails sur l’émergence de l’idée d’algèbre enveloppante et le théorème de structure dit de Poincaré-Birkhoff-Witt, voir [Ton-That & Tran 1999].

19 Cette construction peut être obtenue là encore par un véritable calcul structural puisque U(𝔤) s’obtient comme quotient de T(𝔤), l’algèbre associative libre sur 𝔤, par les relations x × y – y × x = [x,y], où on note × le produit dans T(𝔤). Par « structural », nous entendons ici un calcul pouvant être mis en place à partir des seules notions d’algèbre de Lie, d’algèbre associative, et des relations générales entre les deux notions. Pour un point de vue récent sur ces questions utilisant le formalisme des espèces de structure (celui de A. Joyal, postérieur à la notion d’espèce de structure utilisée par Bourbaki), on pourra consulter [Livernet & Patras 2008].

20 Dans le langage des catégories, cette construction est fonctorielle et le foncteur algèbre enveloppante est adjoint à gauche du foncteur d’oubli des algèbres associatives dans les algèbres de Lie. Dans le langage des Éléments, une α-application de 𝔤 dans une algèbre associative unitaire L est une application linéaire σ de 𝔤 dans L telle que σ([x,y]) = σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x).

L’application σ est dite universelle si toute α-application σ' : 𝔤 → L’ de 𝔤 dans une algèbre associative unitaire L’ se factorise de manière unique sous la forme σ' = f∘ σ, où f est un morphisme d’algèbre de L dans L’. L’algèbre L est alors uniquement déterminée à isomorphisme près, on la note en général U(𝔤).

21 Consulter par exemple, pour une vue d’ensemble sur le structuralisme en mathématiques et ses différentes formes, classiques et contemporaines, l’Introduction de [Reck & Schiemer 2020].

22 Les sources françaises mentionnées par Rheinberger incluent Gaston Bachelard, Georges Canguilhem, Michel Foucault, Louis Althusser, Jacques Lacan, Jacques Derrida, Michel Serres, Bruno Latour, Claude Bernard et François Jacob [Rheinberger 1997, 21].

23 L’exemple des nombres naturels est détaillé dans [Patras 2014].

24 « La question désormais n’était plus de comprendre comment les sujets connaissants pouvaient parvenir à une connaissance authentique des objets ; la question était plutôt de comprendre quelles conditions devaient être mises en place pour que les objets puissent être constitués comme objets d’une connaissance empirique sous des conditions historiquement variables » [Rheinberger 2010, 3].

25 Formule « épistémologie française », à comprendre au sens développé dans [Patras 2022].

26 Cette thématique de l’abandon est intimement liée à celle de la désuétude, qui a fait l’objet d’un volume spécial de Philosophia Scientiæ [Pillon & Angleraux 2022], auquel nous renvoyons.

27 Rappelons que Dieudonné est souvent considéré comme ayant été le porte-parole de Bourbaki : « Dans ce petit groupe soudé [des premiers membres de Bourbaki], André Weil joue le leader savant; Henri Cartan, le Professeur; Jean Dieudonné va s’affirmer comme “scribe final, 10 000 pages à son actif, et porte-parole tonitruant” » [Huet & Cartier 1998]. C’est par exemple à Dieudonné que l’on doit le texte-manifeste « L’Architecture des mathématiques », publié sous la signature de Bourbaki [Bourbaki 1948]. Sur ce rôle de Dieudonné au sein de Bourbaki, parfois en conflit avec la volonté affirmée du groupe de garder une certaine réserve, voir par exemple [Corry 2004, sect. 7.2].

28 C’est le titre de la section III de la Note : Le « dictionnaire » groupes de Lie – algèbres de Lie [NGA, 293].

29 Rappelons que logarithme et exponentielle définissent un isomorphisme local, au voisinage de l’unité, entre le groupe et son algèbre de Lie.

30 Sur la collaboration Dieudonné-Schwartz et plus généralement le traitement des espaces de Fréchet par Bourbaki, nous renvoyons à [Paumier 2014, sec. 1.4].

31 Les espaces dont le groupe fondamental est trivial.

32 Les espaces qui s’identifient aux sphères à déformation près (techniquement, à équivalence d’homotopie près).

33 On notera que ce jugement de valeur n’est pas présenté par Dieudonné, dans le passage cité ci-dessus [Taylor 1987, 36], comme un simple jugement subjectif: il sent la nécessité de le justifier, et le fait dans une logique structuraliste. Il aurait été dicté par la dynamique objective entre les structures dans son développement historique, dynamique qui prend en compte la dimension axiomatique (la définition formelle), mais également le rôle et l’importance d’une notion dans le travail et le corpus mathématique – « [Frechet] a certainement été le premier à avoir défini les topologies d’espaces de Fréchet au moyen de distances sur des espaces d’une importance fondamentale en analyse ». Bien évidemment de tels jugements sont toutefois aussi le résultat d’une certaine histoire, faite également de relations personnelles directes, et dans laquelle Bourbaki s’inscrit.

34 Le jugement a blessé Fréchet et est commenté par Taylor dans le premier de ses articles [Taylor 1982] : « Sa fille m’a dit que son père, quoique de façon générale peu préoccupé par ce que les autres pensaient de lui et de son travail, fut atteint [shocked, hurt] par le récit historique bourbakiste » [Taylor 1982, 236].

35 Voir par exemple [Patras 2001, chap. 5].

36 On renvoie le lecteur par exemple à [Cartier & Patras 2021], [Kassel 1995], [MacLane 1971] pour plus de détails sur ces différentes idées.

37 Sur cette première opposition, on pourra consulter [Cantù & Patras 2023].

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Pour citer cet article

Référence papier

Paola Cantù et Frédéric Patras, « Les structures bourbakistes: objets ou concepts épistémiques ? »Philosophia Scientiæ, 27-2 | 2023, 233-259.

Référence électronique

Paola Cantù et Frédéric Patras, « Les structures bourbakistes: objets ou concepts épistémiques ? »Philosophia Scientiæ [En ligne], 27-2 | 2023, mis en ligne le 16 octobre 2023, consulté le 16 décembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/4014 ; DOI : https://doi.org/10.4000/philosophiascientiae.4014

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Auteurs

Paola Cantù

Aix-Marseille Université, CNRS (France)

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Frédéric Patras

Université Côte d’Azur, CNRS (France)

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