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Études poincaréiennes(I)

Henri Poincaré : du « principe de mouvement relatif » au « principe de relativité » en passant par le « principe de réaction » et son rapport à la théorie de Lorentz

Henri Poincaré: From the “Principle of Relative Motion” to the “Principle of Relativity” through the “Principle of Reaction” and its Relation to Lorentz Theory
Christian Bracco
p. 35-62

Résumés

Le « principe de relativité » apparaît dans sa forme moderne en 1905, dans les travaux de Henri Poincaré « Sur la dynamique de l’électron ». Mais l’élévation du principe de relativité (galiléen) de la mécanique (newtonienne) au rang de principe général gouvernant toute la physique a été l’objet d’une gestation complexe chez Poincaré. Nous en retraçons les principales étapes en commençant par son cours de physique à la Sorbonne en 1889, où il généralise les conclusions de Fresnel de 1818 sur la réfraction dans l’expérience du prisme d’Arago (le « principe de mouvement relatif » étendu à l’optique). Nous nous intéressons ensuite à ses articles scientifiques dans la revue l’Éclairage électrique en 1895, où il confronte la théorie de Lorentz au principe de réaction newtonien qui s’applique à la matière seule (son « objection » à la théorie). Poincaré soulève à cette occasion la « connexion » de ce principe avec le « principe de mouvement relatif ». Pour mieux comprendre ces enjeux nouveaux, nous revenons en détail sur l’article fondamental de Poincaré « La théorie de Lorentz et le principe de réaction », à l’occasion du Jubilé pour Lorentz de décembre 1900, où Poincaré précise à quelles conditions ces principes s’étendent à l’électrodynamique. Pour conclure, nous verrons comment, en 1905, le « principe de mouvement relatif » devient « principe de relativité » en lien avec la « cohérence parfaite » de la théorie de Lorentz. Notre article est le premier, à notre connaissance, à donner une perspective d’ensemble aux travaux de Poincaré de 1889 à 1900 mentionnés ci-dessus et à la logique qui les relie.

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Texte intégral

Je tiens à remercier Jean-Pierre Provost pour nos nombreuses discussions sur les travaux de Henri Poincaré ainsi qu’Olivier Darrigol pour de stimulantes discussions scientifiques liées à son analyse différente de l’article complexe de Poincaré du Jubilé.

1À mon père

1 Introduction : Poincaré 1889 et le « principe du mouvement relatif » étendu [PMRE]

2L’intérêt de Henri Poincaré pour les théories optiques et électrodynamiques, et le principe de mouvement relatif, date de ses premiers cours à la Sorbonne dans le cadre de sa chaire de physique mathématique et calcul des probabilités. En 1889, paraît Leçons sur la théorie mathématique de la lumière, vol. 1 [1889], édité par son ancien élève Jules Blondin. Poincaré s’intéresse dans le chapitre VIII « Aberration » à la formule de Fresnel [1818] vérifiée par Fizeau [1851], alors interprétée comme un entraînement partiel de l’éther par les corps réfringents. Cette formule précise que la vitesse des ondes lumineuses traversant un milieu réfringent en mouvement, rapportée à des axes immobiles (référentiel de l’éther), doit être v = c/n + V(1 − 1/n2), où n est l’indice de réfraction du milieu, c la vitesse de la lumière dans le vide, c/n la vitesse de la lumière dans le corps au repos et V sa vitesse par rapport à l’éther. Poincaré s’intéresse à la durée de parcours de la lumière dans le corps en mouvement,

T = T' + V A'B'/c2,

A'B' et T' sont respectivement la distance projetée dans la direction du mouvement entre deux points du rayon et la durée du trajet dans le corps au repos, T désignant la durée dans l’éther. Il montre que le principe de Fermat reste inchangé, que le corps soit au repos ou en mouvement et conclut [Poincaré 1889, 389] :

Une conséquence importante de la formule précédente est que les lois de la réflexion et de la réfraction, les phénomènes d’interférences ne sont pas affectés par le mouvement de la Terre,

généralisant ainsi la conclusion de Fresnel selon laquelle « le mouvement de notre globe ne doit avoir aucune influence sensible sur la réfraction apparente » [Fresnel 1818, 633]. Poincaré exprime ce résultat sous la forme suivante :

En un mot les phénomènes optiques ne peuvent mettre en évidence que des mouvements relatifs par rapport à l’observateur de la source lumineuse et de la matière pondérable. [Poincaré 1889, 391]

Nous désignerons dans la suite par PMRE ce principe de mouvement relatif étendu empiriquement au rayonnement (même si Poincaré n’emploie le terme de principe de mouvement relatif que plus tard), pour le distinguer du PMR, principe du mouvement relatif (galiléen) bien connu de la mécanique newtonienne.

  • 1 Poincaré joue un rôle important dans ce nouveau journal qui succède à La Lumière électrique [cf. N (...)

3Paraissent ensuite en 1890 Électricité et Optique, vol. 1, rédigé par Jules Blondin et en 1891, le Vol. 2, rédigé par Bernard Brunhes (traduits en allemand en 1891-1892 par les assistants de Helmholtz à Berlin). Une seconde édition, largement réactualisée avec les théories de Hertz et de Lorentz, issue des cours de Poincaré de 1899, paraît en 1901 [Poincaré 1901]. Ces volumes sont disponibles dans les bibliothèques des universités et grandes écoles d’ingénieurs à travers le monde. Poincaré publie aussi une série de quatre articles dans la revue de référence pour ingénieurs l’Éclairage électrique en 1895 où il examine des théories électrodynamiques récentes1. Il apparaît donc en 1900 comme un spécialiste international reconnu dans le champ de l’électrodynamique.

  • 2 La rédaction de cet article en peu de temps se manifeste par quelques traces : quelques coquilles, (...)

4L’occasion lui est donnée d’apporter une contribution originale et essentielle à l’édifice de ces théories, à l’occasion du vingt-cinquième anniversaire de la thèse de doctorat du physicien hollandais Hendrik Anton Lorentz (le « Jubilé »), qui a lieu à Leyde le 11 décembre 1900. Poincaré est invité par Heike Kammerlingh Onnes à rédiger un article pour le volume qui sera remis à Lorentz [Walter, Nabonnand et al. 2016, 362–364]. En septembre 1900, il écrit à Onnes : « Je ne demande pas mieux que de collaborer au Jubelschrift [...]. Mais je vous demanderai un peu de temps avant de vous donner le titre de ce travail ; cela exige quelque réflexion. » Poincaré envoie quelques semaines plus tard, le 10 novembre 1900, un mémoire détaillé et technique de 27 pages [Poincaré 1900a]2. Il annonce, avec le titre même de son article « La théorie de Lorentz et le principe de réaction », qu’il va discuter une « objection » qu’il avait formulée en 1895 : la force introduite par Lorentz \(q(\vec{E}\ +\vec{v}\ \wedge\vec{B}\,)\), s’exerçant sur des charges électriques libres de se déplacer dans l’éther, viole le principe de réaction de la mécanique newtonienne car ces charges ne réagissent pas en retour sur l’éther, support des champs. Ainsi, débute-t-il son article par un mot d’excuse, précisant :

On trouvera sans doute étrange que dans un monument élevé à la gloire de Lorentz je revienne sur des considérations que j’ai présentées autrefois comme une objection à sa théorie. [Poincaré 1900a, 252]

Revenons donc avec Poincaré sur la série de quatre articles, des 6 avril, 18 mai, 5 octobre et 30 novembre 1895, intitulés « À propos de la théorie de M. Larmor » et parus dans l’Éclairage électrique [Poincaré 1895a,b], où, à la faveur d’une analyse comparative de différentes théories électrodynamiques contemporaines, Poincaré formule son « objection ».

2 Poincaré 1895 : le « Principe de réaction » newtonien [PRN] et le « principe du mouvement relatif » étendu [PMRE]

5Nous n’examinerons pas le premier article de la série [Poincaré 1895a, 5–13], où Poincaré revient sur les théories (mécaniques) optique de Fresnel et électrodynamique de Larmor, ni le dernier [Poincaré 1895b, 385–392] qui porte sur une image hydrodynamique dans les théories électrodynamiques de Wilhelm Bjerknes et de Lord Kelvin.

6Poincaré constate dans le second article [Poincaré 1895a, 289–295] l’incapacité de certaines théories électrodynamiques à rendre compte de « l’entraînement partiel des ondes » lumineuses dans les milieux réfringents, i.e., de la formule de Fresnel et du principe de mouvement relatif. La théorie de Hertz de 1890 [voir par exemple Poincaré 1901, 345–362] impliquant un entraînement total de l’éther est de fait d’emblée condamnée, mais elle présente un avantage aux yeux de Poincaré : sa compatibilité avec le principe de réaction de la mécanique newtonienne. La théorie de Helmholtz de 1892 de la dispersion [voir par exemple Poincaré 1901, 592–599] rend compte de la formule de Fresnel quand on l’applique à un éther immobile dans lequel la matière se déplace, mais n’est d’après Poincaré pas compatible avec la conservation de la charge. Revenant sur une discussion de Joseph John Thomson issue de ses « Recent researches », exposée par Blondin dans La Lumière électrique en 1893, Poincaré observe que la théorie « laisse donc place à un grand nombre d’hypothèses, mais aucune n’est satisfaisante ; la seule qui soit d’accord avec l’expérience de Fizeau [...] soulèverait les mêmes difficultés que les théories de Helmholtz-Reif et de Lorentz » [Poincaré 1895a, 295].

  • 3 L’ouvrage est pourtant publié début 1895 (acquis le 29 janvier 1895 par la bibliothèque de l’Obser (...)

7Dans ces théories (Larmor, Helmholtz, Thomson...), l’éther a différentes propriétés (élastiques, rotationnelles...), mais Poincaré relève que la théorie de Lorentz se singularise. Sans le préciser, il se réfère à [Lorentz 1892] et ne semble pas avoir pris connaissance de la théorie des « états correspondants » [Lorentz 1895]3. La théorie de Lorentz de 1892 explique naturellement (avec la force de Lorentz) la formule d’entraînement de Fresnel, et, note Poincaré, « rend compte du principe de la conservation de l’électricité » puisqu’elle repose sur l’idée « fondamentale » qu’un « très grand nombre de petites particules portant des charges électriques qui leur sont invariablement liées [se déplaçant librement dans l’éther], sont disséminées dans le volume des conducteurs et des diélectriques ». Mais, ajoute-t-il :

Malheureusement il reste une difficulté grave : il n’y a plus égalité entre l’action et la réaction. [Poincaré 1895a, 294]

Nous notons dans la suite PRN (Principe de Réaction Newtonien) le « principe de l’action et de la réaction » de la mécanique newtonienne, qui s’applique à la matière seule. Il s’agit de la « troisième loi » de Newton, plus fondamentale aux yeux de Poincaré que la seconde \(\vec{F}\,=\,d\vec{p}\,\ /dt\), et qui est généralisée à la conservation de la quantité de mouvement d’un système mécanique isolé. Lorentz, pour sa part, ne voyait aucune contradiction à ce que ce principe fondamental de la mécanique ne soit pas satisfait dans le cadre de l’électrodynamique, tout comme Paul Langevin, qui dira encore en 1904 dans sa conférence de Saint-Louis intitulée « La physique des électrons » :

L’égalité de l’action et de la réaction n’a, d’ailleurs, jamais été démontrée expérimentalement dans des cas semblables [l’électrodynamique], et il n’y a ici aucune difficulté si l’on ne tient pas à étendre ce principe au-delà des faits qui l’ont suggéré [la mécanique newtonienne]. [Langevin 1923, IV.3, 31]

8Poincaré poursuit en précisant son objection à la théorie de Lorentz :

Considérons un petit conducteur A chargé positivement et entouré d’éther. Supposons que l’éther [immobile] soit parcouru par une onde électromagnétique et qu’à un certain moment cette onde atteigne A, la force électrique due à la perturbation agira sur la charge de A et produira une force pondéromotrice agissant sur le corps A. Cette force pondéromotrice ne sera contrebalancée au point de vue du principe de l’action et de la réaction [PRN] par aucune autre force agissant sur la matière pondérable. [Poincaré 1895a, 294]

Dans un diélectrique comme l’air, Poincaré précise que « la réaction subie par l’air n’est qu’une très faible fraction de l’action subie par le corps A » (ce qu’il détaillera dans le Jubilé de 1900). Il termine ce paragraphe sur Lorentz par : « [...] on aura beaucoup de peine à expliquer l’entraînement partiel des ondes sans violer le principe de l’égalité de l’action et de la réaction [PRN] » ; et conclut son article par : « les contradictions auxquelles toutes les hypothèses viennent se heurter paraissent tenir à une cause profonde » [1895a, 295].

9Poincaré cherche à mieux cerner cette cause dans son troisième article. Il rappelle les trois conditions auxquelles doit satisfaire une théorie électrodynamique :

  1. Elle devrait rendre compte des expériences de M. Fizeau, c’est-à-dire de l’entraînement partiel des ondes lumineuses [...].
  2. Elle doit être conforme au principe de la conservation de l’électricité et du magnétisme.
  3. Elle devrait être compatible avec le principe de l’égalité de l’action et de la réaction.

Nous avons vu qu’aucune des théories proposées jusqu’ici ne remplit simultanément ces trois conditions ; la théorie de Hertz satisfait aux deux dernières, mais pas à la première ; celles de Helmholtz ne satisfont pas à la seconde ; celle de Lorentz satisfait bien aux deux premières mais pas à la dernière.

Il ajoute, revenant sur la conclusion de l’article précédent :

On peut se demander si cela tient à ce que ces théories sont incomplètes ou si ces trois conditions ne sont réellement pas compatibles, ou ne le deviendraient que par une modification profonde des hypothèses admises. [Poincaré 1895b, 5]

Poincaré développe les calculs relatifs à la théorie de Hertz, considérée comme un cas d’école. Il généralise ensuite le résultat sur la base de la linéarité des équations de champs, avec des dérivées du premier ordre et leur homogénéité, et observe, en introduction de ses « conclusions provisoires », que :

Il résulte de tout ce qui précède qu’aucune théorie ne peut satisfaire à la fois aux trois conditions énoncées [...].

Nous ne pourrions par conséquent espérer d’échapper à cette difficulté qu’en modifiant profondément les idées généralement admises [...].

Il faut donc renoncer à développer une théorie parfaitement satisfaisante et s’en tenir provisoirement à la moins défectueuse de toutes qui paraît être celle de Lorentz. [Poincaré 1895b, 12]

Et un peu plus loin :

Il me paraît bien difficile d’admettre que le principe de réaction soit violé, même en apparence, et qu’il ne soit plus vrai si l’on envisage seulement les actions subies par la matière pondérable et si on laisse de côté la réaction de cette matière sur l’éther. [Poincaré 1895b, 14]

La théorie de Lorentz étant alors seulement « la moins défectueuse », il en appelle plutôt à un refondement de l’électrodynamique :

Il faudra donc un jour ou l’autre [...] briser le cadre où nous cherchons à faire rentrer à la fois les phénomènes optiques et les phénomènes électriques. [Poincaré 1895b, 14]

10C’est le moment pour lui d’établir dans ses conclusions un lien avec le « principe de mouvement relatif » étendu [PMRE]. Il enchaîne [Poincaré 1895b, 14] :

  • 4 Cette formulation semble indiquer que Poincaré n’a effectivement pas connaissance de [Lorentz 1895 (...)

Mais même en se bornant aux phénomènes optiques proprement dits, ce qu’on a dit jusqu’ici pour expliquer l’entraînement partiel des ondes n’est pas très satisfaisant4.

L’expérience a révélé une foule de faits qui peuvent se résumer dans la formule suivante : il est impossible de rendre manifeste le mouvement absolu de la matière, ou mieux le mouvement relatif de la matière pondérable par rapport à l’éther ; tout ce qu’on peut mettre en évidence, c’est le mouvement de la matière pondérable par rapport à la matière pondérable,

ce qu’il notait déjà en 1889 (cf. section 1). Il rappelle que les théories (hormis celle de Hertz) « rendent bien compte de cette loi » à condition de négliger la dispersion et les termes en V2/c2 (même si « cela ne suffit pas ; la loi sembl[ant] être vraie même sans ces restrictions ainsi que l’a prouvé une récente expérience de M. Michelson »). Puis il fait un lien entre PMRE et PRN et conclut :

Il y a donc là aussi une lacune qui n’est peut-être pas sans quelque parenté avec celle que le présent article a pour but de signaler.

Et en effet, l’impossibilité de mettre en évidence un mouvement relatif de la matière par rapport à l’éther ; et l’égalité qui a sans doute lieu entre l’action et la réaction sans tenir compte de l’action de la matière sur l’éther, sont deux faits dont la connexité semble évidente.

Peut-être les deux lacunes seront-elles comblées en même temps. [Poincaré 1895b, 14]

Comment la théorie électrodynamique de Lorentz peut-elle violer le PRN et être compatible avec le PMRE (du moins au premier ordre en V/c) si les principes de réaction et de relativité vont de pair ? Cette question est cruciale pour Poincaré en 1895.

3 Poincaré 1900 : le renvoi au Congrès international de physique d’août dans le texte de décembre du Jubilé

11Poincaré revient dès la deuxième phrase de son article du Jubilé, sur l’« objection formulée », à savoir que la théorie de Lorentz (y compris dans sa version de 1895 désormais) ne satisfait pas au PRN, mais il nuance :

Je pourrais dire que les pages qui vont suivre sont plutôt de nature à atténuer qu’à aggraver cette objection. [Poincaré 1900a, 252]

  • 5 Cet ouvrage est déposé par Poincaré à l’Académie des sciences le 14 décembre 1900.
  • 6 Poincaré utilise le mot « théorème » dans son ouvrage Électricité et Optique de 1901 à plusieurs r (...)

Nous verrons (cf. section 6) que c’est en 1905 que Poincaré considère avoir donné sa « pleine cohérence » à la théorie de Lorentz. En 1900, il ne peut que se placer au premier ordre en V/c, alors qu’il attend une solution générale comme il l’écrivait dans le chapitre VI de son cours de 1899 Électricité et Optique5. Il y érigeait le PMRE en « Théorème » [Poincaré 1901, 528]6 :

Le mouvement de la Terre n’influe pas sur les phénomènes optiques si on néglige les carrés de [V/c],

avant de prédire sa validité à tout ordre :

[...] je regarde comme très probable que les phénomènes optiques ne dépendent que des mouvements relatifs des corps matériels en présence, sources lumineuses ou appareils optiques et cela non pas aux quantités près de l’ordre du carré ou du cube de l’aberration, mais rigoureusement. À mesure que les expériences deviendront plus exactes, ce principe sera vérifié avec plus de précision. [Poincaré 1901, 536]

Puis de partager en conclusion sa confiance en l’avenir de la théorie de Lorentz, qui, de théorie « la moins défectueuse » en 1895 devient la plus prometteuse :

[...] une théorie bien faite devrait permettre de démontrer le principe d’un seul coup dans toute sa rigueur. La théorie de Lorentz ne le fait pas encore. De toutes celles qui ont été proposées, c’est elle qui est le plus près de le faire. On peut donc espérer de la rendre parfaitement satisfaisante sous ce rapport sans la modifier trop profondément. [Poincaré 1901, 536]

12Après cette précision, revenons avec Poincaré sur son intervention au Congrès international de Physique d’août 1900 [1900b] à laquelle il nous renvoie dans l’introduction du Jubilé. L’honneur lui revient alors d’ouvrir le congrès en abordant la « question primordiale, qui domine toutes les autres », comme le commentent les éditeurs dans leur avertissement, avec son Rapport intitulé « Relation entre la physique expérimentale et la physique mathématique ». Dans le thème Signification des théories physiques, après s’être posé la question « Et notre éther, existe-t-il réellement ? », Poincaré revient sur le principe de réaction en lien avec son « objection » de 1895 à la théorie de Lorentz :

On peut concevoir cependant des expériences qui nous le feraient toucher [l’éther] de plus près encore. Supposons que le principe de Newton, de l’égalité de l’action et de la réaction, ne soit plus vrai si on l’applique à la matière seule et qu’on vienne à le constater. [Poincaré 1900b, 21]

Il poursuit (en employant le conditionnel) :

Il faudrait bien, si on ne voulait changer toute la Mécanique, introduire l’éther, pour que cette action que la matière paraîtrait subir fût contre-balancée par la réaction de la matière sur quelque chose.

L’éther acquerrait alors une réalité physique. Puis Poincaré revient (toujours au conditionnel) sur l’éventualité de la mise en évidence du mouvement absolu :

Ou bien encore je suppose que l’on reconnaisse que les phénomènes optiques et électriques sont influencés par le mouvement de la Terre. On serait conduit à conclure que les phénomènes pourraient nous révéler non seulement les mouvements relatifs des corps matériels, mais ce qui semblerait être leurs mouvements absolus. Il faudrait bien encore qu’il y eût un éther, pour que ces soi-disant mouvements absolus ne fussent pas leurs déplacements par rapport à un espace vide, mais leur déplacement par rapport à quelque chose de concret [référentiel absolu]. [Poincaré 1900b, 22]

L’éther apparaît donc comme le point de connexion entre les principes. Mais en appeler à l’éther n’est pas concevable pour Poincaré, car celui-ci, dépourvu de matérialité, ne peut exercer d’action mécanique. Aussi conclut-il : « En arrivera-t-on, jamais là ? Je n’ai pas cette espérance, [...] et cependant elle n’est pas si absurde puisque d’autres l’ont eue ». Il revient ensuite plus explicitement sur son « objection » de 1895 à la théorie de Lorentz :

Par exemple, si la théorie de Lorentz était vraie, le principe de Newton ne s’appliquerait pas à la matière seule et la différence ne serait pas très loin d’être accessible à l’expérience. [Poincaré 1900b, 22]

  • 7 Dans sa « théorie des états correspondants » Lorentz met un mouvement à la vitesse V selon l’axe x(...)

13Poincaré précise ensuite que la relativité du mouvement a fait la preuve de sa validité et que « d’après les théories régnantes, la compensation ne serait qu’approchée ». En effet, le temps local, clé de voûte de la théorie de Lorentz de 1895, permet de satisfaire (au premier ordre en V/c) au PMRE en électrodynamique7. Poincaré qualifie alors d’« illusoire » l’idée selon laquelle, en poussant les expériences, on pourrait déceler le mouvement de la matière par rapport à l’éther. Revenant sur la théorie de Lorentz, il constate de nouveau :

Ce que nous avons de plus satisfaisant, c’est la théorie de Lorentz ; c’est sans contredit celle qui rend le mieux compte des phénomènes connus, celle qui met en lumière le plus grand nombre de rapports vrais, celle dont on retrouvera le plus de traces dans la construction définitive. Néanmoins elle a encore un défaut grave que j’ai signalé plus haut ; elle est contraire au principe de Newton de l’égalité de l’action et de la réaction ; ou plutôt ce principe, aux yeux de Lorentz, ne serait pas applicable à la matière seule ; pour qu’il fût vrai, il faudrait tenir compte des actions exercées par l’éther sur la matière, et de la réaction de la matière sur l’éther. Or, jusqu’à nouvel ordre, il est vraisemblable que les choses ne se passent pas ainsi. [Poincaré 1900b, 24–25]

Les succès de la théorie de Lorentz (formule de Fresnel, effet Zeeman...) s’expliquent par l’hypothèse de charges électriques matérielles soumises à l’action des champs électrique et magnétique par la force de Lorentz. Dès lors, comment concevoir une action en retour de la matière sur l’éther ? Poincaré résume, quelques lignes plus loin, à propos de la théorie : « On devra probablement la modifier, mais non la détruire. »

14Dans la citation ci-dessus, où il mentionne les « rapports vrais », Poincaré assortit sa réflexion sur le principe de réaction d’une réflexion philosophique sur ce qu’est une théorie physique. C’est un point qu’il avait développé un peu avant dans sa conférence [Poincaré 1900b, 14–16], en opposant le caractère « éphémère » des théories, qui frappe les « gens du monde », à l’existence de « rapports vrais » se perpétuant au-delà des « images dont nous avons habillé la réalité », et se traduisant par des « équations différentielles » et des « principes généraux ».

15C’est pourquoi, dans le texte du Jubilé de décembre 1900, Poincaré place d’emblée son introduction sur ce terrain épistémologique en s’intéressant aux qualités d’une théorie physique : « Les bonnes théories sont souples ». Il justifie l’atténuation de son « objection » à la théorie de Lorentz :

Mais si une théorie nous révèle certains rapports vrais, elle peut s’habiller de mille formes diverses, elle résistera à tous les assauts et ce qui fait son essence ne changera pas [...].

Les bonnes théories ont raison de toutes les objections ; [...] elles triomphent même des objections sérieuses, mais elles en triomphent en se transformant.

Les objections [...] leur permettent de développer toute la vertu latente qui était en elles. Eh bien la théorie de Lorentz est de celles-là [...]. [Poincaré 1900a, 252]

Poincaré semble préparer avec ces phrases d’introduction Lorentz à admettre, certes, une « modification » de sa théorie ; mais une modification qui valoriserait « toute la vertu latente qui était en ell[e] ».

16Voyons maintenant sur quelle base il pense « atténuer » l’objection, formulée dès 1895 et pour l’essentiel maintenue en août 1900, avec son article original rédigé spécialement pour le Jubilé, trois mois à peine après le congrès de Paris. L’analyse qui suit (§§ 4–5) est basée sur [Provost & Bracco 2023].

4 Poincaré 1900, § 1–2 du Jubilé : « La quantité de mouvement de l’énergie électromagnétique »

4.1 Énergie électromagnétique et « fluide fictif »

17Pour justifier mathématiquement son « objection » selon laquelle « dans la théorie de Lorentz le principe de l’égalité de l’action et de la réaction n’est plus vrai, du moins quand on veut l’appliquer à la matière seule » [PRN], Poincaré considère au §1 du texte du Jubilé des charges matérielles de densité ρ, se déplaçant à la vitesse \(\vec{v}\ \) et soumises à la force volumique de Lorentz, contenues dans un volume donné :

\[(1)\quad \vec{F}\ =\int \left( \rho \vec{E}\ +\vec{j}\ \wedge \vec{B}\,\right) \ d\tau\]

où \(\vec{j}\ = \rho \vec{v}\) est la densité de courant.

18Utilisant les quatre équations de Maxwell, les théorèmes usuels d’analyse permettant de passer d’intégrales volumiques à des intégrales de surface, des intégrations par parties (obtenant au passage les termes de pression de Maxwell), puis étendant le domaine d’intégration à l’infini (ce qui fait disparaître ces termes de surfaces), Poincaré obtient l’expression de la force subie par les charges sous la forme :

\[(2)\quad \vec{F}\ =-\frac{d}{dt}\int \varepsilon_0 \left(\vec{E}\ \wedge \vec{B}\,\right) \ d\tau,\]

qui est non nulle en régime variable. Notons que cette force apparaissait dans un article d’Alfred Liénard, mais Liénard ne s’intéressait qu’à sa valeur moyenne dans le temps, qui s’annule [Liénard 1898], [Poincaré 1901, 451–454].

19Revenant alors sur le terrain de la mécanique, Poincaré considère « M une des masses matérielles envisagées, \([\vec{V}\,]\) sa vitesse, on devrait avoir si le principe de réaction [PRN] est applicable » :

\[(3)\quad \Sigma M\vec{V} = \vec{C}.\]

où \(\vec{C}\) désigne un vecteur constant. Mais il remarque que compte tenu de l’analyse qui précède, « [o]n aura au contraire » :

\[(4)\quad\Sigma M\vec{V}+\int \varepsilon_0(\vec{E} \wedge \vec{B}) d\tau =\vec{C}.\]

20Par analogie avec la seconde loi de Newton \(\vec{F}\ =\ d\vec{p}\ \ /dt\), la quantité

\[\int \varepsilon_0(\vec{E} \wedge \vec{B}) d\tau\]

(dérivée par rapport au temps dans l’éq. (2)), est homogène à une quantité de mouvement et permet d’écrire l’éq. (4) sous la forme d’un bilan. De plus, cette quantité est liée au transport de l’énergie électromagnétique, comme Poincaré le remarque immédiatement en identifiant le second terme au « vecteur radiant de Poynting » [à un facteur c2 près] [Poincaré 1900a, 256]. Ainsi, à côté de la quantité de mouvement usuelle \(\vec{p}\ =\,M\vec{V}\) de la mécanique ordinaire, il faut considérer dans le bilan un terme additionnel homogène à une quantité de mouvement et proportionnel au courant d’énergie électromagnétique. Huit pages plus loin, Poincaré précisera :

Dans l’analyse qui précède nous avons fait jouer un rôle à ce que nous avons appelé la quantité de mouvement de l’énergie électromagnétique. [Poincaré 1900a, 264]

C’est bien à la suite de l’équation (4) que s’applique cette remarque de Poincaré ; mais il a visiblement oublié de la faire au bon endroit puisque, huit pages plus loin, il pense l’avoir déjà faite alors qu’elle ne figure nulle part avant ! Nous noterons PRNE le principe de réaction étendu à l’électrodynamique, et qui, à côté de la matière, prend en compte le comportement dynamique de l’énergie électromagnétique. Il ne s’agit pas pour nous d’affirmer que Poincaré considère que les champs électrique et magnétique portent directement cette quantité de mouvement. Poincaré n’aurait d’ailleurs jamais cherché à « habiller » une quantité sortie des équations de quelque « costume » que ce soit. Mais cette quantité de mouvement est certainement aussi réelle pour lui que l’énergie électromagnétique et la force de Lorentz dont elle se déduit mathématiquement.

21Si Poincaré considère aussitôt cette « quantité de mouvement de l’énergie électromagnétique » comme un « fluide fictif » qui peut être créé ou détruit, c’est en tant qu’image qu’il introduit cette comparaison :

Nous pouvons regarder l’énergie électromagnétique comme un fluide fictif dont la densité est [J/c2, J énergie transportée] qui se déplace dans l’espace conformément aux lois de Poynting. Seulement il faut admettre que ce fluide n’est pas indestructible et que dans l’élément de volume  il s’en détruit pendant l’unité de temps une quantité \(\left[\left( \vec{j}.\vec{E} d\tau\right)/c^2\right]\) (ou qu’il s’en crée une quantité égale et de signe contraire, si cette expression est négative) ; c’est ce qui empêche que nous puissions assimiler tout à fait dans nos raisonnements notre fluide fictif à un fluide réel. [Poincaré 1900a, 256]

22Poincaré utilise ce « fluide fictif » pour discuter la validité du théorème du centre masse, qui stipule que le centre de gravité d’un système (matériel en mécanique newtonienne) a un mouvement rectiligne et uniforme. Il établit que le centre de gravité de position \(\vec{X_2}\) du système « {matière + rayonnement} » dans la théorie de Lorentz obéit à la relation :

\[\frac{d}{dt}(M_2\vec{X}_{2})\,=\,\vec{C}\,-\int \vec{r}\,(\vec{j}.\vec{E}\,) d\tau,\]

avec \(\vec{j}=\rho \vec{v}\). À sa lecture, on comprend aisément une première conclusion de Poincaré :

S’il n’y a nulle part création ou destruction d’énergie électromagnétique [...] alors le centre de gravité du système formé par la matière et par l’énergie électromagnétique (regardée comme un fluide fictif) a un mouvement rectiligne et uniforme. [Poincaré 1900a, 258]

Dans le cas contraire, Poincaré nous dit qu’il faut (pour satisfaire à ce théorème) considérer que « l’énergie non électrique reste au point où s’est opérée la transformation et n’est pas ensuite entraînée par la matière où on la localise d’ordinaire \([\vec{v}=\vec{0}]\) », et ajoute :

  • 8 Notons que Poincaré, qui a pris soin de distinguer plusieurs types d’hypothèses dans sa conférence (...)

[i]l n’y a dans cette convention rien qui doive nous choquer puisqu’il ne s’agit que d’une fiction mathématique [...]8. Si l’on adopte cette convention, le mouvement du centre de gravité du système {matière + rayonnement} est encore rectiligne et uniforme.

  • 9 Einstein écrit en introduction de son article :
    « Bien que les simples considérations formelles qu (...)

C’est en effet sa liberté, de pouvoir raisonner sur une image aux propriétés ad hoc étranges qui peut questionner son lecteur. Ce recours au « fluide fictif » sera revu par Albert Einstein, qui interprètera les équations de Poincaré en termes d’inertie de l’énergie [Einstein 1906], aussi bien pour la matière que pour le rayonnement9.

23Après s’être intéressé à « l’inertie du fluide fictif », Poincaré remarque que « le principe de la conservation des projections des quantités de mouvements [...] s’applique au système de la matière et du fluide fictif ; on retrouve ainsi les équations [4] » ; il complète cette remarque par « une conséquence nouvelle » : « le principe des aires s’applique au système de la matière et du fluide fictif » [Poincaré 1900a, 260].

24Mentionnons aussi brièvement que Poincaré revient dans le §2 du Jubilé sur les diélectriques, qu’il considérait déjà en 1895, pour montrer que dans la théorie de Lorentz, une fraction de la quantité de mouvement 2/(n2+1) est emportée par l’énergie électromagnétique ; le principe de réaction est donc encore violé si on l’applique à la matière seule. Sans entrer dans le détail de son argumentation, signalons que Poincaré exprime la quantité de mouvement électromagnétique \(\varepsilon_0\vec{E}\wedge\vec{B}\) de l’éq. (4) pour une onde plane dans un diélectrique d’indice n (soit ε0nE2/c) et que, l’identifiant à une quantité de mouvement de la forme ρξ (en projection) où ρ est la densité d’énergie volumique ρc2 du fluide fictif, il obtient une vitesse de déplacement

\[\xi=\frac{2n}{n^2+1}\times \frac{c}{n},\]

différente de celle de l’onde plane. Elle intervient dans le bilan aux côtés des quantités de mouvement matérielle du dispositif expérimental et du diélectrique. L’équation fondamentale (4) s’en trouve modifiée. Poincaré en déduit :

[...] si un appareil rayonne de l’énergie dans une direction unique dans le vide, il subit un recul qui est compensé uniquement du point de vue du principe de réaction par le mouvement du fluide fictif.

Mais si le rayonnement au lieu de se faire dans le vide, se fait dans un diélectrique, ce recul sera compensé en partie par le mouvement du fluide fictif, en partie par le mouvement de la matière du diélectrique [...] [fraction \(\frac{n^2-1}{n^2+1}\)]. [Poincaré 1900a, 266–267]

25Avant de revenir à la section 5 sur la connexion entre PMRE et PRNE, une digression sur l’apport de Poincaré à l’électromagnétisme dans les §§ 1 et 2 du Jubilé s’impose, car elle est objet de débats qui conditionnent la compréhension de l’article.

4.2 Discussion critique de l’apport de Poincaré à l’électromagnétisme dans les § 1 et 2 du Jubilé

26Une question importante discutée par les historiens de la physique porte sur la « réalité » de la quantité de mouvement introduite par Poincaré et ses conséquences pour le principe de réaction.

27On doit à Arthur I. Miller la découverte des échanges épistolaires entre Lorentz et Poincaré, dont en particulier la lettre de Lorentz adressée à Poincaré début 1901 à sa réception du Jubilé [Miller 1997], [Walter, Bolmont et al. 2007, 252–254]. C’est l’occasion pour Miller de revenir succinctement sur l’article de Poincaré :

  • 10 Il s’agit chez Miller de la dérivée temporelle de l’équation donnée par Poincaré (notée (4) dans n (...)

The second term in Eq. [4]10 violates the principle of action and reaction as this principle is understood in Newton’s mechanics [PRN]. Poincaré next took the short but bold step that his philosophical view demanded : in order to rescue Newton’s principle of action and reaction he compared the electromagnetic field to a “fictitious fluid” with a mass and “momentum”
\(\vec{G}=\int \left[\vec{E} \wedge \vec{B})/4\pi c \right] dV\)

Thus, Poincaré’s electromagnetic momentum permitted him to simulate isolated closed system in Lorentz’s theory. [Miller 1997, 53–54]

28Notons que Poincaré ne cherche pas à « sauver » le PRN (bel et bien violé dans la théorie de Lorentz) en incluant le fluide fictif dans la matière, mais montre au contraire que ce principe doit être étendu au-delà de la mécanique newtonienne en envisageant une quantité de mouvement de l’énergie électromagnétique dans les bilans.

29Olivier Darrigol revient aussi sur la contribution de Poincaré :

In 1900, at the occasion of Lorentz’s Jubilee, Poincaré returned to the way in which Lorentz theory violated the principle of reaction. He introduced a fictitious fluid with momentum density \((1/c) \vec{E}\times \vec{H}\) (in Hertz’s units). Adding this fluid to the system of material bodies, the conservation of momentum formally held. [Darrigol 2000, 358], [voir également Darrigol 2000b]

  • 11 Darrigol réitère cette analyse :
    « [...] in his discussion of the violation of the principle of re (...)

Pour Darrigol, le bilan de l’éq. (4) ne peut donc être que « formel » du fait du caractère « fictif » du fluide discuté par Poincaré11. Nous pourrions extraire d’autres citations de quelques auteurs ayant porté leur regard sur cet article de 1900 de Poincaré, mais préférons nous en tenir à ces deux auteurs principaux, dont les propos sont largement repris.

30Par contraste avec les commentaires ci-dessus, et à l’appui de notre analyse, revenons sur ce que les contemporains de Poincaré, électrodynamiciens, ont dit de cette introduction d’une quantité de mouvement électromagnétique et du principe de réaction : Abraham, Langevin, Wien, et enfin Poincaré lui-même. Il apparaît sans ambiguïté que Poincaré est le premier à faire apparaître une quantité de mouvement électromagnétique, physique, dans un bilan mécanique en lien avec la théorie de Lorentz. Max Abraham écrit en 1902, sans mentionner un quelconque caractère « fictif » ou « formel » :

La relation de la théorie de Lorentz au troisième axiome de Newton [PRN] a été discutée de manière particulièrement détaillée par Monsieur Henri Poincaré ; il a souligné que la loi de conservation de la quantité de mouvement conserve sa validité si une certaine quantité de mouvement est attribuée au champ électromagnétique. [Abraham 1902, 25, ma traduction]

  • 12 En note, Abraham qualifie l’introduction en 1893 d’une quantité de mouvement par Joseph John Thoms (...)

31Notons qu’Abraham parle de « quantité de mouvement » du « champ électromagnétique », alors que Poincaré attribue plus précisément une quantité de mouvement à « l’énergie électromagnétique ». En 1903, Abraham crédite de nouveau Poincaré de cette introduction avant d’ajouter : « L’existence d’une quantité de mouvement électromagnétique est d’une importance fondamentale pour la dynamique de l’électron » [Abraham 1903, 110]12.

32De son côté, Langevin écrit en 1904 dans sa conférence de Saint-Louis, à la section IV « Dynamique des électrons », sous-section 4 « La quantité de mouvement électromagnétique » :

Si l’on veut néanmoins réaliser cette extension quelque peu arbitraire [du PRN en PRNE], on est conduit à ne pas appliquer le principe à la matière seule, et à supposer à l’éther une quantité de mouvement, qui serait celle du système matériel auquel on l’assimile. M. Poincaré a montré que cette quantité de mouvement électromagnétique doit être proportionnelle en chaque point, en grandeur et en direction, au vecteur de Poynting, qui permet en même temps de définir l’énergie transmise à travers le milieu. [Langevin 1923, 31]

Notons que Langevin, s’il a pris bonne note que Poincaré étendait le PRN, raisonne – comme Lorentz – en termes d’éther, alors que Poincaré pense rayonnement. Restons avec Langevin, qui écrit dans son article « Henri Poincaré, le physicien » :

D’autre part, et ce point l’occupa longuement, la théorie de Lorentz est en contradiction avec le principe d’égalité de l’action et de la réaction ou de conservation de la quantité de mouvement. Il crut y voir d’abord une raison de la rejeter, mais ne tarda pas à y apporter lui-même une contribution décisive en montrant que la difficulté disparaît par l’introduction de ce qu’il appela quantité de mouvement électromagnétique, notion nouvelle qui facilita singulièrement, provoqua même le développement ultérieur de la dynamique électromagnétique. [Langevin 1914, 164]

33Ajoutons aussi le témoignage de Wilhelm Wien, dans le numéro des Acta Mathematica rassemblé par Gösta Mittag-Leffler en hommage à Poincaré (qui contient aussi des articles de Lorentz et Planck) :

Un ouvrage qu’il publie en 1900 dans le volume anniversaire de Lorentz est d’une grande importance pour la physique théorique. Il y a introduit la quantité de mouvement électromagnétique, qui élimine la contradiction avec le principe d’action et de réaction, une théorie qui est devenue très importante pour le développement ultérieur de l’électrodynamique. [Wien 1921, 290, ma traduction]

Enfin, pour finir, dans sa notice biographique [Poincaré 1908] envoyée à Gaston Darboux, présentant ses travaux scientifiques pour le comité Nobel, Poincaré écrit :

J’ai eu à examiner diverses conséquences de la théorie de Lorentz. J’ai montré qu’elle était incompatible avec le principe de l’égalité de l’action et de la réaction [PRN] et comment il conviendrait de modifier ce principe [PRNE] pour le mettre d’accord avec cette théorie. Ce résultat a servi de point de départ à Abraham pour ce calcul par lequel il a démontré que la masse des électrons est d’origine purement électrodynamique [...]. [Poincaré 1908]

Poincaré prétend donc non seulement avoir permis le développement des travaux d’Abraham, mais surtout avoir résolu dans son article pour le Jubilé le paradoxe qui se posait à lui en 1895, comme l’accréditent aussi Langevin et Wien d’après ce que nous venons de voir.

5 Poincaré 1900, § 3 du Jubilé : Le « principe de mouvement relatif » étendu [PMRE] et le « principe de réaction » étendu [PRNE]

34Revenons avec Poincaré sur le PMRE, son rapport à la théorie de Lorentz, et à la distinction PRN/PRNE. Poincaré commence la troisième et dernière section de l’article du Jubilé par une nouvelle interrogation, renforçant la discussion des sections précédentes :

Pourquoi le principe de réaction s’impose-t-il à notre esprit ? Il importe de s’en rendre compte, afin de voir si les paradoxes qui précèdent peuvent être réellement considérés comme une objection à la théorie de Lorentz. [Poincaré 1900a, 270]

Il fait ainsi un retour sur le fondement même de ce principe pour convaincre ses lecteurs, et en premier lieu Lorentz, de sa nécessité « impérieuse ». Il apporte une première réponse dans le domaine de la mécanique newtonienne :

Le principe de réaction [PRN] nous apparaît donc comme une conséquence de celui de l’énergie et de celui du mouvement relatif [PMR, galiléen]. Ce dernier principe lui-même s’impose impérieusement à l’esprit, quand on l’applique à un système isolé. [Poincaré 1900a, 271]

Pour établir le PRN, Poincaré applique, comme il le ferait devant des étudiants, le théorème de l’énergie mécanique pour des forces conservatives dans deux référentiels galiléens, l’un en translation à la vitesse V selon l’axe des x par rapport à l’autre. Il obtient « l’expression analytique du principe de réaction » à savoir la conservation de la quantité de mouvement totale du système \(\Sigma m\vec{v}=\vec{C}\). S’étant restreint à un système mécanique isolé, il souligne la différence avec le « cas qui nous occupe » [Poincaré 1900a, 271] :

Il ne s’agit pas d’un système isolé puisque nous ne considérons que la matière proprement dite, en dehors de laquelle il y a encore l’éther,

c’est-à-dire, pour Poincaré, le rayonnement.

35Revenant sur le PMR (galiléen), Poincaré rappelle qu’il n’était pas intuitif de penser à sa validité en dehors du champ de la mécanique newtonienne, dès lors que la vitesse de propagation finie de la lumière est prise en compte. La formule de Fresnel d’« entraînement partiel des ondes », a d’abord semblé étrange aux physiciens car elle indique qu’on ne peut mettre en évidence le mouvement de la Terre dans l’éther à l’ordre V/c par des effets de réfraction optique : il y a « compensation » entre la vitesse des ondes lumineuses dans un diélectrique en mouvement (dans l’éther) et l’effet d’« aberration astronomique », ce dont rend compte la théorie de Lorentz des états correspondants. C’est ce qui fait dire aussitôt à Poincaré :

Il semble que le principe de mouvement relatif, qui ne s’imposait pas a priori, est vérifé a posteriori [PMRE] et que le principe de réaction [PRN] devrait s’en suivre ; et cependant il n’en est pas ainsi, comment cela se fait-il ? [Poincaré 1900a, 272]

  • 13 « Elle » ne renvoie directement à aucun sujet dans la phrase qui précède ! Cela atteste que Poinca (...)

36Poincaré cherche à cerner la nature d’un paradoxe qu’il avait déjà évoqué en 1895. Mais son analyse va être beaucoup plus poussée dans ce texte de décembre 1900, qui fait dans la suite toute sa place au « temps local » de Lorentz. Poincaré commence donc par revenir sur le fait qu’« en réalité, ce que nous avons appelé le principe de mouvement relatif n’a été vérifié qu’imparfaitement comme le montre la théorie de Lorentz [il faut l’étendre au rayonnement et faire appel au temps local pour expliquer l’impossibilité de détecter le mouvement absolu de la Terre]. Elle13 est due à une compensation d’effets [...] » [1900a, 272] qu’énonce Poincaré :

  1. Cette compensation n’a lieu qu’en négligeant v2 [...].
  2. Pour que la compensation se fasse, il faut rapporter les phénomènes, non pas au temps vrai t, mais à un certain temps local t' défini de la façon suivante.
    Je suppose que des observateurs placés en différents points, règlent leurs montres à l’aide de signaux lumineux ; qu’ils cherchent à corriger ces signaux du temps de la transmission, mais qu’ignorant le mouvement de translation dont ils sont animés et croyant par conséquent que les signaux se transmettent également vite dans les deux sens, ils se bornent à croiser les observations, en envoyant un signal de A en B, puis un autre de B en A. Le temps local t' est le temps marqué par les montres ainsi réglées14.
    Si alors \(V=\frac{1}{\sqrt{K_0}}\) [c] est la vitesse de la lumière, et v la translation de la Terre que je suppose parallèle à l’axe des x positifs, on aura :
    \[(5)\quad t'=t-\frac{vx}{V^2}\].
  3. L’énergie apparente se propage dans le mouvement relatif suivant les mêmes lois que l’énergie réelle dans le mouvement absolu, mais l’énergie apparente n’est pas exactement égale à l’énergie réelle correspondante.
  4. Dans le mouvement relatif, les corps producteurs d’énergie électromagnétique sont soumis à une force apparente complémentaire qui n’existe pas dans le mouvement absolu [la force de Liénard qui apparaît dans la transformation de la force volumique de Lorentz avec la théorie des états correspondants]. [Poincaré 1900a, 272–273]

Ce sont ces différents points qui permettent à Poincaré d’annoncer sans ambiguïté :

Nous allons voir comment ces diverses circonstances résolvent la contradiction que je viens de signaler. [Poincaré 1900a, 273]

  • 15 La transmission hertzienne est alors un sujet à la mode, à la fois sur les plans théoriques et exp (...)

37Poincaré avait démontré qu’en mécanique le PRN était une conséquence de deux principes : la conservation de l’énergie et le PMR. Le PMRE ne peut-il alors s’accorder avec le PRNE (PRN étendu au rayonnement) ? Aussi commence-t-il par s’intéresser à l’énergie dans la théorie électrodynamique de Lorentz. Il prend l’exemple d’un train d’onde électromagnétique envoyé dans une direction déterminée (axe des x) par un dispositif au repos constitué d’un oscillateur de Hertz placé au foyer d’un miroir parabolique15. L’énergie emportée par le rayonnement est celle fournie électriquement à cet excitateur ; cette énergie transportant une quantité de mouvement (cf. section 4), l’excitateur « recule » sous l’effet de cette émission. Poincaré nomme « apparente » la grandeur rapportée à des axes mobiles (dans le référentiel de l’excitateur en mouvement) correspondant à la grandeur « réelle » (au repos dans l’éther). Pour justifier qu’énergies « réelle » et « apparente » sont différentes, il argumente :

Si donc l’énergie électromagnétique réelle rayonnée, était égale à l’énergie électromagnétique apparente, c’est-à-dire comme je viens de le dire, à l’énergie dépensée par l’excitateur, l’accroissement de force vive [énergie cinétique] de l’appareil aurait été obtenu sans aucune dépense. Cela est contraire au principe de conservation. Si donc il se produit un recul c’est que l’énergie apparente n’est pas égale à l’énergie réelle et que les phénomènes dans le mouvement relatif ne sont pas exactement les mêmes que dans le mouvement absolu. [Poincaré 1900a, 273]

Pour examiner « la chose d’un peu plus près » Poincaré considère un excitateur qui n’est plus au repos initialement et un référentiel galiléen qui a une vitesse V différente de la sienne. Il utilise les transformations (à l’ordre V/c de la théorie de Lorentz) pour les champs électrique et magnétique :

\[(6)\quad \vec{E'}{} = \vec{E}{} +\vec{V}{} \wedge \vec{B}{}, \quad \vec{B'}{} =\vec{B}{} - \frac{\vec{V}{} \wedge \vec{E}{}}{c^2},\]

pour calculer la transformation de l’énergie électromagnétique volumique. Pour calculer celle de l’énergie du train d’ondes de longueur L, Poincaré utilise des événements se correspondant dans les deux référentiels ; la « tête » et la « queue » du train d’onde émis, avec les changements de variables :

\[(7)\quad x'=x-Vt, \quad t'=t-\frac{Vx}{c^2},\]

en repérant donc les évènements avec le temps local de Lorentz. Il montre alors que l’énergie apparente du train d’ondes est

\[(8)\quad E'=E \left(1-\frac{V}{c}\right),\]

E = Jdt est l’énergie réelle rayonnée pendant le temps dt. Jdt et Jdt(1 − V/c) sont donc respectivement les énergies réelle et apparente du train d’ondes. Les quantités de mouvement associées sont alors données d’après le §1 par les deux membres de l’expression (8) divisés par c et la différence entre les reculs apparents et réels, correspondant à −JV/c2, est associée à la force de Liénard. La sentence de Poincaré tombe :

L’existence de la force complémentaire apparente est donc une conséquence nécessaire du phénomène de recul [i.e., du PMRE et de la conservation de l’énergie]. [Poincaré 1900a, 278]

La conclusion, qui lève les paradoxes s’ensuit :

Ainsi d’après la théorie de Lorentz le principe de réaction ne doit pas s’appliquer à la matière seule [mais être étendu, PRNE] ; le principe de mouvement relatif ne doit pas non plus s’appliquer à la matière seule [mais être étendu, PMRE]. Ce qu’il importe de remarquer c’est qu’il y a entre ces deux faits une connexion intime et nécessaire. [Poincaré 1900a, 278]

  • 16 Dans [Darrigol 2022, 167] notamment, l’auteur considère au contraire qu’aux yeux de Poincaré la fo (...)

C’est, sur ce point précis, l’apport de Poincaré par rapport à sa conclusion de 1895 : la théorie de Lorentz, avec le temps local et la force de Liénard (qu’il ne connaissait pas en 1895), assure une compatibilité à l’ordre V/c entre les principes de mouvement relatif et de réaction étendus au rayonnement16.

38Aussi Poincaré enchaîne-t-il sur la validité des deux principes, qui vont de pair :

Il suffirait donc d’établir expérimentalement l’un des deux pour que l’autre se trouvât établi ipso facto.

C’est dans les quelques phrases ci-dessus, à quelques lignes de la fin de l’article, que se trouve la véritable conclusion de Poincaré. Mais c’est aussi le moment qu’il choisit pour revenir sur l’analyse de l’expérience de Fizeau qu’il avait faite en 1889 (voir section 1), à la base de tous ces questionnements. Il explique que puisque cette expérience ne satisfait pas au PMR (appliqué à la matière seule) elle ne doit logiquement pas satisfaire non plus au PRN, dans une forme quelque peu contraposée de la conclusion qui précède :

De cette corrélation entre ces deux faits découle une conséquence importante ; c’est que l’expérience de Fizeau est déjà elle-même contraire au principe de réaction [PRN]. Si en effet, comme l’indique cette expérience, l’entraînement des ondes n’est que partiel, c’est que la propagation relative des ondes dans un milieu en mouvement ne suit pas les mêmes lois que la propagation dans un milieu en repos ; c’est-à-dire que le principe du mouvement relatif ne s’applique pas à la matière seule [PMR] et qu’il faut lui faire subir au moins une correction à savoir celle dont j’ai parlé plus haut (2o) et qui consiste à tout rapporter au « temps local » [PMRE]. Si cette correction n’est pas compensée par d’autres, on devra conclure que le principe de réaction n’est pas vrai non plus pour la matière seule. [Poincaré 1900a, 278]

Poincaré enchaîne pour terminer son article, en lien avec cette dernière remarque, de manière elliptique et en référence à [Poincaré 1895b] :

Ainsi se trouveraient condamnées en bloc toutes les théories qui respectent ce principe [PRN], à moins que nous ne consentions à modifier profondément toutes nos idées sur l’électrodynamique. C’est là une idée que j’ai développée plus longuement dans un article antérieur. (Éclairage électrique, Tome V, 40). [Poincaré 1900a, 278]

On pourrait comprendre ces phrases de la manière suivante : si l’on tient (absolument) à rendre compatible le PRN avec une théorie électrodynamique, il faut alors revoir les fondements existants de ces théories ; mais Poincaré ne donne pas plus de pistes qu’il n’en donnait en 1895 pour cela et ce n’est pas, comme nous l’avons vu, le sujet de son article. Quant à la « modification profonde » dont il est question, Poincaré fait référence explicitement à ce qu’il invoquait en 1895 par rapport aux trois conditions simultanées que devait vérifier une théorie (voir section 2). De fait, c’est le PRN lui-même qui se trouve condamné avec toutes les théories électrodynamiques qui le respectent (Hertz, Helmholtz...). Le titre même de l’article du Jubilé « La théorie de Lorentz et le principe de réaction » concerne donc non seulement la levée d’une « objection » à la théorie de Lorentz, mais corrélativement une réflexion, issue de la théorie de Lorentz, sur le principe de réaction.

39Cependant, cette vérification « approchée » du PMRE par la théorie de Lorentz reste insatisfaisante aux yeux de Poincaré en 1900 et il ne considèrera avoir donné une « parfaite cohérence » à la théorie de Lorentz qu’en 1905, comme le montre la suite de la citation issue de sa lettre à Darboux de 1908 mentionnée à la section 4.2 :

J’ai publié dans les Rendiconti un article où j’expose la théorie de Lorentz sur la Dynamique de l’Électron, et où je crois avoir réussi à écarter les dernières difficultés et à lui donner une parfaite cohérence. [Poincaré 1908]

40Rappelons en quelques lignes en quoi Poincaré assure en 1905 la « parfaite cohérence » de la (nouvelle) théorie de Lorentz.

6 Conclusion : Poincaré 1905 et le « principe de relativité »

41Poincaré remarque d’emblée que la mise en mouvement galiléenne, par la pensée, du système physique dans [Lorentz 1904], est incompatible avec les nouvelles transformations que Lorentz donne et qui prennent en compte le facteur \(\gamma=1/\sqrt{1-V^2/c^2}\). Poincaré met ces nouvelles transformations, qu’il nomme « transformations de Lorentz » [Poincaré 1905b], sous la forme moderne que nous leur connaissons, à ceci près qu’il les considère de manière active [Provost & Bracco 2006]. Il « corrige » ainsi Lorentz et établit que ces transformations « forment un groupe », forme mathématique du « postulat de relativité ». Le PMRE se généralise à tous les phénomènes physiques en juin 1905 :

Il semble que cette impossibilité de démontrer le mouvement absolu soit une loi générale de la nature. [Poincaré 1905b, 1504]

Et en juillet 1905 :

Il semble que cette impossibilité de mettre en évidence expérimentalement le mouvement absolu de la Terre soit une loi générale de la Nature ; nous sommes naturellement portés à admettre cette loi, que nous appellerons Postulat de Relativité et à l’admettre sans restriction. [Poincaré 1906, 129]

  • 17 Poincaré érige ici en « postulat » le « principe de relativité », auquel il consacrait plusieurs p (...)

Poincaré fonde son analyse de la dynamique de l’électron de nouveau sur la compatibilité de deux principes en regard de la théorie électrodynamique de Lorentz de 1904 : le « Principe de moindre action [PMA] » et le « Postulat de relativité17 ». On ne peut que relever un certain parallélisme avec son analyse des théories de Lorentz antérieures, sur la base de la connexité de deux principes (PRN(E)/PMR(E)), comme nous l’avons vu dans les sections 2 à 5.

42Poincaré, en 1905, décrit l’électron interagissant avec le champ électromagnétique par une action (intégrale du lagrangien dans le temps) analogue à celle de Helmholtz (mais avec un courant de convection lorentzien), mise ensuite sous la forme d’Abraham (en utilisant les équations de Maxwell) :

Image

Dès le début du § 3 du mémoire de Palerme, il annonce :

Voyons si le principe de moindre action nous donne la raison du succès des transformations de Lorentz. [Poincaré 1906, 142]

Puis il montre que ce qui est en jeu est l’invariance de l’action par le groupe de transformation de Lorentz (ce qui le conduit à écrire le lagrangien de la particule libre relativiste [Bracco & Provost 2009]).

43Mais comme Poincaré s’en était ouvert à Lorentz à travers ses lettres de mai 1905 [Walter, Bolmont et al. 2007, 255–260], la nouvelle théorie se trouve en conflit avec la mécanique. Les équations de Hamilton (conséquence du PMA en mécanique) reliant énergie, quantité de mouvement et lagrangien ne sont vérifiées qu’avec l’hypothèse de Langevin d’un électron conservant son volume (du fait de l’incompressibilité de l’éther), non « relativiste » car incompatible avec la loi de groupe des transformations. Pour que le modèle d’électron de Lorentz satisfasse la mécanique, Poincaré introduit un terme (non électromagnétique) supplémentaire dans le lagrangien, qui assure l’équilibre : la « pression de Poincaré ».

44Tout est-il pour autant réglé comme Poincaré le pense ? Pas tout à fait. Poincaré ne fait pas contribuer l’énergie associée à ce terme de pression à la masse de l’électron, ne discutant ainsi pas la problématique de l’inertie de toute forme d’énergie, développée par la suite par Albert Einstein, Max Planck, Hermann Minkowski, Max Abraham, Max von Laue..., entre 1905 et 1911. Poincaré ne reviendra pas non plus sur la force de Liénard : tout juste notera-t-il dans [Poincaré 1905b] que la transformation correcte des forces fait intervenir un « terme complémentaire [...] qui rappelle un résultat obtenu autrefois par M. Liénard », entérinant de fait que ce terme est associé à la validité du principe de relativité.

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Bibliographie

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Notes

1 Poincaré joue un rôle important dans ce nouveau journal qui succède à La Lumière électrique [cf. Nio 2020, 61–377], voir aussi l’article de N. Nio dans le présent numéro, p. 127–151.

2 La rédaction de cet article en peu de temps se manifeste par quelques traces : quelques coquilles, une précision importante qui n’apparaît que plus loin dans le texte et une phrase assez elliptique pour terminer l’article, comme nous le verrons.

3 L’ouvrage est pourtant publié début 1895 (acquis le 29 janvier 1895 par la bibliothèque de l’Observatoire de Paris).

4 Cette formulation semble indiquer que Poincaré n’a effectivement pas connaissance de [Lorentz 1895].

5 Cet ouvrage est déposé par Poincaré à l’Académie des sciences le 14 décembre 1900.

6 Poincaré utilise le mot « théorème » dans son ouvrage Électricité et Optique de 1901 à plusieurs reprises, en rapport par exemple avec le théorème de Gauss en électricité ou le « théorème de Poynting » [Poincaré 1901, 452] en électromagnétisme (pour caractériser la quantité d’énergie rayonnée à travers une surface donnée). Dans la citation suivante, lorsque Poincaré entrevoit la généralisation du « Théorème » à tout ordre, celui-ci devient « principe » (auquel les expériences à venir satisferont). Le PMRE deviendra le « Postulat de relativité » en 1905, probablement en lien avec son expression mathématique (le groupe de Lorentz).

7 Dans sa « théorie des états correspondants » Lorentz met un mouvement à la vitesse V selon l’axe x (de l’éther), un système de charges dont l’entraînement est décrit par x' = x − Vt. Il montre que les équations de Maxwell pour le système en mouvement peuvent être ramenées au repos en faisant un changement de variable adéquat pour les champs électriques et magnétiques, et en introduisant le « temps local » t' = t − Vx/c2 : variable « fictive » aux yeux de Lorentz, qui conduit pour paraphraser Poincaré à la « destruction » des « termes du premier ordre ».

8 Notons que Poincaré, qui a pris soin de distinguer plusieurs types d’hypothèses dans sa conférence d’août 1900 à Paris, mentionnait notamment les « hypothèses indifférentes [qui] ne sont jamais dangereuses, pourvu qu’on n’en méconnaisse pas le caractère » et qui « peuvent être utiles, soit comme artifices de calcul, soit pour soutenir notre entendement par des images concrètes, pour fixer les idées, comme on dit » [Poincaré 1900b, 10]. Il nous semble que le « fluide fictif » qu’il introduit ici en tant qu’image appartient à cette catégorie.

9 Einstein écrit en introduction de son article :
« Bien que les simples considérations formelles qui doivent être menées pour prouver cette affirmation [nécessité de Δm = ΔE/c2 pour la conservation du mouvement du centre de masse] soient pour l’essentiel déjà contenues dans un article de H. Poincaré [référence à [Poincaré 1900a]], par souci de clarté je ne me baserai pas sur ce travail. » [Einstein 1906, 627, ma traduction]

10 Il s’agit chez Miller de la dérivée temporelle de l’équation donnée par Poincaré (notée (4) dans notre section 4.1).

11 Darrigol réitère cette analyse :
« [...] in his discussion of the violation of the principle of reaction, Poincaré formally (not really) ascribes the momentum density \(c^{-1} \vec{e}\,\times \vec{b}\) to the electromagnetic field. » [Darrigol 2022, 169]

12 En note, Abraham qualifie l’introduction en 1893 d’une quantité de mouvement par Joseph John Thomson de « particulière » [car obtenue « à partir de l’impulsion des tubes de Faraday en mouvement »].

13 « Elle » ne renvoie directement à aucun sujet dans la phrase qui précède ! Cela atteste que Poincaré rédige ses communications « presque sans relecture » comme disait de lui son gendre Émile Boutroux.

14 Soit, dans l'éther, x la direction du mouvement à la vitesse V des observateurs A et B et soit l = xB  xA la distance qui les sépare à un instant donné. Un signal envoyé par A à l'instant tA arrive en B à l'instant t= tA + l/(c−V) tA + l/c (1 + V/c) puisque B fuit A à la vitesse V dans l'éther (tA, tB instants pris dans l'éther). Pour les montres des observateurs réglées comme Poincaré l'indique t'B − t'A=l/c dans leur référentiel entraîné et donc, en substituant l :

\[t'_B-t'_A=(t_B-t_A)-\frac{V(x_B-x_A)}{c^2},\]

qui, pour un choix convenable d'origine, donne l'expression (5). Une analyse analogue avec un signal envoyé de B vers A conduit au même résultat ; sous la main de Poincaré le « temps local » perd son caractère fictif. Cette analyse sur la nouvelle cinématique (au premier ordre) rejoint pour l'essentiel [Darrigol 2004], [Darrigol 2022, 168].

15 La transmission hertzienne est alors un sujet à la mode, à la fois sur les plans théoriques et expérimentaux, et le choix de Poincaré de s’intéresser à un tel dispositif n’est pas anodin.

16 Dans [Darrigol 2022, 167] notamment, l’auteur considère au contraire qu’aux yeux de Poincaré la force de Liénard constitue une violation (a priori mesurable) du principe de relativité :

Poincaré regards this difference as a first-order violation of the relativity principle, the desired couterpart of the first-order violation of the principle of reaction.

Cela conduirait de fait à une aggravation (contrairement à l’« atténuation » revendiquée par Poincaré dès la seconde phrase de son article) de « son objection » à l’égard de la théorie de Lorentz, en associant la violation du PRN à une violation du principe de relativité. Remarquons que Poincaré ne parle à aucun moment de violation du principe de relativité en lien avec la force de Liénard. Lui attribuer une telle violation ne nous semble pas en accord avec ses propos, en particulier, quand il évoque la nécessité de cette force comme élément de « compensation » pour que la théorie électrodynamique de Lorentz soit conforme au principe de relativité (points 3 et 4 de la citation de Poincaré).

17 Poincaré érige ici en « postulat » le « principe de relativité », auquel il consacrait plusieurs pages de sa conférence de Saint-Louis, « L’état actuel et l’avenir de la physique mathématique », en septembre 1904 [Poincaré 1905a, 203–208]. Il reviendra, après 1905, à la dénomination « principe de relativité », en particulier dans sa conférence « L’espace et le temps », en mai 1912 à Londres [Poincaré 1913, 35–54].

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Pour citer cet article

Référence papier

Christian Bracco, « Henri Poincaré : du « principe de mouvement relatif » au « principe de relativité » en passant par le « principe de réaction » et son rapport à la théorie de Lorentz »Philosophia Scientiæ, 27-2 | 2023, 35-62.

Référence électronique

Christian Bracco, « Henri Poincaré : du « principe de mouvement relatif » au « principe de relativité » en passant par le « principe de réaction » et son rapport à la théorie de Lorentz »Philosophia Scientiæ [En ligne], 27-2 | 2023, mis en ligne le 16 octobre 2023, consulté le 10 décembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/4080 ; DOI : https://doi.org/10.4000/philosophiascientiae.4080

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Auteur

Christian Bracco

SYRTE, Observatoire de Paris – Université PSL, CNRS, Sorbonne Université, LNE (France)

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Droits d’auteur

CC-BY-NC-ND-4.0

Le texte seul est utilisable sous licence CC BY-NC-ND 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont susceptibles d’être soumis à des autorisations d’usage spécifiques.

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