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L'Origine de la géométrie d'Edmund Husserl à travers l'histoire et la philosophie des sciences

Les originations de la géométrie. Les problèmes posés par le singulier dans le titre de Husserl

The Originations of Geometry. The problems posed by the singular in Husserl’s title
Julien Bernard
p. 15-52

Résumés

Le programme d’archéologie de la géométrie, ouvert par les derniers textes husserliens, mérite d’être poursuivi en remettant l’accent sur les discontinuités historiques. Les révolutions qu’a connues la géométrie ont entraîné de profondes mutations de sens. En effet, les archi-fondements de la géométrie n’ont pas été posés sous une forme définitive au moment de la première institution factuelle de la géométrie, celle de la géométrie grecque. Plutôt, la pluralité des formes historiques de la géométrie ne consiste pas seulement en un mouvement de généralisation des axiomes, mais également de réforme des archi-fondements eux-mêmes. Nous le montrerons sur l’exemple de deux révolutions importantes : 1) la découverte des géométries non-euclidiennes et 2) le passage à une géométrie différentielle et à une métrique dynamique ; tout en insistant sur les difficultés philosophiques posées par ces deux moments de ré-originations. Ces études seront précédées d’une section introductive à la phénoménologie historique et à l’architecture des strates originaires de la géométrie ; afin d’acquérir les outils conceptuels et le vocabulaire nécessaires aux études de la dernière section.

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Texte intégral

1 Introduction

1.1 L’unité de la géométrie, malgré les ruptures locales dans son histoire

  • 1 Nous pensons avec Fink [1939, 203] qu’il faut lire le § 9 de la Krisis afin de trouver une probléma (...)

1La lecture isolée de l’Origine de la géométrie [ODG] et du § 9 de La Crise des sciences européennes et la phénoménologie transcendantale [Krisis]1 peut surprendre, au regard de précédents textes husserliens sur la géométrie. Ces différences ne tiennent pas seulement à la grande avancée méthodologique et structurelle de la philosophie de Husserl depuis les années 1880 jusqu’aux années 1930, mais aussi à la façon dont sont traitées les thématiques proprement géométriques. Alors que, dans ses réflexions des années 1880-1890, Husserl [1950] avait médité longuement sur les différentes géométries (et sur leurs fondements métaphysiques, psychologiques, physiologiques et épistémologiques), dans le texte publié en [1939], il semble ne plus guère accorder d’attention à la pluralité des géométries. Cela apparaît dès le titre, présentant le projet husserlien comme la quête d’une origine unique pour une discipline présentée elle-même comme unifiée. Dès la première page, les « formes » de la géométrie sont mises en retrait au profit d’un sens téléologique supposé invariant et unifiant le cours historique de la discipline :

[La] géométrie [...] ne cesse d’avoir cours et en même temps de s’édifier, demeurant à travers toutes ses nouvelles formes « la » géométrie. [Husserl 1962, 172]

Husserl ne se contente pas de constater, de manière pragmatique, l’usage consistant à regrouper sous un terme unique une pluralité de pratiques mathématiques : géométries métriques, projectives, différentielles, etc. Il n’est pas dupe de l’unité superficielle accordée par l’usage d’un terme. Plutôt, comme F. Klein ou B. Riemann en leur temps, Husserl cherche à légitimer authentiquement l’unité d’un projet théorique et de son histoire derrière cette hétérogénéité de pratiques.

2La reconnaissance d’une unité à la géométrie est nécessaire aussi bien vis-à-vis de l’argumentation plus restreinte de l’ODG que de celle, plus générale, du § 9 de la Krisis. En effet, si l’unité des pratiques appelées « géométries » n’était que superficielle, Husserl aurait dû reprendre la quête des origines pour chaque géométrie particulière, et n’aurait pu conférer à la géométrie euclidienne « une signification exemplaire » [Husserl 1962, 174]. En outre, l’argument général de la Krisis repose sur l’hypothèse d’une continuité du projet des sciences européennes, depuis Thalès jusqu’à la période contemporaine, en passant par ce moment-pivot associé au nom de Galilée. En effet, Galilée est présenté comme le père de l’idée moderne de la géométrie, comme projet inhérent à une physique mathématisée (laquelle est essentiellement une géométrisation de la Nature). Cette Idée, transmise jusqu’au xxe siècle, serait en partie responsable de la crise des sciences européennes que Husserl aperçoit à la dernière époque de sa vie. Ainsi, selon la thèse de la Krisis, cette crise n’est qu’une lointaine conséquence du statut que Galilée a accordé à la géométrie, elle-même héritière de l’Antiquité grecque. L’unité téléologique de la géométrie est donc bien présupposée par cette reconstitution historique.

  • 2 Voici comment Husserl pense cette rupture. La géométrie des Anciens est un monde fermé, construit a (...)
  • 3 Nous les rapportons ci-dessous, p. 32.

3Cependant, cette unité de la discipline, qui donne à son histoire une certaine linéarité et un τέλος, n’exclut pas des moments de ruptures locales. Le § 8 de la Krisis insiste en particulier sur le « changement de forme de la mathématique » (et de la géométrie en particulier) qui s’accomplit dans le passage des Anciens aux Modernes2. Ce n’est pas la seule rupture, comme le montre le pluriel dans le texte cité ci-dessus (« à travers toutes ses nouvelles formes »). D’ailleurs, Husserl évoquera d’autres ruptures historiques dans la suite du texte3. Par conséquent, l’unité et la continuité historiques accordées par Husserl à la géométrie doivent être nuancées. On pourrait résumer cela par la formule : unité téléologique de la discipline mais pluralité de ses formes. Dans la Krisis, Husserl répètera cette conception de l’histoire des sciences pour d’autres disciplines que la géométrie, notamment pour la physique [1935, § 1, 8].

4En l’absence d’indication plus précise dans l’ODG, on est tenté d’identifier l’Idée qui donne son unité aux différentes formes de géométries à l’essence de la géométrie, telle que Husserl avait essayé de la caractériser une vingtaine d’années auparavant, au § 9 des Ideen :

[la géométrie] est la discipline ontologique qui se rapporte à un moment eidétique de la choséité [matérielle], c’est-à-dire à la forme spatiale. [Husserl 1985, § 9, 37]

5Il serait historiquement incorrect de croire que la géométrie s’est toujours pensée explicitement comme science eidétique des formes spatiales. L’usage explicite de la notion d’espace pour caractériser l’objet de la géométrie est relativement tardif dans l’histoire. En particulier, il n’était pas de mise chez les Grecs. Toutefois, cette tentative husserlienne de saisir l’essence du géométrique pose une thèse et un problème qui seront repris dans les textes du voisinage de la Krisis. La thèse consiste à dire que, en tant qu’elle s’intéresse à un moment de la chose matérielle [Ding] – celui qui en fait une res extensa –, la géométrie possède une essence et donc une histoire articulées à celles des sciences de la nature. Le problème consiste à se demander si (et comment) la partie pure de la discipline, pensée à partir de l’idée d’une eidétique matérielle, doit être complétée par un prolongement de nature empirique.

1.2 L’euclidianisme faible de Husserl et les problèmes qu’il cache

6Trouver l’origine de la géométrie euclidienne, en tant qu’elle est la première forme historique de géométrie, ne revient-il pas ipso facto à trouver l’origine de toutes les géométries ? Cela n’a rien d’évident. Un bouleversement récent dans l’histoire d’une discipline peut en effet nécessiter une révision de son archéologie (quête des origines) sur certains points. En effet, l’archéologie entendue ici, avec Husserl, n’est pas celle, factuelle, qui ressuscite les débuts chronologiques révolus d’une discipline. Plutôt, elle est transcendantale : elle réveille des actes originaires dont le sens est supposé rester valide à travers l’histoire, assurant à la discipline une unité téléologique.

  • 4 Précisons une fois pour toutes que nous emploierons le mot « axiome » en son sens moderne, comme sy (...)

7Toutefois, Husserl semble bien défendre la thèse selon laquelle la quête de l’origine de la géométrie se résout en grande partie dans celle de la géométrie euclidienne. Les autres géométries, bien qu’historiquement postérieures et reposant sur des axiomes4 différents, atteignant des couches structurelles plus profondes de l’espace, sont présentées dans l’ODG et dans la Krisis comme des reprises approfondies d’un même projet originel. Nous parlerons d’euclidianisme faible pour désigner les positions philosophiques qui, comme chez Husserl, accordent un certain primat (mais non pas une exclusivité) à la géométrie euclidienne dans la réflexion philosophique sur l’espace. Cela contraste avec l’euclidianisme fort, selon lequel la géométrie euclidienne serait la seule possible ou acceptable.

  • 5 Frege s’est intéressé à la géométrie euclidienne par réaction à la publication de [Hilbert 1899]. G (...)
  • 6 Ce genre de positions s’appuie sur le fait que les géométries riemanniennes sont en un certain sens (...)

8L’euclidianisme (au sens faible) prend des formes philosophiquement très diverses à l’époque de Husserl. Certains, comme Frege, limitent leurs considérations à la géométrie euclidienne pour des raisons contingentes5. D’autres, comme Poincaré, justifient pleinement leur choix, en arguant que plusieurs géométries peuvent être légitimement conventionnellement adoptées, mais que 1) les faits empiriques ne peuvent en aucun cas nous imposer une géométrie plutôt qu’une autre et que 2) la géométrie euclidienne reste préférable, en raison de sa commodité et de sa simplicité intrinsèque [Poincaré 1902, chap. III–V]. Enfin, plusieurs philosophies de l’espace de l’époque, tout en admettant les géométries non-euclidiennes, réservent une place fondamentale à la géométrie euclidienne comme seul cadre acceptable dans la sphère locale autour sujet6.

9Le statut exemplaire donné à la géométrie euclidienne se double d’une pauvreté des références historiques, aussi bien dans l’ODG que dans la Krisis. Notre article montrera toutefois que cette pauvreté est assumée par Husserl, car son approche « historique » ne s’aligne pas sur celle de l’historiographie empirique, soucieuse des faits et des détails de l’histoire. Dans les textes concernés, seuls quelques noms ponctuent l’histoire de la science et de la géométrie « moderne », de Galilée à nos jours. La découverte de la pluralité des géométries au xixsiècle, le développement de la géométrie différentielle et l’impact des théories de la relativité sont quasiment passés sous silence, malgré l’objectif déclaré « d’accomplir sous la forme de méditations historiques, des prises de conscience de notre propre situation philosophique présente » [Husserl 1962, 174]. Cela suggère que les avancées récentes, de Riemann à Einstein et au-delà, n’auraient que superficiellement modifié le statut de la discipline, laissant intact le problème posé par l’usage « galiléen » de la géométrie, lequel serait encore le nôtre sous une nouvelle forme. Aucun système axiomatique n’est discuté en détail ; seul celui d’Euclide est régulièrement mentionné, en tant qu’il est à la fois le premier historiquement et celui dont a hérité Galilée.

10Husserl justifie ces lacunes en expliquant que son objectif est de réveiller une certaine entente des actes proto-géométriques, antérieurs à toute axiomatisation. Là se trouverait l’urgence philosophique en 1935, plutôt que dans l’étude des mutations locales de la géométrie. D’où une certaine tendance, de la part de Husserl, à exagérer l’unité historique de la géométrie, afin de conduire plus rapidement le lecteur à l’objectif de ces textes.

11En dépit de sa fonction rhétorique compréhensible, l’insistance sur l’unité de la géométrie ne pose-t-elle pas des problèmes ? Notamment, ne faut-il pas reconnaître que les mutations des « formes » de la géométrie aux xixet xxsiècles ont entraîné, conjointement aux changements des axiomes, un changement radical de la signification de la géométrie et de son ancrage dans les domaines proto-géométriques où elle trouve sa source ? Si tel est le cas, le problème contemporain de la géométrie est-il vraiment dans la continuité de celui de Galilée ? La prise en considération des étapes récentes de la géométrie n’amène-t-elle pas à réviser certaines des strates d’analyse élaborées dans les derniers textes husserliens ?

1.3 Problématique et plan

12L’objectif de notre article est de redonner toute sa vigueur au programme husserlien d’une phénoménologie historico-phénoménologique des mathématiques, en remettant l’accent sur la pluralité des phases d’origination de la géométrie. Marc Richir entendait relire la Krisis non pas pour en « accuser les faiblesses évidentes », mais pour prolonger le projet en « poursuivant l’inspiration husserlienne au-delà de ce qu’elle fut pour Husserl lui-même » [Richir 1988, 129]. C’est dans un esprit similaire que nous intervenons ici, non sur la Krisis dans son ensemble, mais spécifiquement sur les questions liées à l’origine de la géométrie, dans ce qu’elles ont d’irréductible au problème général de la constitution historique d’une sphère d’idéalités. Pour mener cette étude, nous suivrons le plan annoncé dans le résumé.

2 La typologie des actes fondateurs de la géométrie dans les textes appartenant au voisinage de la Krisis

2.1 Idées présidant à cette reconstruction

  • 7 Adjectif qu’on trouve en [Husserl 1962], p. 175 à propos de la science, et p. 195 à propos des théo (...)

13L’épistémologie phénoménologique du dernier Husserl revêt une forme foncièrement historique. C’est pourquoi, elle s’exprime comme une quête de l’origine [Ursprung] des sciences. Elle ne manifeste toutefois pas un intérêt pour l’histoire factuelle [cf. Ricœur1949], c’est-à-dire pour l’histoire empirique avec toutes ses péripéties, ce que Cavaillès appelait « la contingence pittoresque de l’enchaînement des théories » [Cavaillès & Lautman1945, 57]. L’appel à l’histoire doit toujours être interprété dans un cadre transcendantal et fondationnaliste. La quête de l’origine suit une démarche rétrospective, partant de ce que les kantiens appelaient Faktum de la science, et que Husserl préfère appeler une « tradition millénaire » [Husserl 1962, 175]. La science est ainsi perçue comme vivante, prise dans « une élaboration incessante et continue », tout en reposant sur la rétention intersubjective d’un héritage du passé [1962, 175, en particulier note 1]. Oublier cette historicité et prendre la science comme « toute faite » [fertig7] serait un obstacle à la pleine restitution de son sens. La science deviendrait alors un mystère pour elle-même. C’est pourquoi, là où Kant utilisait la métaphore juridique du passage du fait au droit, Husserl préfère la métaphore plus dynamique d’un questionnement à rebours [Rückfrage], lequel permet le passage de la tradition à son origine.

  • 8 Par ailleurs, en proposant une philosophie transcendantale attentive à l’histoire, Husserl répond à (...)
  • 9 Voir à ce propos le débat entre Derrida et Cavaillès dans [Derrida 1962, 157–158].

14Cette tournure historicisante de l’épistémologie du dernier Husserl fait écho à son intérêt accru, dans les années 1920 et 1930, pour une phénoménologie génétique plutôt que seulement constitutive [Husserl 1966, 340]. Il s’agit de décrire – pour mieux en examiner la source – la dynamique temporelle des actes constitutifs d’un domaine d’objets, au sein du flux de la conscience individuelle puis collective. Plutôt que de décrire seulement les actes intentionnels visant des objectités mathématiques déjà constituées, Husserl s’intéresse, dans ses derniers écrits, aux lois d’essence qui régissent, d’une part, la constitution des idéalités mathématiques sur la base d’un domaine d’expérience pré-mathématique et, d’autre part, le déploiement historique des mathématiques, comme entreprise théorique collective et instituée qui passe par la transmission écrite. La réflexion épistémologique doit donc s’appuyer sur un « a priori historique8 » [Husserl 1962, 201–206]. Ce qui s’historicise ne correspond ni aux noyaux objectaux invariants (du domaine d’idéalités considéré) ni aux connaissances progressives que la conscience mathématicienne construirait à son propos comme de l’extérieur, mais à la corrélation noético-noématique elle-même9. En effet, même si les objets et états de choses mathématiques sont « supra-temporels » [Husserl 1962, 179], les mathématiques, comme activité théorique, ne sont évidemment pas pour autant éternelles et coupées de toute histoire. Canguilhem l’a dit élégamment :

[...] l’histoire des sciences est l’histoire d’un objet qui est une histoire, qui a une histoire, alors que la science est science d’un objet qui n’est pas histoire, qui n’a pas d’histoire. [Canguilhem 2002, 16]

  • 10 Remarquons en outre que, pour ce domaine très particulier des mathématiques qu’est la chrono-géomét (...)

15Il y a temporalisation des mathématiques mais intemporalité de leurs objets. La langue technique de la phénoménologie clarifie cette description suggestive mais incomplète. Le noyau noématique correspondant à l’objet mathématique est intemporel, au sens rigoureux où il ne possède pas de parties qui se déploieraient temporellement ; mais le noème complet, incluant les caractères thétiques, possède une histoire, une genèse, celle de la noèse qui se reflète en lui. Il faut par conséquent décomposer le noème en ses constituants, pour y distinguer le noyau objectal intemporel (objet ou état-de-chose mathématique) de notre accès temporel à lui. Les modalités de cet accès s’inscrivent dans le noème. En outre, la genèse mathématique se temporalise à la fois à l’échelle des activités d’une conscience mathématicienne individuelle, mais aussi à l’échelle collective, pour les mathématiques prises comme entreprise intersubjective et institutionnalisée qui se déploie dans l’histoire10.

16Les actes constitutifs des idéalités géométriques se sont sédimentés en couches de sens que l’archéologue de la géométrie doit progressivement remettre à jour. Cependant, les actes donateurs-de-sens, plus ou moins originaires, sont de natures multiples. Dans la Krisis et l’ODG, on n’en trouve aucune typologie complète et explicite, mais seulement des indications éparses (surtout au § 9 de la Krisis). Nous avons donc reconstruit une telle classification, par collection et explicitation de ces remarques et par quelques ajouts personnels (cf. Tableau).

Strate 1 Actes pré-axiomatiques (proto-géométrie) Actes proto-fondateurs, i.e., archi-originaires. En partant du rapport pré-mathématique au monde de la vie (perception spatiale, art de la mesure...), on réalise le processus d’idéalisation. Consignation. Fondations scripturales
Strate 2 Actes axiomatiques (géométrie pure) Actes logiques, position des axiomes, instinct mathématique, usage des figures. Consignation. Fondations scripturales
Strate 3 Actes post-axiomatiques (géométrie appliquée) Application des vérités de la géométrie pure au sein d’un domaine empirique : art de la mesure, sciences de la nature... Consignation. Fondations scripturales

17Nous nous sommes conformés à l’habitude des phénoménologues, depuis Husserl, d’utiliser la métaphore géologique des strates de sens ou de structures intentionnelles, même si cette métaphore a ses limites. Nous avons introduit les étiquettes « pré-axiomatique », « axiomatique » et « post-axiomatique » pour désigner les trois principales strates rencontrées dans les textes husserliens commentés. Les actes axiomatiques prennent sens à l’intérieur d’un domaine mathématique déjà constitué. Les actes pré-axiomatiques font naître les idéalités géométriques via l’idéalisation, à partir de l’expérience prémathématique. Enfin, les actes post-axiomatiques concernent l’application empirique d’une axiomatique donnée. Les termes « pré-mathématiques », « mathématiques » et « post-mathématiques » auraient été plus fidèles au sens visé, mais nous avons maintenu l’esprit de la problématique de l’ODG, centrée sur la remise en question de la prétention des axiomes à servir de fondements originels aux mathématiques.

2.2 Les actes axiomatiques

18Le type d’acte fondateur qui nous vient en premier à l’esprit, quand on pense à la géométrie, est l’acte logique, celui qui articule déductivement des prémisses à une conclusion et qui, de proche en proche, finit par relier les axiomes aux derniers théorèmes. Ces enchaînements, qui constituent la trame du travail du mathématicien, répondent aux lois immuables de la logique.

  • 11 « [La géométrie est une] synthèse continuelle en laquelle tous les acquis persistent dans leur vale (...)

19La dynamique de la science ne fonctionne pas par une simple accumulation juxtaposée et successive de vérités, mais par l’articulation d’une vérité nouvelle à un ensemble de vérités précédemment acquises, et dont la validité se maintient. Dans le cas des mathématiques, cette synthèse continuelle prend la forme insigne de la construction d’un réseau de propositions articulées logiquement11.

  • 12 C’est l’expression employée par Bachelard à propos de Cavaillès [1997, Préface, 8]. Cf. l’idée corr (...)

20Cependant, même quand les mathématiques sont pratiquées comme une simple technologie, sans éveil du sens archi-originaire de leurs objets, ces actes purement logiques sont toujours accompagnés a minima de certaines intuitions non-logiques par lesquelles le mathématicien donne un sens interne aux relations entre les idéalités géométriques. Ces intuitions appuient son heuristique, lui permettant de défricher de nouveaux chemins démonstratifs, constituant un « instinct scientifique12 ». Ces intuitions sont souvent indépendantes d’une méditation de l’origine pré-axiomatique et de la motivation pré-mathématique de ces entités géométriques ; plutôt, elles sont le simple effet d’un habitus, d’une familiarité avec les objets internes du domaine pur (ou d’autres domaines reliés) et avec les figures concrètes (dessins) qui peuvent leur servir de « modèle » pour aider l’intuition [Husserl 1935, 34].

2.3 Les actes pré-axiomatiques, archi-originaires

21En dépit de la richesse de la strate précédente, elle ne saurait être le point d’aboutissement de l’enquête sur l’origine de la géométrie. Husserl démontre en effet que la géométrie pure ne peut se donner à elle-même son propre sens ni faire surgir les idéalités géométriques du néant. Pour que l’ensemble des actes de la strate 2 soient possibles, il faut que le domaine des idéalités mathématiques ait déjà été constitué. Les actes inférentiels ne sont pas des actes archi-originaires mais ne font que déployer les propriétés des objets du domaine, déjà latentes dans les axiomes.

22On pourrait alors croire que l’institution des axiomes constituerait l’acte véritablement originaire, faisant émerger le domaine d’objets. Mais Husserl refuse cette suggestion. Il affirme que l’institution des axiomes appartient déjà à la strate des actes logiques, laquelle présuppose que les idéalités géométriques soient déjà là. La position des axiomes ne constitue par conséquent que l’extrémité incluse de la chaîne des inférences. Elle présuppose une couche antérieure de sens, celle-là même qui en vient à être « axiomatisée » :

L’évidence originaire ne peut pas être interchangée avec l’évidence des « axiomes » ; car les axiomes sont principiellement déjà les résultats d’une formation de sens [Sinnbildung] originaire et ont cette formation elle-même toujours déjà derrière eux. [Husserl 1962, 192–193]

23C’est pourquoi, pour découvrir les actes véritablement originaires, il faut se tourner vers les actes pré-axiomatiques, lesquels appartiennent à une pré-histoire pour la discipline, une proto-géométrie. Pour qualifier ces actes, dans l’ODG, Husserl fait usage de termes pléonastiques comme : « archi-prémisses » (p. 189), « archi-évidences » (p. 193), « proto-fondateur » (p. 175), « archi-commencements » (p. 196). Ces redondances sont sans doute un moyen de distinguer ces actes de ceux, moins originaires, de la strate 2.

24D’après Husserl, le premier géomètre (symboliquement Thalès) devait nécessairement avoir eu un projet théorique, articulé au projet global d’une compréhension du monde naturel. Ce projet l’a amené à engendrer les objets idéaux de la géométrie par un processus d’idéalisation, à partir de l’expérience pré-géométrique du monde. Cette idéalisation a conduit d’abord aux axiomes d’Euclide. Puis ce type d’idéalisation s’est poursuivi bien au-delà, au sein des mathématiques modernes, fournissant à la géométrie pure sa tâche infinie. Le domaine pré-géométrique présupposé par cette origination est un socle d’expériences non encore articulées scientifiquement, faisant partie de ce que Husserl appelle d’une manière assez vague dans la Krisis le « monde de la vie » [Lebenswelt].

2.4 Les actes post-axiomatiques, géométrie appliquée

25À l’autre extrémité de la stratification, on trouve les actes post-axiomatiques. Ce sont ceux qui permettent à la géométrie pure d’être appliquée ; qu’il s’agisse d’application à des constructions et à des mesures matérielles concrètes (architecture, design, arpentage, etc.) ou qu’il s’agisse plutôt d’insertion dans un programme théorique plus vaste, celui des sciences de la nature, lequel possède à son tour des applications empiriques les plus diverses.

  • 13 Cf. [Husserl 1935, 32–33], et notamment ce que Husserl appelle « la forme d’arpentage très primitiv (...)

26Le terme « art de la mesure » intervient à deux niveaux bien distincts de l’analyse husserlienne, et donc dans deux cases de notre tableau. Le premier art de la mesure est une activité pré-scientifique qui s’appuie sur une simple description morphologique des formes rencontrées dans le monde de la vie. Ces formes sont matérielles et essentiellement anexactes – comme le sont aussi toutes celles qui sont issues de l’imagination. Elles se laissent décrire simplement comme plus ou moins rondes ou planes, comme délimitées par des lignes matérielles avec une certaine épaisseur, plus ou moins courbes ou droites13, etc. Ce stade préliminaire de la morphologie a été essentiel pour l’émergence de la géométrie formelle. Par contraste, le second art de la mesure est informé par les mathématiques et en est le prolongement au sens d’une application. Il présuppose la géométrie pure. Son statut épistémologique est donc bien différent. Il s’agit alors

[d’]élaborer systématiquement une méthode de mesure pour la détermination objective des formes, dans une progression constante en tant qu’« approximation » des formes géométriques idéales, des formes-limites [Limes-Gestalten]. [Husserl 1935, 33]

  • 14 Substruire c’est « construire puis substituer à ». Plus précisément, il s’agit ici de construire th (...)

27À la strate 3, on substitue donc les formes idéales exactes, préalablement construites, aux formes matérielles anexactes. Le passage du monde de la vie au monde idéal s’appelle « substruction14 ». Les formes idéales exactes qui sont ainsi substruites servent de formes-limites vers lesquelles les mesures empiriques convergent par approximation, au fur et à mesure des progrès de nos moyens de mesure. En effet, l’art empirique de la mesure possède lui-même son mode d’historicité progressif, corrélé à l’histoire des progrès des moyens techniques de mesure (cf. [Husserl 1935, 30], [Derrida 1962, 136–137]). Le réseau des relations entre figures empiriques converge lui-même à la limite vers un réseau de relations idéales entre des formes elles-mêmes idéales, anticipées par la construction mathématique.

  • 15 La figure du zigzag est employée par Husserl lui-même [1962, 68], non pas comme ici pour parler des (...)

28En vertu de ces deux niveaux auquel la « géométrie empirique » se développe, on comprend que le véritable mouvement historique de la géométrie est un zigzag15 qui part de l’empirique et y retourne via l’idéal.

2.5 Les actes de consignation

  • 16 [Husserl & Fink 1939, 210]. C’est la traduction proposée par Derrida pour Dokumentierung.

29La consignation16 désigne l’inscription, la transmission et la mise à disposition d’une connaissance dans une littérature, la rendant publique et réactivable par tout membre de la communauté scientifique. Nous parlerons également des « fondements scripturaux » de la science. Ces actes donnent un nouveau statut à l’ensemble du processus d’origination et de développement de la géométrie, lui permettant de devenir une tâche collective, accessible intersubjectivement et pouvant se prolonger indéfiniment dans l’histoire. On peut distinguer abstraitement deux fonctions de la consignation : 1) rendre la science intersubjective et 2) permettre sa temporalisation historique.

  • 17 Anecdote rapportée par Vitrac [2009]. Il s’agit d’un mathématicien insomniaque qui avait la manie d (...)

30Concernant sa seconde fonction, la consignation joue, au niveau d’une communauté mathématique, voire de l’Humanité mathématique, un rôle analogue à la rétention et au souvenir (avec sa structure de rappel) pour la conscience mathématicienne individuelle. C’est une fonction de sédimentation et de possibilité de réactivation du sens. C’est pourquoi la consignation permet la dynamique progressive de la science, en évitant l’éternel retour aux origines auquel serait condamnée une conscience retombant périodiquement dans l’oubli. Husserl explique que la démarche normale du mathématicien, tout occupé à la pratique de la géométrie pure, consiste à repartir d’acquis mathématiques (constructions et propositions) sédimentés par la tradition, sans avoir nécessairement à toujours éveiller leur origine. Cela permet le développement à l’infini de la discipline vers l’avant. Sans cela, la finitude de l’esprit humain condamnerait la science à prendre la forme pseudo-historique d’un cycle d’éternel recommencement, comme le suggère l’expérience de pensée (proposée par Husserl) d’un mathématicien qui devrait à chaque fois reprendre l’ensemble du processus de fondation des vérités de sa discipline, après chaque pause professionnelle ou sommeil [Husserl 1962, 189]. L’avancée historique de la géométrie serait alors impossible. Une telle expérience de pensée a été factuellement réalisée, si l’on en croit l’anecdote des insomnies du mathématicien ibn Munim17.

31Les analyses de Husserl et Derrida, à propos de la fonction transcendantale de l’écriture mathématique, trouvent un écho dans l’histoire empirique et factuelle des mathématiques. Je fais ici référence à l’analyse historique que propose Bernard Vitrac [2009]. Celui-ci se demande pourquoi aucun texte mathématique antérieur à Euclide ne nous est parvenu. Il répond qu’il n’y avait pas de communautés mathématiciennes instituées, capables de reproduire et de transmettre des textes. Donc il y avait des activités mathématiques individuelles, mais pas de tradition (si ce n’est des traditions orales lacunaires) et donc pas d’Histoire. Cela fournit donc une illustration historique factuelle du statut transcendantal de la transmission de textes. Les mathématiciens avant Euclide étaient à peu près comme le mathématicien de l’expérience de pensée de Husserl, obligés de tout reprendre à zéro à chaque fois.

  • 18 Cf. Dufourcq [2016, 57 sq.] pour une présentation nuancée des faces négative et positive de la sédi (...)

32Outre les deux fonctions transcendantales positives que nous venons de dégager, la scripturalité est également présentée, dans la Krisis et l’ODG, comme un facteur négatif pouvant jouer un rôle décisif dans l’avènement de la crise des sciences. La possibilité de pouvoir faire un usage technologique de certains résultats scientifiques consignés, sans en réactiver à chaque fois l’origine, ne permet pas seulement la dynamique progressive de la science mais peut conduire également à sa perte de sens. Cela se produit à chaque fois que l’origine de la vérité scientifique, au lieu d’être simplement mise provisoirement de côté, en vient à être purement et simplement oubliée. L’oubli peut même atteindre un stade extrême où c’est l’existence même d’une origine qui en vient à être contestée (cf. infra). Et même quand l’archi-origine d’une discipline reste encore présente dans la mémoire scientifique, cela n’ôte pas pour autant une certaine opacité consubstantielle de l’essence fondatrice de toute discipline18.

33Dans notre tableau, la consignation est placée dans une colonne à part car elle traverse toutes les strates des actes fondateurs de la géométrie, assurant leur transmission écrite et leur développement historique. Elle forme une dimension indépendante des structures intentionnelles dégagées. Bien qu’elle occupe la plus grande partie de l’économie du texte de l’ODG (p. 175–190), la consignation est très peu propre aux mathématiques et à la géométrie. Elle est non seulement une structure essentielle à toute science, mais plus généralement à toute production littéraire comme fait culturel (p. 179).

2.6 Pourquoi l’analyse descriptive des actes proto-fondateurs est-elle à peine esquissée dans la Krisis ?

34Pourquoi la Krisis – a fortiori l’ODG – ne prend-elle pas en charge l’analyse phénoménologique génétique détaillée des actes archi-originaires ? C’est parce que l’urgence était de faire admettre l’existence de ces actes et l’importance cruciale d’en réveiller la compréhension. En effet, étant donnée la nature démonstrative de la praxis géométrique, le déni de la nécessité d’actes logiques pour fonder les théorèmes n’est pas à redouter. En revanche, le risque est bien réel d’un oubli ou d’un déni en ce qui concerne la nécessité de fondements archi-originaires à la source des postulats et de la pratique démonstrative elle-même.

  • 19 Husserl parle à ce propos de la « naïveté de l’évidence apriorique qui maintient en mouvement tout (...)
  • 20 République, VI, 510a–511e, à rapprocher par exemple aussi de [Husserl 1900, § 71].

35L’attitude normale du géomètre au travail consiste certes à prendre les postulats comme des points de départ ininterrogés19. Toutefois, cette attitude devient dangereuse si elle ne laisse pas la place, à ses côtés, à une réflexion critique de nature philosophique. Cette dernière doit interroger l’expérience pré-mathématique à partir de laquelle le système axiomatique lui-même a pu émerger. C’est un réquisit pour atteindre une certaine lucidité épistémologique à l’égard du sens et des fondements de la discipline. Cette répartition des tâches entre, d’un côté, une pratique mathématique non soucieuse de l’origine et, de l’autre, une réflexion épistémologique des origines peut être considérée comme la reprise proprement husserlienne d’une thèse traditionnelle, celle de la distinction qu’accomplit Platon entre la pensée « hypothétique » du mathématicien et la pratique « anhypothétique » du dialecticien20.

  • 21 C’est du moins l’interprétation la plus courante des textes kantiens depuis le xixe siècle, toutefo (...)

36Lorsque le déni du besoin d’archi-fondements survient, alors les axiomes mathématiques en viennent à être injustement considérés comme des « évidences » incontestables dont l’origine est vouée à rester éternellement énigmatique. C’est vraisemblablement ce qui s’est passé à l’époque de l’hégémonie de la géométrie euclidienne. Une habitude trompeuse s’est installée, consistant à penser que les postulats de la géométrie, dont on éprouvait l’efficacité, pouvaient se tenir d’eux-mêmes comme des vérités apodictiques auto-fondées, n’admettant plus de remise en question épistémologique. Les postulats devenaient des dogmes. Le mouvement historique véritable qui est à la source de la géométrie, dont nous avons vu qu’il prenait la forme d’un aller-retour entre l’expérience et l’idéalité, était remplacé inadéquatement par un mouvement tronqué (sans la strate 1) où le domaine des idéalités semblait sortir de nulle part (ou reposer sur l’illusion d’un sens inné et a priori de la spatialité) et s’appliquer mystérieusement au monde empirique (strate 3). L’oubli de l’ancrage de la géométrie dans une compréhension pré-scientifique du monde est symboliquement attribué à Galilée [Husserl 1935, 57] et est présenté comme une des principales sources de la crise des sciences qui s’installe progressivement à la période moderne. Une telle absolutisation injustifiée des postulats de la géométrie euclidienne avait conduit en particulier la réflexion transcendantale de Kant dans une impasse, amenant à une esthétique transcendantale trop étriquée, dont la lettre n’a pas pu être conservée dans la suite de l’histoire de la réflexion philosophique sur l’espace21.

37Depuis le xixsiècle, de nombreux auteurs avaient déjà considérés la désabsolutisation de la géométrie euclidienne comme un objectif philosophique important. Son urgence s’est accrue avec l’émergence des théories de la relativité, voir [Weyl 1923, 1], [Weyl 1921, 2], [Becker 1923, 386]. Husserl se démarque cependant de la plupart des auteurs par sa stratégie argumentative. En effet, Husserl veut ôter aux postulats de la géométrie euclidienne leur pseudo-statut d’évidences, sans pour autant mettre en avant la pluralité des systèmes géométriques, ce qui est pourtant la stratégie argumentative la plus habituelle. Si Husserl n’est pas satisfait par cette stratégie, c’est sans doute parce que la reconnaissance de la pluralité des axiomatiques est philosophiquement insatisfaisante, si elle ne s’accompagne pas de la reconnaissance du besoin de fondements pré-axiomatiques. Le principal risque serait de remplacer la posture épistémologique fâcheuse d’un dogmatisme euclidianiste par la posture tout aussi fâcheuse d’un formalisme conventionnaliste. Nous entendons par là : la thèse consistant à considérer que toutes les axiomatiques alternatives sont également légitimes (selon un critère réduit à la cohérence logique) et que le physicien peut choisir librement entre elles, la pertinence du choix ne se révélant qu’a posteriori, par l’efficacité de l’application empirique. Cela conduirait de nouveau à méconnaître les archi-fondements de la géométrie, c’est-à-dire l’inscription de son sens dans une compréhension plus vaste de la spatialité des choses mondaines, depuis la sphère pré-scientifique du monde de la vie jusqu’aux formes plus élaborées de la spatialité qui passent par la théorisation physique et l’instrumentalisation des mesures.

3 La géométrie : une origine ou des originations ?

3.1 Retour à notre problématique

38Comment, dans le cadre husserlien que nous avons reconstruit, pouvons-nous rendre compte de la pluralité des formes historiques de la géométrie ? Nous ne parlons pas seulement de l’histoire du développement d’une axiomatique géométrique donnée, mais de l’histoire à plus grande échelle des axiomatiques géométriques elles-mêmes, en tant qu’elles ont été adoptées successivement par les sciences physiques pour rendre compte de la spatialité mondaine.

39Nous en venons naturellement à nous interroger sur les rapports entre l’historicité des axiomatiques pour la géométrie et la source empirique de notre rapport à la spatialité du monde. Les Ideen avaient évoqué « la priorité de la connaissance concrète de type empirique portant sur des faits, [...] sur toute connaissance idéale de type mathématique » [Husserl 1985, 13, note de bas de page]. Nous avons vu aux sections 2.3 et 2.4 comment la Krisis [Husserl 1935, 29] et l’ODG précisaient la nature de cet ancrage empirique dans le cas de la géométrie. Cette discipline émerge à partir de l’expérience prémathématique du « monde ambiant de l’intuition » et des formes spatio-temporelles des corps qui s’y donnent. La substruction à ce monde ambiant d’un monde d’idéalités géométriques fonde un nouveau mode de rapport empirique au monde, médiatisé par les mathématiques, selon le mouvement en zigzag identifié à la fin de la section 2.4. Or, en raison de ce zigzag, l’art de la mesure mathématiquement informée (celui de la strate 3) possède un statut complexe à démêler. Il y a à la fois une rupture épistémologique avec l’art de la mesure pré-scientifique, liée au double mouvement d’idéalisation/substruction et une continuité de sens, puisque l’art de la mesure scientifique résulte d’une transformation (par idéalisation) de l’art de la mesure pré-scientifique [Husserl 1935, 33]. L’idéal rompt avec l’empirique tout en étant motivé par lui.

  • 22 Nous disons « semble » en raison de l’immunité de la géométrie pure contre toute tentative de réfut (...)

40L’énigme centrale de l’origine de la géométrie devient : comment, à partir d’une connaissance empirique pré-scientifique et limitée de la spatialité mondaine, avons-nous pu proposer un monde d’idéalités fixé a priori une fois pour toutes, pour servir de pôles idéaux aux mesures empiriques dans leur progrès historique ? Il y a en effet une tension apparente entre 1) la nature nécessairement approchée des mesures successives qui déterminent la spatialité des évènements physiques mondains et 2) la fixité a priori, une fois pour toutes, de l’espace des possibilités dessiné par les idéalités géométriques. C’est pourquoi, l’institution d’une axiomatique géométrique – disons la géométrie euclidienne –, à un moment de l’Histoire, semble reposer sur une anticipation faillible de l’avenir de la praxis géométrique empirique, avec ses moyens technologiques croissants. En particulier, une telle institution semble22 reposer sur une extrapolation précaire concernant le comportement des formes spatio-temporelles concrètes à des échelles encore inexplorées empiriquement, vers l’infiniment grand ou l’infiniment petit. S’il s’avère que la découverte de configurations spatiales nouvelles amène à une réforme de la géométrie adoptée par le physicien, n’est-ce pas un signe clair du statut inductif du moteur qui fait évoluer les systèmes géométriques dans l’histoire ? C’est ce que pourrait sembler vouloir dire Husserl lorsqu’il écrit :

  • 23 La thèse selon laquelle le programme historique de la physique mathématique trouve son origine dans (...)

[On trouve le in infinitum] dans l’idée totale de la physique en tant que forme constante de l’inductivité propre à celle-ci, inductivité dont l’irruption dans le monde historique a été due d’abord à la géométrie23. [Husserl 1935, 49]

  • 24 À propos de l’immunité de la géométrie pure contre tout démenti expérimental, le lecteur peut se ré (...)

41Néanmoins, « permettre l’irruption de l’inductivité dans le monde historique » ne signifie pas forcément que la géométrie suive elle-même une logique inductive. Et, de fait, l’introduction de l’idéal a entraîné une rupture épistémologique par rapport à l’approche empirique. Dans les connaissances inductives fondées sur des concepts anexacts, une simple idéation généralisante était en jeu. L’art de la mesure pré-géométrique était de ce type, dégageant des types morphologiques par abstraction généralisante. Par opposition, l’idéalisation géométrique archi-originaire est de nature radicalement différente. Les formes qu’elle substruit aux précédentes ne sont nulle part données ni donnables (comme moments dépendants) dans l’expérience sensible. Et elles obéissent par définition aux axiomes. Dès lors, ce saut épistémique immunise la géométrie contre tout supposé démenti expérimental24.

42À défaut de pouvoir être confirmée ou infirmée par l’expérience, la géométrie pure, comme auxiliaire de l’art de la mesure et de la théorisation physique, peut néanmoins devenir « peu commode » (pour parler comme Poincaré), voire obsolète, si le champ des formes idéales qu’elle propose s’avère arbitrairement réduit, incapable de servir de pôle idéal vers lequel faire converger les mesures empiriques. Pour dépasser ces impasses dans lesquelles elle tombe régulièrement dans son histoire, la géométrie connaît des ré-originations, au moins au sens de l’adoption de nouveaux axiomes qui généralisent les précédents. Le degré d’adéquation possible entre l’idéal et la mesure empirique s’en trouve renforcé.

3.2 La généralisation comme moteur des transformations historiques de la géométrie

43L’histoire factuelle de la géométrie donne effectivement à voir un mouvement de généralisation croissante des systèmes géométriques (parfaitement axiomatisés ou non). Quelques indices épars dans les textes husserliens [notamment 1935, 51–52] signalent certaines étapes historiques qui conduisent de la géométrie à proprement parler euclidienne (celle des Éléments) à des formes plus élaborées de géométrie, à l’âge moderne :

  • « l’extension et le développement de la théorie algébrique des nombres » (Viète...) qui permet l’invention de la géométrie analytique et l’algébrisation des courbes (Descartes...),
  • l’invention du calcul différentiel et intégral et son utilisation pour l’étude des courbes transcendantes (Leibniz, Newton...),
  • l’arithmétisation du continu (Dedekind, Weierstrass25...),
  • enfin l’étape finale où la géométrie elle-même s’insère dans une analyse purement formelle, une « théorie de la multiplicité », une « logistique » [ou encore, comme l’appelait Leibniz une] mathesis universalis.
  • 26 Voir à ce propos notre reconstruction dans [Bernard 2020].

44Toutes ces étapes sont à peine esquissées dans le texte. Elles montrent que l’histoire de la généralisation progressive de la géométrie est en même temps l’histoire de son arithmétisation progressive (au sens moderne de la théorie des nombres et de l’analyse mathématique). On pourrait montrer facilement que ces formes successives de la géométrie suivent bien un mouvement de généralisation. Par exemple, l’algébrisation des courbes permet d’admettre, parmi les idéalités géométriques, toutes les courbes obtenues par une équation polynomiale, tandis que la géométrie antique n’introduisait qu’un nombre restreint de ces courbes par une liste finie et hétéroclite de types. De même, l’invention du calcul différentiel et intégral permet d’élargir l’espace a priori des courbes admises, en donnant un fondement à certaines courbes transcendantes, etc. Bien que l’émergence des géométries non-euclidiennes et de la géométrie différentielle ne soit discutée ni dans la Krisis ni dans l’ODG, on pourrait montrer qu’il s’agit d’étapes supplémentaires en direction de la généralisation. Weyl a esquissé à ce propos quelques éléments de cette histoire-là, dans une perspective transcendantale26.

45Nous sommes parvenus à deux conclusions intermédiaires. Premièrement, l’histoire de la géométrie est riche de reprises occasionnelles des axiomes (ou du moins des cadres qui définissent son activité). Ce sont des moments de rupture où s’élabore, explicitement ou virtuellement, une nouvelle axiomatique qui généralise la précédente. De nouvelles entités idéales (ici, de nouvelles courbes et configurations géométriques) s’adjoignent aux précédentes. La re-substruction du nouveau champ d’idéalités ouvre un nouveau champ d’investigation empirique plus vaste pour l’art de la mesure comme pour la physique. Deuxièmement, la généralisation de la géométrie nous est apparue comme fortement articulée à la généralisation de la théorie des nombres et des fonctions (analyse).

  • 27 Au sens de la typologie établie à la section 2.

46Il nous reste cependant à éclaircir un point capital. En effet, puisque ces généralisations successives des formes historiques de la géométrie nous amènent (au moins virtuellement) à réviser les axiomes eux-mêmes, il est clair que les strates 2 (et donc 3)27, s’en trouvent modifiées. Mais qu’en est-il de la strate 1, celle des fondements archi-originaires ? Si elle est également touchée, alors ces phases historiques seront de véritables moments de ré-originations de la géométrie, au sens fort du terme. La discipline serait amenée à vivre un nouveau départ archi-originaire, en repensant différemment la manière dont les idéalités géométriques peuvent s’articuler à la strate pré-mathématique des formes concrètes du monde de la vie. Étudier cette question pour chacune des étapes historiques recensées est un travail hors de portée du présent article. Nous nous limiterons ici à montrer qu’au moins certains des moments révolutionnaires pour la géométrie possèdent bien ce statut d’une ré-(archi)-origination. Nous le montrerons pour deux étapes historiques : 1) la découverte de la géométrie non-euclidienne – section 3.3 – et 2) l’épanouissement de la géométrie différentielle – sections 3.4 à 3.7.

3.3 La découverte des géométries non-euclidiennes comme moment de ré-origination de la géométrie

47L’histoire factuelle de la découverte de la géométrie non-euclidienne s’est d’abord jouée au niveau purement intramathématique (strate 2). En effet, Bolyai et Lobatchevski ne sont pas partis d’une nouvelle compréhension de la spatialité mondaine construite par l’expérience intuitive mais plutôt directement d’une altération des axiomes (négation du cinquième postulat d’Euclide). Une nouvelle sphère d’idéalités géométriques en est née, laquelle était d’abord immotivée par des raisons physiques (et encore moins perceptives). Dire qu’une nouvelle sphère d’idéalités géométrique est née à ce moment-là est tout à fait correct. C’est d’ailleurs en ce sens historique précis que Bolyai et Lobatchevski innovent. En effet, sur le plan de la pure technologie logique, c’est-à-dire de l’activité de démonstration, ils ne sont guère allés plus loin que leurs prédécesseurs. Volontairement ou non, leurs démonstrations reprennent celles, par exemple, de Saccheri, Legendre ou Wallis [Bonola 1912]. L’innovation de Bolyai et Lobatchevski tient au statut de postulat qu’ils donnent à la négation du 5postulat d’Euclide, alors que, dans la pratique démonstrative des auteurs antérieurs, cette proposition était plutôt l’hypothèse provisoire, supposée incohérente, de tentatives de démonstration par l’absurde (du 5postulat). Admettre une axiomatique nouvelle suppose qu’une nouvelle sphère d’idéalités a été constituée.

48Mais cette nouvelle sphère d’idéalités mérite-t-elle ou non d’être qualifiée de « géométrie » au sens strict ? Pour répondre positivement, il faudrait montrer qu’elle s’inscrit dans le courant historique qui émerge du projet des sciences naturelles, c’est-à-dire celui d’une compréhension des structures spatio-temporelles mondaines. Cela requiert que cette nouvelle axiomatique puisse s’ancrer sur la strate inférieure, archi-originaire, du monde intuitif. Tant que ce travail n’aura pas été fait, le nom de « géométrie » sera usurpé pour ces nouvelles axiomatiques. Il suffit pour s’en rendre compte de prêter attention à certains auteurs du xixsiècle qui étaient prêts à reconnaître la cohérence logique des axiomes de Bolyai-Lobatchevski, mais sans admettre pour autant cette nouvelle axiomatique comme une « géométrie » au sens propre, n’y voyant qu’un pur jeu formel sans signification pour les structures spatiales du monde.

  • 28 Il n’utilisait évidemment pas ce vocabulaire.
  • 29 Cf. notamment l’expérience de pensée de la dilatation thermique des étalons dans [Poincaré 1902, ch (...)

49Helmholtz avait très bien compris que, pour donner un véritable statut géométrique aux axiomatiques « non-euclidiennes », il était insuffisant d’en rester à la considération de la cohérence logique de la pratique démonstrative nouvelle (strate 2) [Helmholtz 1870]. Il fallait plutôt mettre en œuvre une véritable révision de la manière dont la géométrie s’ancre dans le monde de la vie28. Il fallait montrer précisément comment pouvaient s’articuler les nouveaux objets géométriques idéaux avec le monde intuitif, celui de la perception ou de la mesure pré-scientifique. C’est donc bien au niveau archi-originaire (strate 1) que ce travail a été effectué par Helmholtz (entre autres). Pour cela, il a créé des fictions perceptives, mettant en scène des êtres de constitution semblable à la nôtre, mais placés dans un monde à la structure différente du nôtre. Ses fictions donnent le moyen d’imaginer l’expérience intuitive que ces êtres vivraient et de montrer que cette expérience motiverait l’introduction des idéalités de la géométrie hyperbolique. C’est donc en quelque sorte un exercice de phénoménologie de la perception contrefactuelle, i.e., qui place le sujet perceptif, par variation imaginative, dans une situation étrangère à celle habituelle. De même, quelques décennies plus tard, Poincaré œuvrera pour montrer comment la pratique de la mesure empirique pourrait amener à l’adoption d’une géométrie non-euclidienne. Il imagine pour cela une variation des règles de notre physique29, tout en maintenant invariantes les règles qui président à la genèse des structures de notre espace perceptif (« représentatif » dit Poincaré).

  • 30 Ce sont les géométries euclidienne, hyperbolique et elliptique. Elles appartiennent à un genre uniq (...)
  • 31 C’était notamment l’objectif de Helmholtz. Il entendait réfuter la doctrine kantienne de l’espace e (...)

50Ces variations contrefactuelles dévoilaient certaines hypothèses contingentes inutilement restrictives, qui étaient admises jusque-là dans les fondements archi-originaires de la géométrie. Le cadre nouveau permettait de s’en débarrasser, épurant de ce fait l’expression de l’essence de l’espace. En montrant que toutes les géométries à libre mobilité30 étaient compatibles avec la structure de notre expérience, ces auteurs ont réfuté l’euclidianisme fort31. Mais cela a également montré les limites de l’euclidianisme faible, au sens que nous avons dégagé en introduction. En effet, nous avons mis à mal l’idée que les archi-fondements de la géométrie auraient été produits en une seule fois, avec une clarté parfaite, chez le proto-géomètre symbolique, au moment où la première des géométries en venait à être instituée. L’essence de la discipline n’est pas aperçue clairement et comme par une illumination par son proto-fondateur. Plutôt, cette essence ne se dégage et ne se clarifie pleinement qu’à l’occasion des révolutions que connaît la discipline dans son histoire. L’histoire de la géométrie a donc connu une pluralité de ré-originations, plutôt qu’une mythique origine unique, au moment de l’institution de la géométrie euclidienne. L’histoire de la géométrie est ainsi plus mouvementée et moins linéaire que ne le laisse supposer le cadre historique simplifié qu’adoptent les derniers textes husserliens ; elle suppose des boucles de ré-originations qui constituent de nouveaux points de départ archi-originaires pour la discipline. Chaque réforme de la géométrie entrainerait d’abord une réorigination de la discipline (strates 1–2), au sens de la constitution d’un nouveau champ d’idéalités ; puis une re-substruction, amenant à renouveler le cadre idéal de notre rapport empirique à l’espace (strate 3). Insistons sur le fait que, lors des révolutions de la discipline, ses archi-origines sont révisées ou clarifiées plutôt que purement et simplement balayés et remplacés par d’autres. Sinon, l’unité même de la discipline serait factice. C’est cette unité que Husserl préfère mettre en avant, préférentiellement à la diversité des phases historiques.

3.4 Enquête sur la géométrie généralissime de la Krisis

  • 32 Cf. ce que nous en avons rapporté à la note 2.

51Prenons pour acquis que l’histoire de la géométrie connaît régulièrement des phases révolutionnaires où les axiomes sont généralisés et les fondements archi-originaires sont révisés. Ces réoriginations pourraient-elles avoir une fin ? Après plusieurs errances historiques contingentes, la géométrie pure pourrait-elle enfin atteindre un état de généralisation ultime, anticipant a priori toutes les formes spatiales, y compris celles de types encore inobservés ? La Krisis suggère non seulement que cela est envisageable, mais encore que nous nous en approcherions à l’époque contemporaine. Cela réaliserait enfin l’idée directrice de toute la géométrie des Modernes32. Par opposition aux mathématiques factuellement limitées de l’époque de Galilée, s’ouvre pour nous :

la possibilité de produire par une construction univoque toutes les formes idéales absolument parlant et ce par une méthode systématique a priori omni-englobante. [Husserl 1935, 32]

  • 33 Husserl dit « absolument générale » [1935, 33].

52C’est une affirmation très forte. Appelons géométrie généralissime33 l’état ainsi caractérisé de la discipline que Husserl estime proche.

  • 34 Nous doutons cependant que la métathéorie soit elle-même une multiplicité au même sens que celles q (...)

53Par ailleurs, selon Husserl, cet état de parfaite généralité de la géométrie moderne va de pair avec une avancée épistémologique : la compréhension de cette discipline comme purement formelle. L’objet d’une théorie mathématique est un domaine d’idéalités enclos par un système axiomatique dont les procédures d’identification doivent rester internes. La mathématique se conçoit unitairement comme théorie générale de tous les systèmes axiomatiques, dont les corrélats objectaux sont appelés par Husserl « variétés » [Mannigfaltigkeiten]. C’est une thèse qu’il défend de longue date [Husserl 1900, § 70, 276]. Le corrélat objectal de la mathématique formelle universelle serait donc l’étude de la multiplicité des multiplicités34. Husserl reprend cette conception dans la Krisis en la présentant comme une réalisation du projet leibnizien de mathesis universalis [1935, 52] et en nous informant que notre époque « s’est au moins approchée de sa réalisation systématique ». Comme à l’accoutumée, Husserl ajoute que les plus importantes sont les multiplicités définies, par quoi il entend une décidabilité axiomatique de toute proposition exprimable au sein de l’axiomatique [1913, § 72].

  • 35 C’est sans doute pour cela que Husserl [1900, § 70, 276] nous dit que l’on peut éprouver la puissan (...)
  • 36 L’axiomatique de Hilbert [1899] pour la géométrie euclidienne n’est ni décidable ni complète si on (...)

54Toutefois, la conclusion à tirer, pour la géométrie, de cette formalisation progressive des mathématiques modernes n’est pas claire. Faut-il comprendre que l’espace géométrique est devenu une multiplicité définie ? Certes, la géométrie euclidienne a joué un rôle exemplaire dans l’histoire factuelle des mathématiques formelles, en tant que première théorie axiomatique d’importance35 prétendant à la complétude36. Toutefois, cette affinité entre la géométrie et l’idée husserlienne de multiplicité définie devient plus délicate à admettre lorsqu’on passe de la géométrie euclidienne au cadre plus général de la géométrie différentielle à la façon de Riemann.

3.5 Les variétés riemanniennes comme géométrie généralissime ?

55Parce que son objectif se situe ailleurs, et parce qu’il ne s’adresse pas nécessairement à un public scientifique, Husserl ne s’attarde pas dans la Krisis sur cette géométrie généralissime. Il n’évoque même pas les noms des géomètres qui sont visés à travers cette vague allusion. Toutefois, dans ses textes antérieurs, Husserl avait développé un peu plus amplement le mouvement historique de généralisation de la géométrie, désignant la géométrie analytique à la façon de Riemann comme son point d’aboutissement.

56La fascination de Husserl pour la puissance de généralisation accomplie par cette dernière géométrie avait débuté dès les années 1880. Par ailleurs, Ierna [2012] montre qu’il avait sans doute hérité le terme Mannigfaltigkeit (utilisé pour sa propre notion de multiplicité) de la tradition géométrique issue de Gauss et de Riemann. Mais l’assimilation étroite que suggère Husserl [1900, § 70, 275–277] entre sa propre notion de multiplicité et les variétés riemanniennes n’en est pas moins suspecte pour autant. Il suggère une filiation historico-génétique qui conduit de systèmes géométriques de plus en plus généraux jusqu’à l’idée générale d’une mathématique formelle comme « théorie des théories (formelles) », dont la théorie générale des « espaces à n dimensions » serait une « partie théoriquement fermée ».

  • 37 Le texte même de la Krisis (p. 53, note 1) nous autorise à retourner aux Recherches logiques et aux (...)

57C’est cette théorie générale des « espaces à n dimensions » des Prolégomènes à laquelle fait sans doute allusion, plus de 30 ans après, le § 9 de la Krisis, avec la thématique de la géométrie généralissime37. Ces textes développent une thèse commune : l’origine de la mathématique formelle dans le mouvement de généralisation des axiomatiques de la géométrie. Par ailleurs, pour Husserl, la formalisation de la géométrie est également un moyen de séparer méthodiquement ce qui relève de la forme catégoriale (seule partie qui concerne le mathématicien pur) et ce qui relève de l’intuition sensible.

3.6 Comment la géométrie analytique pourrait-elle être à la fois généralissime et complète ?

58Quand Husserl [1900, § 70, 275] donne Grassmann, Hamilton, Helmholtz ou Lie comme exemples de fondateurs de géométries qui généralisent la multiplicité euclidienne, son propos s’entend bien. En effet, les « espaces » (au sens formel) dont il est question ici sont homogènes et admettent, avec plus ou moins de difficulté, un traitement parfaitement axiomatisé. Mais quand il s’agit de la géométrie riemannienne dans toute sa généralité, la « théorie » des variétés à courbure variable quelconque, la thèse de Husserl paraît reposer sur un glissement entre les deux sens du mot Mannigfaltigkeit.

59Si la théorie générale des variétés riemanniennes n’est pas axiomatisée dans le texte inaugural de Riemann [1923], c’est sans doute parce que son esprit est plutôt réticent à toute axiomatisation. En effet, une révolution conceptuelle profonde oppose Riemann à ses prédécesseurs. La géométrie de Riemann est devenue analytique en un sens plus fort que quand on utilise les fonctions coordonnées pour formuler les problèmes de la géométrie euclidienne (ou d’autres géométries synthétiques). Dans le cas des géométries de Riemann, l’usage de l’analyse mathématique et des coordonnées n’y est pas une alternative mais une nécessité qui relève de son essence. Les variations envisagées pour les coefficients du tenseur métrique sont laissées à une telle liberté absolue (n’importe quelle fonction de variation étant possiblement envisagée) que ce cadre géométrique résiste à toute axiomatisation du type de celle d’Euclide.

60Néanmoins, une des premières tentatives d’axiomatisation complète de la géométrie différentielle est accomplie par Veblen & Whitehead [1932]. seulement trois ans avant les conférences à Vienne dont la Krisis est issue. Or, ces auteurs buttent sur trois difficultés qui confirment que la géométrie différentielle ne peut constituer une « multiplicité » (pour parler comme Husserl), au même sens que la géométrie d’Euclide.

61Premièrement, Veblen & Whitehead affirment qu’à force de généralisation, on ne parvient plus à délimiter clairement la géométrie au sein du reste des mathématiques ; ils se contentent alors d’une définition pragmatique philosophiquement insatisfaisante [1932, 27].

62Deuxièmement, puisque l’usage des coordonnées et des fonctions est essentiel pour décrire le mode de variation de la métrique, l’axiomatique de Veblen & Whitehead doit inclure l’espace arithmétique (i.e., le corps des réels, ses produits cartésiens, et les fonctions de l’analyse mathématique). Finalement, une grande partie de tout l’édifice mathématique doit donc être inclus dans une telle axiomatique pour obtenir un système clos. Cette synthèse nécessaire de la géométrie et de l’analyse est d’ailleurs conforme à la thèse de la Krisis rapportée ci-dessus, p. 32. Mais alors, l’espoir de faire de cette géométrie analytique une multiplicité définie (au sens de Husserl) est mince. Ainsi, la généralité extrême de la géométrie contemporaine est un frein à sa complétude axiomatique.

63Troisièmement, ce que Veblen & Whitehead parviennent à axiomatiser, avec plus ou moins de succès, n’est pas véritablement une géométrie, comme lorsque Hilbert et Pasch ont axiomatisé la géométrie euclidienne, mais plutôt un cadre géométrique général. Cela est conforme à l’esprit de la géométrie riemannienne, où les coefficients gµv ne sont pas fixés par la théorie, mais laissés à une complète indétermination. C’est seulement au moment de l’application concrète de cette axiomatique, quand les coefficients de la métrique en viennent à être déterminés, que l’on peut dire que l’on a véritablement affaire à une géométrie déterminée. Mais alors, précisément, il a fallu compléter ladite axiomatique par un élément étranger. Cela pose un problème difficile : que peut vouloir dire obtenir une axiomatisation complète d’une géométrie, quand la géométrie en question est en fait un cadre général plutôt qu’un système métrique déterminé ?

  • 38 Christoffel, Ricci, Levi-Civita, Weyl, Cartan, etc.
  • 39 Van Atten [2024] rappelle cependant que tous les commentateurs ne sont pas d’accord sur le fait que (...)

64Nous avions vu que Husserl décrivait le mouvement qui conduit à la modernité géométrique à la fois comme un mouvement de généralisation (voir la citation p. 16) et comme un mouvement de formalisation (axiomatisation complète). Au vu des trois problèmes que nous avons rencontrés chez Veblen & Whitehead, nous voyons bien que ces deux motifs ne vont peut-être pas aussi naturellement ensemble que ce que Husserl voudrait nous faire croire. Ces motifs reposent sur deux conceptions, difficilement conciliables, de ce que veut dire « compléter la géométrie ». D’un côté : la complétion axiomatique et la décidabilité. D’un autre côté : la complétion au sens de l’absolue généralité des formes idéales décrites par la théorie géométrique considérée, c’est-à-dire sa capacité à inclure a priori tout type de configuration pensable ou imaginable. Or, si on a œuvré pour la complétion de la géométrie en ce second sens, en se déplaçant historiquement d’Euclide jusqu’à Riemann et au-delà38, c’est sans doute au détriment de la complétion au premier sens. Si la géométrie d’Euclide pouvait admettre des formulations axiomatiques complètes (comme la version de Tarski), c’était précisément parce qu’elle n’était guère générale, se limitant à poser des relations entre quelques formes élémentaires (point, droites, angles, cercles, plans...). Et c’est au contraire précisément parce qu’elle tend à être généralissime qu’une axiomatisation de la géométrie différentielle comme celle de Veblen & Whitehead ne pourra prétendre à la complétion ou à la décidabilité métathéorique. Toute une littérature a déjà commenté le fait que le théorème d’incomplétude de Gödel constitue un obstacle aux positions philosophiques qui, comme celles de Husserl et de Hilbert, péchaient par un optimisme démesuré en la capacité des mathématiques à définir des systèmes axiomatiques complets39.

3.7 Changement de statut de la géométrie dans les théories physiques à métrique dynamique

65Un problème peut-être encore plus sévère nous attend. Il concerne le mode de subsomption des géométries particulières sous le cadre général de la géométrie généralissime (que nous avons identifiée à la géométrie différentielle). Partons des Prolégomènes où Husserl nous donnait à penser les relations entre certaines géométries particulières et un certain cadre géométrique formel général :

C’est en étudiant le mode selon lequel on passe d’un genre de multiplicité spatiale à un autre par variation du degré de courbure, que le philosophe ayant appris les rudiments de la théorie de Riemann-Helmholtz peut se faire une certaine idée de la manière dont des formes pures de théories, de types nettement distincts, sont reliées entre elles par le biais d’une loi. [Husserl 1900, § 70, 276]

66Ce texte indique qu’un certain cadre géométrique général (la théorie de Riemann-Helmholtz) est susceptible de subsumer une pluralité de variétés géométriques (par variation de la courbure). Selon les mots de Husserl, le cadre riemanno-helmholtzien, fournit une « loi » qui relie ensemble toutes les théories géométriques particulières considérées.

  • 40 Weyl [1921, 92] l’explicite clairement. Husserl avait également approfondi les rôles de Gauss et de (...)

67Pour comprendre le statut unificateur que peut jouer la géométrie différentielle, il nous faut d’abord en rappeler les traits principaux. Un saut a été franchi, dans les fondements de la géométrie, entre Euler et Riemann, (Gauss étant un cas intermédiaire). En effet, chez Euler, l’espace ambiant avait une métrique encore fixe (euclidienne), tandis que les surfaces qui y étaient plongées pouvaient admettre tout type de métrique, par la libre variation de leurs courbures. Avec Riemann, cette asymétrie entre la forme du contenant et les formes des contenus est brisée. Nous pouvons résumer cette idée en disant que l’espace lui-même devient tout aussi potentiellement flexible que les surfaces et les courbes qui y sont plongées40. Or, un tel cadre géométrique peut être intégré à une théorie physique de deux manières radicalement différentes. Seule la première des deux manières est conforme à la description des Prolégomènes, qui nous semble encore en arrière-fond du propos de la Krisis.

68Le premier type d’usage en physique d’un tel « espace flexible » consiste à produire une théorie géométrique axiomatisable où la métrique se trouve parfaitement déterminée. Ainsi, la transition depuis la théorie formelle générale des espaces métriques de Riemann jusqu’à une certaine géométrie spécifique passe ici par l’ajout de quelques lois formelles spécifiques qui viennent déterminer univoquement a priori le champ des coefficients de la métrique. Un cas typique de ce processus de spécification a été évoqué allusivement à la section 3.3. En partant du cadre général de la géométrie différentielle et en ajoutant l’hypothèse de libre mobilité des figures, on parvient à la géométrie absolue, celle qui englobe les géométries : euclidienne, hyperbolique et elliptique. Un dernier axiome fixant la valeur de la courbure suffit alors à déterminer axiomatiquement tous les coefficients de la métrique. Nous parvenons donc dans chaque cas à une théorie parfaitement axiomatisée, dont le corrélat objectal n’est autre qu’une multiplicité au sens de Husserl. D’autres cas similaires ont typiquement lieu dans le domaine de la cosmologie ou de la modélisation approchée d’une région d’espace-temps, là où des hypothèses simplificatrices (d’homogénéité, d’isotropie, de symétrie, etc.) rendent la métrique capturable par une structure conceptuelle finie. Ce premier type de subsomption d’une géométrie spécifique sous le cadre de la géométrie différentielle riemannienne colle bien à la description que fait Husserl dans le texte des Prolégomènes cité ci-dessus. Le fait même qu’il parle de « théorie de Riemann-Helmholtz » suggère qu’il pense bien à la subsomption des géométries à courbure constante sous le cadre de la géométrie absolue. Le cadre riemannien se présente bien ici comme un cadre générique, générateur de théories géométriques axiomatisées parfaitement déterminées.

  • 41 En relativité générale, ce sont les fameuses « équations d’Einstein » qui explicitent la loi qui co (...)
  • 42 Attention : informe ne veut pas dire anexact. Cela n’est qu’une manière de désigner l’état d’indéte (...)

69Le deuxième type d’usage en physique d’un tel espace flexible est instancié par les applications locales que l’on peut faire de théories similaires à la relativité générale. Ce n’est pas le contenu empirique précis de cette théorie qui nous importe ici, mais son appartenance exemplaire à une nouvelle classe de théories contemporaines de l’espace-temps, qui proposent un mode radicalement différent d’articulation entre géométrie différentielle et réalité empirique. Plus précisément, ce sont les théories physiques de l’espace-temps à métrique dynamique. Ce sont des cadres théoriques où la métrique est laissée, au niveau mathématique, à son état de complète indétermination. Les coefficients de la métrique ne sont déterminés qu’a posteriori, au niveau physique, quand la théorie en vient à être appliquée à un environnement physique concret. Cela est dû au fait que ces théories posent une relation dynamique entre les valeurs des coefficients de la métrique et le contenu matériel41 de l’espace physique. Cela lève toute pertinence pour une fixation mathématique a priori de la métrique. La géométrie s’assume comme essentiellement informe42 ou plutôt métamorphe, et donc échappant à toute axiomatisation complète. C’est pourquoi ici, par contraste avec le premier cas, on ne peut plus considérer la notion d’espace riemannien comme un simple cadre générateur de métriques potentiellement axiomatisables.

70Si le mode d’articulation entre géométrie différentielle et réalité empirique est ici si radicalement différent du précédent, c’est en raison de la physicalisation de la géométrie. La métrique partage avec la matière le même niveau de transcendance et de complexité indéfinie, ce qui la rend fondamentalement réticente à tout enfermement dans un système axiomatique. Autrement dit, tout comme un corps matériel, la métrique physique dans sa réalité concrète, pleine et entière, ne se laisse pas enclore dans la description finie d’une construction conceptuelle. Elle n’est découverte que progressivement par l’art de la mesure, en repoussant indéfiniment l’horizon posé par les moyens de mesure à chaque moment limités. C’est pourquoi cette espèce de théories physiques ne repose sur aucune substruction d’une géométrie déterminée à la réalité spatio-temporelle concrète qui se dévoile d’abord dans le monde intuitif. Seule de telles théories exploitent pleinement la liberté de variation de la métrique permise par la géométrie différentielle.

  • 43 En nous en tenant à un petit échantillon de cette littérature, on peut renvoyer à [Boi 1997a,b, Boi (...)

71Nos derniers paragraphes vont explorer comment ce mode d’ancrage radicalement différent de la géométrie dans l’empirie oblige à repenser les archi-fondements de la discipline. Pour cela, la littérature existante ne nous sera que d’un mince secours. Husserl lui-même, comme nous l’avons dit, ne prend pas parti sur ces questions. Certains penseurs de l’espace, inspirés par la phénoménologie husserlienne (H. Weyl [1921, 1923], O. Becker [1923]), ont développé leurs propres réflexions philosophiques sur la géométrie différentielle et les métriques dynamiques, mais dans un cadre qui n’était pas encore celui de la phénoménologie historique du dernier Husserl. Enfin, une littérature plus récente a certes développé certains usages modernes de la géométrie différentielle dans le cadre d’une philosophie de l’espace d’inspiration phénoménologique43. Toutefois, cette littérature s’attache à un problème différent du nôtre puisqu’elle cherche plutôt à expliciter comment l’usage des variétés différentielles peut éclairer les procédures constitutives à l’œuvre au niveau de l’espace perceptif, comme dans Chose et Espace [Husserl 1907], et non pas au niveau de la géométrie en tant que partie organique de la physique, comme dans la Krisis et l’ODG.

3.8 Révision de l’architecture des strates originaires dans le cadre de la géométrie généralissime

72Nous avons présenté le caractère singulier de la géométrie différentielle, tant sur le plan de son extrême généralité mathématique que des modalités de son application empirique. Cette révolution dans l’histoire de la géométrie, à laquelle on pourrait accoler l’étiquette d’« Einstein-Riemann », oblige à repenser les différentes strates d’actes originaires dégagées à la section 2.

73Avant la révolution Riemann-Einstein, on disposait d’un cadre axiomatique pour la géométrie pure qui fixait entièrement a priori la métrique de l’espace. Cela formait un « monde » de formes-idéales, fixé une fois pour toutes, vers lesquelles pouvaient tendre par approximation les formes empiriques mesurées concrètement.

74Après cette révolution, la seule « géométrie » pure adoptée en amont de la théorie physique est le cadre générique des espaces pseudo-riemanniens. Les strates 1 et 3 du schéma de la Krisis prennent alors une tournure très spécifique, irréductible à celle qui était à l’œuvre à l’époque « galiléenne » – pour parler comme Husserl.

75Au niveau de la strate 1, il s’agit de se libérer de l’idée que les formes spatiales (ou spatio-temporelles) mondaines, en tant que pré-données dans l’expérience intuitive, ne constitueraient qu’une approximation anexacte d’une forme exacte, homogène et isotrope, en attente d’être dégagée par une axiomatique mathématique.

76Plutôt, nous substruisons désormais un espace mathématique métamorphe, qui n’est qu’un patron générique partiellement indéterminé. Seule la prise en compte de la situation empirique contingente (en relativité générale : la distribution de la matière), que cela soit au niveau théorique ou au niveau de l’opération de mesure concrète, amène ensuite la métrique à sa détermination exacte. Il faut donc attendre la strate 3 pour avoir une géométrie déterminée. Cette mutation des modalités d’accomplissement de la strate 1 est en partie responsable des problèmes rappelés à la section 3.6, à propos de la thèse de la complétude axiomatique de la géométrie.

  • 44 Une telle instabilité de la forme métrique de l’espace rend difficile de continuer à penser les for (...)

77Au niveau de la strate 3, c’est la manière dont les idéalités mathématiques rendent possible le processus de l’approximation indéfinie, inhérent à la mesure empirique, qu’il faut radicalement repenser. On assiste en effet, dans les théories physiques à métrique dynamique, à une reconfiguration fondamentale des relations entre formes-limites et formes empiriques concrètes. Auparavant, la géométrie pure fournissait des figures idéales dont les configurations possibles étaient fixées une fois pour toutes, formant un espace de jeu fixé. Le processus d’approximation de la mesure consistait alors en une révision progressive de la manière dont les figures empiriques concrètes en venaient à s’identifier partiellement à telles ou telles formes idéales, déjà parfaitement prédessinées. Avec les théories physiques à métrique dynamique, c’est la configuration de l’espace physico-mathématique lui-même (les valeurs des coefficients de la métrique) qui se précise simultanément aux figures empiriques qui y sont plongées. C’est pourquoi, le gain en précision inhérent à l’historicité des mesures ne joue plus seulement sur la manière dont les grandeurs mesurées sont projetées sur le fond d’un espace idéal. Plutôt, c’est par un même mouvement de progression empirique que se co-déterminent simultanément la forme métrique de l’espace lui-même et celle des entités physiques qui le remplissent44.

78D’ailleurs, comme nous l’avons vu, un tel espace métrique n’est déjà plus un « monde » d’entités purement idéales. La métrique de l’espace-temps lui-même – tout comme les mesures métriques des entités qui y sont contenues – est désormais une entité transcendante avec ses propriétés physiques à déterminer empiriquement. Ainsi, l’instabilité de l’espace de la géométrie pure est reliée au nouveau mode de physicalisation de la géométrie. Comme pour tout objet physique, et donc transcendant, la métrique de l’espace (ou de l’espace-temps) relève d’une constitution multistratifiée. Elle s’appuie certes d’abord sur l’origination d’un espace générique informe d’idéalités purement mathématiques mais aussi sur des opérations constitutives qui relèvent de la strate empirique. En particulier, selon un tel dispositif, seule la position – comme hypothèse physique – d’équations du type de celles d’Einstein permet de donner sa détermination exacte possible (par le processus indéfini de la mesure) aux propriétés métriques de l’espace. On assiste donc bien à un remodelage radical de la manière dont la géométrie est constituée à l’interface des deux domaines des mathématiques pures et de la physique.

79L’intrication entre la métrique de l’espace-temps et le contenu matériel dans la physique post-einsteinienne amène également à repenser différemment le thème de la substruction d’un monde d’idéalités au monde de la vie. On ne dispose en effet plus d’une géométrie idéale pure à substruire telle quelle par un simple acte d’institution symbolique, pour reprendre l’expression de Marc Richir [1988, 133]. Plutôt, c’est désormais un complexe d’entités géométrico-physiques qui est désormais substruit aux relations spatiales concrètes du monde de la vie. Il n’est plus possible d’envisager une substruction purement géométrique, autonome, qui serait ensuite prolongeable par une substruction de nature proprement physique.

  • 45 [Husserl 1935, 42] : « chaque fois l’altération d’ensemble du remplissement d’ensemble aurait son d (...)
  • 46 Plus précisément, selon Husserl, à partir du vécu perceptif concret, nous sommes justifiés à nous a (...)

80Les paragraphes 9c-d de la Krisis avaient thématisé la nécessité de mathématiser les qualités intensives en tant qu’elles « remplissent » les formes spatiales. Toutefois, la problématique y était traitée sous la forme restreinte typique qu’elle prend chez les auteurs du début de l’âge classique (Galilée, Descartes, Locke). En particulier, Husserl y insistait sur la thèse selon laquelle seules les grandeurs géométriques (ou du moins cinématiques) seraient directement mathématisables, trouvant leurs correspondants dans un monde d’idéalités tout prêt. Par contre, selon cette thèse, les grandeurs intensives (densité, température, etc.) ne seraient qu’indirectement mathématisables, toute modification d’une qualité intensive n’étant caractérisable mathématiquement que parce qu’elle s’accorde selon une loi causale avec une modification cinématique (i.e., concernant « la forme45 »). Cette thèse, à la tonalité cartésienne, qu’on peut résumer en parlant de primat de la res extensa, est encore présente sous une certaine forme dans la manière dont Husserl pense la constitution de l’espace perçu (dans Chose et Espace [1907]46). Mais c’est précisément cette possibilité de principe d’une abstraction qui sépare le purement géométrique de la matière physique et de ses qualités qui n’est plus tenable selon les théories physiques à métrique dynamique. Les qualités du contenu matériel (surtout la densité) et les propriétés métriques de l’espace se co-déterminent. De ce fait, l’idéalisation géométrique ne nous donne pas accès à un espace métrique qui serait comme une version exactifiée de l’espace intuitif. Plutôt, la physicalisation de la géométrie change le statut de la substruction théorique dans sa relation à la strate intuitive. Cela amène à penser de manière nouvelle la coordination entre la géométrie et les propriétés matérielles, et donc entre les a priori matériels correspondants.

3.9 Révision du mode d’historicité de la géométrie, en cas d’atteinte de la géométrie généralissime

81Par ailleurs, si on prend au sérieux que la géométrie puisse atteindre le statut « généralissime » au sens de notre section 3.4, alors cela entraînerait la fin d’un des processus historiques moteurs de la géométrie. En effet, si vraiment le cadre métrique atteint par la géométrie différentielle en venait à être si général qu’il contiendrait a priori tout type de relations spatiales possibles, présentes ou à venir, alors plus aucune nouvelle institution symbolique d’un domaine d’idéalités géométriques ne serait demandée pour le reste de l’histoire de la discipline. La géométrie n’en resterait pas moins historique en son essence, comme toute science. Seulement, la strate 1 verrait son histoire définitivement close. L’historicité encore ouverte de la discipline ne concernerait plus que : 1) l’histoire du déploiement des théorèmes et des constructions – strate 2 – (en s’appuyant sur une base « axiomatique » désormais stabilisée), 2) l’histoire de la manière dont ce cadre s’inscrit dans l’édifice de la science physique – strate 3 – (chaque nouvel état des théories physiques pouvant réformer la manière empirique précise dont la géométrie généralissime, en s’appliquant à la réalité empirique, se substruit aux relations spatio-temporelles concrètes) et enfin évidemment 3) la poursuite de l’inscription des progrès de cette géométrie dans une littérature (consignation). De ce point de vue, les différentes révisions des fondements de la géométrie qui nous auraient conduit d’Euclide à la géométrie généralissime, pourraient être regardées rétrospectivement comme les étapes de la maturation (sur plus de 2000 ans), d’une discipline désormais amenée à se maintenir sur ses fondements axiomatiques mûrs et stables.

82Ensuite, le caractère généralissime de ce type de géométrie pure, s’il était avéré, la mettrait à l’abri des déconvenues qu’avait connues la géométrie euclidienne depuis le xixsiècle. On sait comment le manque de généralité de cette géométrie avait eu pour conséquence que, quand les physiciens se sont intéressés aux relations métriques concrètes avec un degré de finesse suffisant, alors la géométrie euclidienne s’est révélée comme un cadre symbolique trop étriqué pour exprimer commodément les lois de la nature. Les obstacles rencontrés par le physicien avaient ainsi conduit à prendre conscience du caractère limitatif de la substruction euclidienne. Cela a été au moins le cas pour un physicien comme Einstein, dont l’esprit philosophique l’a prémuni contre la substruction sauvage et aveugle dénoncée par Husserl. Un tel conflit entre le cadre géométrique idéal et les besoins d’expression naissant de l’avancée de la compréhension des relations physiques incitait alors à déconstruire (et donc désubstruire) ce cadre.

  • 47 C’est notamment une voie suivie par Cassirer [1922]. On trouvera une discussion plus générale sur l (...)
  • 48 Par contraste avec Cassirer [1922], Weyl [1923, 7e conférence] se montre très prudent envers l’idée (...)

83Mais si la géométrie devenait bel et bien généralissime, alors une telle déception dans l’usage empirique du cadre de la géométrie pure ne pourrait plus advenir. Cette géométrie généralissime pourrait alors jouer le rôle d’un cadre universel, adapté par avance à toute application empirique future. C’est la raison principale qui avait amené certains néokantiens à renouveler la thèse de l’idéalisme transcendantal de l’espace, en remplaçant le cadre de la géométrie euclidienne (comme supposé cadre qui serve de condition a priori de possibilité de toute expérience), par le cadre flexible et indéfiniment adaptable de la topologie différentielle ou des espaces de Riemann47. Que cette voie soit viable ou non pour défendre l’idéalisme transcendantal de l’espace48, en tous cas cette généralisation ultime de la géométrie pose des problèmes spécifiques vis-à-vis du cadre de pensée développé dans la Krisis et dans l’ODG. Certes, la supposée maturation définitive des axiomes de la géométrie donnerait un poids supplémentaire à la thèse de l’unité téléologique de la discipline, justifiant le singulier dans le titre de l’ODG. Mais cela accroîtrait par contre le risque de désintéressement vis-à-vis des principes archi-originaires de la géométrie.

84En effet, puisque la généralisation ultime de la géométrie la prémunirait contre le type de démenti qu’a connu celle d’Euclide, cela renforcerait encore d’autant plus l’invisibilisation des fondements pré-axiomatiques (archi-originaires au sens de Husserl) sur lesquels s’instituerait le sens symbolique de la géométrie pure. La substruction des idéalités de la géométrie généralissime aux réalités empiriques du monde de la vie deviendrait d’autant plus dangereuse que plus aucune crise scientifique dans les fondements mêmes de la géométrie ne serait susceptible de réveiller l’entente épistémologico-phénoménologique de la construction de sens originaire qui préside à la constitution de la géométrie. Cela explique la stratégie husserlienne consistant à retourner à la géométrie euclidienne pour réveiller l’entente du besoin d’une origine préaxiomatique.

4 Conclusion

85Les échantillons d’analyses phénoménologico-historiques présents dans cet article ne touchent qu’à une petite partie des problèmes qui sont posés par l’histoire de la géométrie, depuis la période antique jusqu’à la période la plus contemporaine. Ils sont cependant suffisants à démontrer que le programme d’archéologie de la géométrie ouvert par Husserl dans ses derniers textes, loin d’être un sujet clos et d’intérêt seulement historique, est au contraire un riche domaine contemporain d’investigation. Notre article montre que, pour révéler toute sa fertilité, ce champ exploratoire doit partir de la reconnaissance du fait que les archi-origines de la géométrie n’ont pas été pensées clairement et définitivement, une fois pour toutes, à l’aube de la discipline, mais ont été régulièrement repensées et révisées, dans les moments les plus révolutionnaires de son histoire. Autrement dit, l’historicité des axiomatiques géométriques n’est pleinement intelligible que si nous l’articulons avec l’historicité de la réflexion philosophique qui dégage progressivement, dans toute leur pureté, les fondements archi-originaires de la géométrie.

86Je remercie mon collègue Carlos Lobo pour ses précieuses indications au moment de mes premières confrontations avec les textes concernés du corpus husserlien.

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Notes

1 Nous pensons avec Fink [1939, 203] qu’il faut lire le § 9 de la Krisis afin de trouver une problématique générale sur les fondements de la géométrie à laquelle rattacher L’O.d.g. ; cette dernière ne traitant essentiellement que d’un sous-problème, celui de la consignation. Cf. notre section 2.5.

2 Voici comment Husserl pense cette rupture. La géométrie des Anciens est un monde fermé, construit autour d’un « a priori qui se clôt de façon finie ». Elle se limite à l’étude de configurations issues d’un nombre fini de figures élémentaires, par une logique elle-même conçue comme finitaire (syllogistique). Par opposition, la géométrie des Modernes se donne une tâche infinie, fondée sur un a priori universel, visant à circonscrire « n’importe quelle figure imaginable inscriptible dans l’espace ».

3 Nous les rapportons ci-dessous, p. 32.

4 Précisons une fois pour toutes que nous emploierons le mot « axiome » en son sens moderne, comme synonyme de postulat, et non pas avec son sens grec, comme synonyme de notion commune.

5 Frege s’est intéressé à la géométrie euclidienne par réaction à la publication de [Hilbert 1899]. G. Longo [2023] interprète le relatif dédain de Frege pour la géométrie en général, au profit de l’arithmétique, comme une conséquence de l’instabilité fondationnelle qu’a connue la géométrie au xixe. L’arithmétique était le nouveau refuge des logiciens en quête de fondements solides pour les mathématiques.

6 Ce genre de positions s’appuie sur le fait que les géométries riemanniennes sont en un certain sens localement euclidiennes. De telles stratégies pour ordonner la philosophie de l’espace ont été notamment suivies par [Carnap 1922] et [Becker 1923], depuis des points de vue inspirés par le kantisme et la phénoménologie husserlienne.

7 Adjectif qu’on trouve en [Husserl 1962], p. 175 à propos de la science, et p. 195 à propos des théorèmes et des concepts trouvés dans les manuels de géométrie.

8 Par ailleurs, en proposant une philosophie transcendantale attentive à l’histoire, Husserl répond à sa manière à la tension entre l’apriorité des éléments transcendantaux de la connaissance et l’historicité des sciences. Ce problème était devenu crucial après la remise en cause, à partir du xixe siècle, des éléments que Kant avait considérés comme valant a priori (la géométrie euclidienne, les concepts fondamentaux de la physique newtonienne, etc.). Tous les philosophes des sciences influencés par Kant ont dû faire face à ce problème. Nous pouvons penser notamment ici :

  • à l’évolution historique des formes symboliques chez Cassirer et à sa manière de rendre compte de l’évolution scientifique [cf. Biagioli 2021, 2016],
  • aux formes d’a priori historicisé ou d’a priori relativisé qui sont nées à partir des travaux du jeune Reichenbach (cf. [Padovani 2009], [Friedman 2008, 2001], [Ryckman 2005]),
  • à la refonte de la notion d’a priori dans la pensée d’Hermann Cohen [cf. Giovanelli 2018],
  • à la friction entre l’historicité des sciences et l’apriorité de leurs fondements dans la pensée d’Hermann Weyl [cf. Bernard 2020, 2023].

9 Voir à ce propos le débat entre Derrida et Cavaillès dans [Derrida 1962, 157–158].

10 Remarquons en outre que, pour ce domaine très particulier des mathématiques qu’est la chrono-géométrie, il s’ajoute une difficulté descriptive supplémentaire, dans la mesure où les entités mathématiques idéales constitutives de ce domaine vivent dans la « spatio-temporalité pure », spatio-temporalité pure qu’il ne faut cependant pas confondre avec le temps et l’espace mondains [Husserl 1962, 175].

11 « [La géométrie est une] synthèse continuelle en laquelle tous les acquis persistent dans leur valeur, forment tous une totalité, de telle sorte qu’en chaque présent l’acquis total est, pourrait-on dire, prémisse totale pour les acquis de l’étape suivante. La géométrie est nécessairement dans ce type de mouvance avec un horizon d’avenir géométrique de même style ; c’est ainsi qu’elle a cours auprès de chaque géomètre, chacun ayant la conscience (c’est-à-dire le savoir constant et implicite) d’être engagé dans une progression continue et dans un progrès de connaissance en tant qu’il opère dans cet horizon » [Husserl 1962, 174].

12 C’est l’expression employée par Bachelard à propos de Cavaillès [1997, Préface, 8]. Cf. l’idée correspondante dans [Husserl 1900, 280].

13 Cf. [Husserl 1935, 32–33], et notamment ce que Husserl appelle « la forme d’arpentage très primitive », pré-géométrique.

14 Substruire c’est « construire puis substituer à ». Plus précisément, il s’agit ici de construire théoriquement un monde d’idéalités et de le substituer aux formes concrètes des choses du monde de la vie.

15 La figure du zigzag est employée par Husserl lui-même [1962, 68], non pas comme ici pour parler des fondements originaires de la géométrie, mais de la méthode « historique » de la philosophie recherchée dans la Krisis. Cf. également [Dufourcq 2016, 57 sq.].

16 [Husserl & Fink 1939, 210]. C’est la traduction proposée par Derrida pour Dokumentierung.

17 Anecdote rapportée par Vitrac [2009]. Il s’agit d’un mathématicien insomniaque qui avait la manie d’occuper ses nuits en partant des dernières propositions admises dans les Éléments d’Euclide, et en remontant à rebours la chaîne des déductions logiques jusqu’à revenir aux axiomes.

18 Cf. Dufourcq [2016, 57 sq.] pour une présentation nuancée des faces négative et positive de la sédimentation du sens archi-originaire.

19 Husserl parle à ce propos de la « naïveté de l’évidence apriorique qui maintient en mouvement tout travail géométrique normal » [Husserl 1935, 34].

20 République, VI, 510a–511e, à rapprocher par exemple aussi de [Husserl 1900, § 71].

21 C’est du moins l’interprétation la plus courante des textes kantiens depuis le xixe siècle, toutefois parfois contestée.

22 Nous disons « semble » en raison de l’immunité de la géométrie pure contre toute tentative de réfutation empirique, cf. ci-après. Par ailleurs, nous verrons aux sections 3.4 et 3.9 en quoi la géométrie généralissime, par son statut très particulier, prétend donner une solution définitive au problème de l’anticipation géométrique des mesures empiriques.

23 La thèse selon laquelle le programme historique de la physique mathématique trouve son origine dans la géométrie semble en partie une reprise d’une thèse déjà formulée dans [Husserl 1985, § 9, 37].

24 À propos de l’immunité de la géométrie pure contre tout démenti expérimental, le lecteur peut se référer aux analyses classiques de Helmholtz, Poincaré et Einstein.

25 Contrairement aux autres noms, c’est nous qui avons ajouté ceux de Dedekind et Weierstrass. Husserl se contente dans ce texte de parler d’une manière générale de l’arithmétisation du continu, sans référence historique.

26 Voir à ce propos notre reconstruction dans [Bernard 2020].

27 Au sens de la typologie établie à la section 2.

28 Il n’utilisait évidemment pas ce vocabulaire.

29 Cf. notamment l’expérience de pensée de la dilatation thermique des étalons dans [Poincaré 1902, chap. IV].

30 Ce sont les géométries euclidienne, hyperbolique et elliptique. Elles appartiennent à un genre unique qui constitue une généralisation de la géométrie euclidienne au sens discuté dans notre section 3.2. Plus de détails sur ces géométries dans [Helmholtz 1868], [Merker 2010], [Bonola 1912], [Torretti 1978].

31 C’était notamment l’objectif de Helmholtz. Il entendait réfuter la doctrine kantienne de l’espace en montrant que la géométrie euclidienne n’était aucunement apodictique. Toutefois, d’autres lectures de la philosophie kantienne tendent à la rendre indépendante de l’hypothèse d’un cadre nécessairement euclidien pour la géométrie.

32 Cf. ce que nous en avons rapporté à la note 2.

33 Husserl dit « absolument générale » [1935, 33].

34 Nous doutons cependant que la métathéorie soit elle-même une multiplicité au même sens que celles qu’elle étudie, c’est-à-dire que la métathéorie soit elle-même axiomatisable.

35 C’est sans doute pour cela que Husserl [1900, § 70, 276] nous dit que l’on peut éprouver la puissance des mathématiques formelles en se penchant sur « les théories des multiplicités issues de généralisations de la théorie et de la forme des théories géométriques » [nous soulignons].

36 L’axiomatique de Hilbert [1899] pour la géométrie euclidienne n’est ni décidable ni complète si on conserve les axiomes du groupe dit « de continuité ». Mais la version de A. Tarski [1969] est complète et décidable comme l’est toute géométrie finiment axiomatisable écrite dans un langage du premier ordre (théorème de complétude de Gödel).

37 Le texte même de la Krisis (p. 53, note 1) nous autorise à retourner aux Recherches logiques et aux Ideen pour développer les notions de multiplicité et de mathesis universalis.

38 Christoffel, Ricci, Levi-Civita, Weyl, Cartan, etc.

39 Van Atten [2024] rappelle cependant que tous les commentateurs ne sont pas d’accord sur le fait que les théorèmes d’incomplétude de Gödel mettent à mal ou non la conception proprement husserlienne de la complétude des axiomatiques.

40 Weyl [1921, 92] l’explicite clairement. Husserl avait également approfondi les rôles de Gauss et de Riemann pour les fondements de la géométrie différentielle dès ses travaux des années 1880 [Husserl 1950].

41 En relativité générale, ce sont les fameuses « équations d’Einstein » qui explicitent la loi qui corrèle les coefficients de la métrique au contenu matériel de l’espace-temps (plus précisément : l’énergie-impulsion). Pour une des premières analyses philosophiques des conséquences de ce caractère dynamique de la métrique, cf. [Weyl 1921, § 11, 12, 21]. D’autres théories physiques partagent la même espèce, i.e., admettent une métrique dynamique. Pour se limiter à quelques exemples de théories antérieures aux années 1930, on peut citer : la seconde théorie de la gravité de Nordström (1913) ou encore la théorie unitaire des champs de Weyl (1918). Dans son édition du texte d’Habilitation de Riemann, Weyl a mis l’accent sur le fait que le mathématicien de Göttingen avait déjà aperçu la possibilité radicale d’une métrique dynamique, au moment même où il jetait les bases de la géométrie différentielle. Cf. [Weyl 1921, 97–98], [Riemann 1923] et [Bernard 2018, 3].

42 Attention : informe ne veut pas dire anexact. Cela n’est qu’une manière de désigner l’état d’indétermination des coefficients de la métrique, au niveau de la théorie mathématique pure. Toutefois, la métrique riemannienne n’a rien d’une forme anexacte au sens des sciences descriptives.

43 En nous en tenant à un petit échantillon de cette littérature, on peut renvoyer à [Boi 1997a,b, Boi, Kerszberg et al. 2007], notamment [Boi 2007] et [Giorello & Sinigaglia 2007].

44 Une telle instabilité de la forme métrique de l’espace rend difficile de continuer à penser les formes idéales comme des « pôles invariants » [Husserl 1935, 31].

45 [Husserl 1935, 42] : « chaque fois l’altération d’ensemble du remplissement d’ensemble aurait son double causal dans la sphère de la forme. »

46 Plus précisément, selon Husserl, à partir du vécu perceptif concret, nous sommes justifiés à nous abstraire des propriétés proprement physico-causales pour atteindre le domaine des pures apparences sensibles (fantômes). Puis, au sein de ce dernier domaine, nous sommes justifiés à nous abstraire des propriétés sensibles qualitatives (couleurs, qualités tactiles...) pour obtenir la forme « géométrique » pure.

47 C’est notamment une voie suivie par Cassirer [1922]. On trouvera une discussion plus générale sur le néo-kantisme, la géométrie et les théories de la relativité dans [Biagioli 2016]. Cf. aussi [Bernard 2015, 252–253].

48 Par contraste avec Cassirer [1922], Weyl [1923, 7e conférence] se montre très prudent envers l’idée d’enfermer définitivement la vérité dans un cadre définitif (une géométrie pure donnée une fois pour toutes).

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Pour citer cet article

Référence papier

Julien Bernard, « Les originations de la géométrie. Les problèmes posés par le singulier dans le titre de Husserl »Philosophia Scientiæ, 29-1 | 2025, 15-52.

Référence électronique

Julien Bernard, « Les originations de la géométrie. Les problèmes posés par le singulier dans le titre de Husserl »Philosophia Scientiæ [En ligne], 29-1 | 2025, mis en ligne le 13 février 2025, consulté le 14 juin 2025. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/4572 ; DOI : https://doi.org/10.4000/13cnf

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Auteur

Julien Bernard

Aix-Marseille-Université, CNRS, Centre Gilles-Gaston-Granger, UMR 7304, Aix-en-Provence (France)

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