1Comment la philosophie des mathématiques se rapporte-t-elle à son objet lorsque cet objet est textuel ? Cette question correspond à plusieurs niveaux d’exigence méta-épistémologiques :
- Comment la philosophie se rapporte-t-elle à son objet dans tous les cas où elle n’est pas réflexion sur son domaine et ses concepts domestiques, mais sur des domaines et concepts étrangers par rapport auxquels elle se pose comme une instance problématisante ?
- Comment la philosophie des mathématiques peut-elle aborder son objet dans son intégralité et son intégrité pour être philosophie des mathématiques – au sens de : philosophie de toutes les mathématiques1 ?
2La question du rapport au texte en mathématiques devient inévitable si on considère respectivement que :
- La philosophie des mathématiques doit réfléchir et si possible normer ses modalités d’accès à son objet. Le texte constitue un mode de donation de son objet incontournable.
- La philosophie des mathématiques ne peut faire l’économie d’un rapport aux traces de l’activité mathématique, sous peine de se restreindre de façon préjudiciable à une vue incomplète de son objet – sous sa forme exclusivement contemporaine et vivante – qui constituera un obstacle insurmontable à ses efforts de généralisation.
3À ce compte, on pourrait être tenté de croire que la prise en compte de l’histoire des mathématiques, et donc des documents qui permettent de l’étudier, est analytiquement impliquée dans l’idée même d’une philosophie des mathématiques. Sans elle, ce sont les conditions minimales de la généralisation philosophique qui se dérobent, et celle-ci se condamne alors à hypostasier des états transitoires du savoir, à ériger un point de vue historiquement situé en point de vue des anges, à proposer des schémas totalisants exorbitants – tableaux que le détail de l’histoire empirique aura tôt fait de mettre en défaut.
4Pourtant, il est tout aussi évident analytiquement que la philosophie des mathématiques ne serait pas philosophie si elle ne se livrait pas à un exercice de totalisation capable de décoller de la surface des archives. Si le concept se rapporte à des faits qui l’instancient et en constituent l’extension, la philosophie, même rivée à un objet privilégié comme les mathématiques, ne peut faire l’économie d’un usage des concepts qui se joue à une certaine distance des instanciations. C’est ce que souligne à raison Jean-Michel Salanskis : élaborer conceptuellement, c’est produire des enchaînements conceptuels qui se tiennent à distance de l’instanciation, qui « repousse[nt] au-delà l’illustration par un cas » [Salanskis 2014, 348].
- 2 En théorie des systèmes, on appelle « granularité » d’un système la taille du plus (...)
5Cette prise en tenaille semble constitutive de la philosophie des mathématiques : forcée de se rapporter à des textes, elle est tout aussi forcée de s’en distancier. Dans l’espace ouvert par cette tension, il semble que chaque philosophie des mathématiques qui prend conscience d’un rapport nécessaire à des textes mathématiques se trouve dans l’obligation d’inventer – sans forcément toujours le thématiser – un rapport du conceptuel au textuel dont les règles peuvent être reconstruites. L’objet de notre investigation sera de saisir dans L’Origine de la géométrie de Husserl [1954] un moment d’émergence de cette tension constitutive, qui s’explique par la prise de conscience de l’épistémologie comme d’une tâche historique, puis d’examiner comment Cavaillès et Desanti, héritant de ce problème, produisent des dispositifs conceptuels réglant différemment le jeu du textuel et du conceptuel. Quelle est la granularité2 de ces dispositifs ? Comment le matériau mathématique est-il intégré dans les œuvres ? Comment est-il transformé ? Quelle autorité lui est-elle accordée ? Et quels pouvoirs de régulation ?
6Dans un premier temps, nous présenterons l’ouverture à la question de l’histoire en mathématiques qu’a constitué L’Origine de la géométrie. Puis nous examinerons la manière dont Cavaillès et Desanti ont articulé le textuel et le conceptuel dans leur dispositif de philosophie des mathématiques.
7Partons d’une observation de surface : dans L’Origine de la géométrie, on ne croise ni référence précise relative à l’histoire des mathématiques, ni notation mathématique, ni diagramme. Ce qui constitue une textualité mathématique, ou à tout le moins un index référentiel à son existence et à son autorité, est complètement absent du texte. On y trouve des figures, des personnages conceptuels qui ont manifestement pour rôle opératoire de capter quelque chose comme une réalité historique (Galilée, le premier géomètre), mais qui sont d’une indétermination spectaculaire dans le cadre de ce qui se présente comme une « méditation historique » sur la géométrie [Husserl 1954, 174]. D’entrée de jeu, Husserl concède que cette méditation historique a peu à voir avec une approche « philologico-historique » [1954, 175], puisqu’elle concerne le sens de la géométrie, et non les particularités du déploiement chronologique des savoirs. Le premier geste philosophique du texte est donc l’énonciation d’une tâche, celle du retour sur le sens le plus originaire de la géométrie. Le second geste est celui de congédier l’approche historique, et à travers elle, la textualité mathématique empirique qui sert à l’historien de matériau pour la réflexion et de régulation pour ses hypothèses. La raison d’un tel geste devient rapidement évidente : c’est parce que là où l’histoire s’occupe de faits, Husserl pose une question de droit, cherchant non la description factuelle des premières pratiques géométriques, mais « les commencements originaires et engloutis de la géométrie tels qu’ils doivent nécessairement avoir été, en tant que “proto-fondateurs” » [1954, 175].
8Quelques remarques. D’abord, le fait que Husserl assume dans cet ouvrage un degré élevé de généralité de l’analyse :
Cette question en retour s’en tient inévitablement à des généralités, mais, cela se manifestera bientôt, ce sont des généralités susceptibles d’une explication féconde et avec lesquelles sont prescrites les possibilités de parvenir à des questions singulières, et, à titre de réponse, à des déterminations évidentes. [Husserl 1954, 176]
9Qu’il s’agisse d’une véritable analyse phénoménologique ou d’une simple décomposition analytique d’un concept de « mathématiques » que le philosophe se donne d’avance, il est en tout cas certain que le niveau de granularité du dispositif de Husserl se situe encore à un niveau de généralité conceptuelle considérable. Les auteurs sont des figures prototypiques, des symboles ou des prête-noms, et les mathématiques, des contenus presque anonymisés dans leur disponibilité postulée. La textualité mathématique n’a légitimement aucune place dans un processus analytique de cette sorte qui ne vise pas à corriger une conception des origines de la géométrie à partir d’analyses de cas précis de procédures de calcul babyloniennes ou de démonstrations géométriques grecques. Le concept de géométrie ne fait pas l’objet d’une révision imposée par le travail d’archive ou l’archéologie, il fait l’objet d’une archéologie conceptuelle qui, à partir d’un sens initialement donné, procède à l’exhumation analytique d’une archi-évidence censée être accessible en droit au terme du processus.
10Remarquons également que les développements consacrés à l’articulation des mathématiques avec le langage ne changent pas fondamentalement cette mise à distance du texte mathématique. Il est certain que la méditation de Husserl accorde à la dimension linguistique des mathématiques une reconnaissance considérable, puisque c’est le langage reconnu comme la « chair linguistique » de l’objectivité idéale [Husserl 1954, 181] qui explique que l’on puisse passer d’une évidence subjective intra-psychique à la forme d’objectivité qui caractérise les idéalités mathématiques. Les analyses de Husserl mènent à la reconnaissance du langage comme support, pôle consignateur du clignotement de l’évidence intra-psychique. Cependant, il s’agit là encore non de tel ou tel texte, mais du langage en général, comme notion ou comme concept dont Husserl veut montrer qu’il sert de piste d’envol pour l’idéalité. Autrement dit, lorsque Husserl se penche sur la dimension linguistique des mathématiques, il descend au plus bas non jusqu’à des textes, mais jusqu’à une « dimension linguistique » qui reste une strate du conceptuel. La textualité est projetée en-deçà de ce concept de « chair linguistique » comme la référence floue à ce dont le philosophe parle – ou comme le dit Husserl dans son propre idiome, ce qui de l’individuel « est saisissable par subsomption » [Husserl 1954, 176].
11Cette posture est parfaitement assumée par le philosophe. Suivant son mot d’ordre d’un retour aux choses mêmes [auf die “Sachen selbst” zurückgehen] [1900-1901, 6], Husserl donne pour tâche à la phénoménologie de refonder la science sur la seule base de l’évidence, afin de lui donner des « fondements absolus » [Husserl 1950, 7]. Ainsi, l’étude d’éléments « philologico-historiques » exposerait à s’éloigner de celle, cardinale, de l’intuition donatrice originaire, « source de droits pour la connaissance » [Husserl 1913, 78]. Pour une telle démarche, le recours aux textes s’avère non seulement inutile, mais constitue plus fondamentalement une distraction et une fausse voie, qui consisterait à se perdre dans les foisonnements des détails factuels au détriment d’une recherche essentielle.
12Par cette posture, Husserl se donne d’emblée l’autorisation de ne considérer les faits que comme la projection lointaine, vague, sans autorité, vers laquelle son dispositif conceptuel pointe comme référence – mais une référence soustraite à la scène philosophique. Ce qui rend particulièrement vulnérable une telle posture, c’est évidemment qu’en se passant de la régulation par les faits historiques, elle se montre particulièrement fragile lorsqu’on lui oppose ceux-ci.
13Ainsi, L’Origine de la géométrie semble à la fois le lieu d’une reconnaissance salutaire de l’ancrage linguistique des idéalités mathématiques, mais aussi d’un escamotage complet de la textualité mathématique de la scène philosophique pour la projeter vers le hors-champ sans autorité de ce qui est subsumable sous la généralité des concepts examinés. Cette tension gênante ouvre sans doute une brèche, à laquelle il est possible de rapporter certaines préoccupations problématiques des successeurs de Husserl : que faire de cet écart entre sens des idéalités et incarnation dans des textes ?
14Passons maintenant à Cavaillès, dont le nom est, pour les mathématiques, le véritable emblème de l’épistémologie historique française. Il faut préciser d’abord que Cavaillès n’avait pas connaissance de L’Origine de la géométrie, mais seulement du texte allemand de la Krisis, qu’il s’est procuré au moment de l’élaboration de Sur la logique et la théorie de la science.
15Partons de l’aspect qui est le plus proche de la base textuelle, celui des sources de Cavaillès. Il est notable que ses réflexions ne se donnent pas « les mathématiques » comme objet général disponible pour l’investigation, mais que Cavaillès construit son « objet » par des délimitations de corpus très fortes et par l’accumulation d’une documentation impressionnante pour l’époque, et qualitativement très hétérogène (puisqu’elle implique des traités, des articles, des lettres publiées et des lettres inédites). C’est à partir des textes, en les animant de l’intérieur, en scénographiant conceptuellement les dynamiques de blocages, de décrochages dont ils sont le théâtre, que Cavaillès espère satisfaire l’espoir un peu fou, qu’il confie dans une lettre de jeunesse, de surprendre les « mécanismes des créations mathématiques » [Ferrières 1950, 78].
16Commençons par observer d’un peu plus près les modalités d’animation des textes mathématiques dans les thèses de Cavaillès, sans prétendre à un inventaire exhaustif.
17Au niveau le plus convenu, Cavaillès peut procéder à l’extraction de raisonnements, en restituant le parcours de preuve d’un texte historique et en le situant préalablement au sein d’une problématique qui le dépasse. L’énonciateur, distancié, est informé des œuvres et des liaisons problématiques et les fait se répondre si nécessaire. Ce faisant, il révèle les innervations problématiques qui lui semblent orienter la marche du texte mathématique. À titre d’exemple :
Or, la première contradiction – et la source des autres puisqu’aucun critère de vérité ne subsiste – est de raisonner dans le vide. « Je ne comprends pas, s’écrie Borel, le point de vue des analystes qui croient pouvoir raisonner sur un individu déterminé mais non défini ; il y a là une contradiction dans les termes sur laquelle j’ai plusieurs fois insisté » [...]. Mais qu’entend-on par définition d’un individu ? Ici intervient la notion d’intuition opposée au discours, caractéristique du système de Borel. Il rejette toutes « les mathématiques verbales » ou « constructions logiques [...] dans lesquelles on jongle avec des symboles auxquels ne correspond aucune intuition ». [Cavaillès 1938a, 15]
18Cavaillès se livre également au commentaire conceptuel, modalité d’animation focalisée sur les grands problèmes, les enjeux, les démarches et les grandes options, dont le maillage est régulièrement pourvu d’un ancrage textuel. L’énonciateur se place à un point de vue de spectateur informé à la fois des œuvres et des liaisons problématiques qui les unissent et font qu’elles se répondent les unes aux autres ; il produit un parcours dans le paysage mathématique qui montre au spectateur une dramatique résolutoire qui lui donne sens. Un exemple typique se trouve au début de sa thèse principale :
Avec les paradoxes découverts entre 1890 et 1904, c’est au contraire à un danger menaçant la technique qu’il faut parer : la théorie des ensembles, née du tronc commun avec la même nécessité naturelle que les autres théories, n’utilisait pour son développement que les instruments normaux des mathématiques classiques. Inversement ses résultats se révélaient chaque jour plus précieux en analyse et dans les domaines voisins. Pouvait-on rompre cette double solidarité, isoler des régions incertaines une sorte de zone centrale où les robustes méthodes traditionnelles conservent une évidence concrète incontestable ? La tentative était aussi difficile à réaliser techniquement que peu satisfaisante pour l’esprit. [Cavaillès 1938a, 13–14]
19On trouve également chez lui le compte rendu dialectique : Cavaillès se saisit de certains moments clés dont les éléments sont amenés sur la scène à dessein, afin d’accentuer un mouvement dialectique à l’œuvre dans les mathématiques. L’énonciation, là encore distanciée, est celle d’un spectateur informé des « mécanismes des créations mathématiques », capable de produire les règles normatives qui appellent les transformations des contenus. Il peut même arriver que Cavaillès personnifie des concepts, des théories ou des mouvements dialectiques. Par exemple : « Ainsi c’est bien la théorie des ensembles naissante qui dicte à Cantor cette transformation de la définition de Weierstrass » [Cavaillès 1938b, 241–242, nous soulignons]. Quoique « dicte » renvoie à une nécessité de niveau dialectique, elle correspond aussi sémiotiquement à une agentivation des concepts impliqués.
20Cavaillès pratique également le décantage du nécessaire par contraste de vues contingentes : il restitue les positions des acteurs en chair et en os sur certains problèmes, non pas pour documenter la pratique des mathématiciens, mais pour dégager de leurs oppositions quelque chose de la nécessité qui est à l’œuvre. Cavaillès – c’est une des thèses majeures de la philosophie du concept – ne crédite pas le mathématicien individuel d’une quelconque causalité dans le développement des mathématiques. Il n’hésite pourtant pas à citer leurs déclarations, voire à les faire se répondre par citations interposées. À quoi peuvent donc servir ces citations qui n’informent pas directement d’un palier de progression ? C’est qu’elles permettent justement de mettre en lumière un écart entre les accumulations textuelles historiques et les « progrès de conscience », comme évoqué dans les dernières lignes de Sur la logique et la théorie de la science [Cavaillès 1947, 560]. Les redites, les fausses pistes, les erreurs d’interprétation, les fourvoiements programmatiques, les approximations méthodiques révèlent à chaque fois, dans le contraste de ce qui est compris et de ce qui ne l’est pas, quelque chose du stade développemental nécessaire de la théorie en cours de construction – et surtout, révèlent l’écart entre les progrès mathématiques (corrélés à la structure du problème) et l’image que les mathématiciens se font de ces progrès, et des suites à donner. Décalage donc, entre développement des concepts et appréciation de la conscience mathématicienne psychologique.
Souslin et Lusin crurent pouvoir s’en passer ; en réalité la définition négative à laquelle ils parvinrent était rigoureusement équivalente à une définition positive où figure la classe II. [...] Ainsi, il est impossible d’arrêter la marche en avant de l’analyse classique quelque restreint qu’ait été le point de départ, si l’on ne prend pas soin de définir de nouvelles méthodes. Après les amputations dont il avait montré la nécessité, Borel s’est borné à de brèves indications pour une reconstruction positive. Les procédés naïfs de l’analyse classique s’opposent directement aux exigences empiristes. [Cavaillès 1938a, 21]
On voit la distance par rapport aux affirmations purement existentielles de Zermelo ou de Cantor : il est impossible de trouver satisfaisante la démonstration par exemple que la classe II a une puissance inférieure ou égale à celle du continu [...]. [Cavaillès 1938a, 23]
21Enfin, le marquage et l’étalonnage des progrès dans la production textuelle historique : démarche assez semblable à la précédente, mais qui se fonde sur les productions mathématiques elles-mêmes. Cavaillès se livre à un examen technique des textes mathématiques pour effectuer le partage entre ce qui progresse et ce qui ne progresse pas, pour effectuer un départ entre l’accumulation historique des textes et la progression conceptuelle, l’objectif étant d’extraire des jalons de progression dans la matière des textes. Cette méthode est particulièrement visible dans la thèse complémentaire, notamment dans l’analyse de la « préhistoire » de la théorie des ensembles :
Il est assez remarquable qu’en 1876 Lipschitz – qui devait d’ailleurs adopter en 1877 une définition voisine pour son traité d’analyse, le « premier rigoureux » au dire de Pasch – refuse encore toute originalité à la théorie de Dedekind dans Stetigkeit und irrationalen Zahlen. [Cavaillès 1938b, 233]
En réalité, le processus d’abstraction nécessaire se heurtait à la représentation traditionnelle des deux actes générateurs des objets mathématiques : compter et mesurer. [Cavaillès 1938b, 233]
Les trois méthodes de Dedekind-Tannery de Weierstrass et de Heine-Cantor ne se distinguent guère que par la présentation. [Cavaillès 1938b, 234]
22Que peut-on apprendre d’un tel inventaire ? Tout d’abord, que le projet même de Cavaillès ne peut se passer d’un ancrage dans la textualité historique, puisque son projet d’une méthode réflexive implique de se tenir à distance aussi bien de la généralité hors sol d’une analyse générale – du type de celle menée par Husserl dans L’Origine de la géométrie – que d’une histoire antiquaire des écrits mathématiques qui se tiendrait en permanence à hauteur de document. La voie choisie consiste à coller aux textes dans la mesure où peuvent se révéler en eux les prolongements et décrochages déterminants du plan mobile des concept. En ce sens, les textes sont toujours mobilisés par Cavaillès dans la mesure où leur réalité historique est en même temps le marqueur d’un progrès ou d’un blocage dynamique dans le développement mathématique – ils sont les minutes de la dialectique conceptuelle, non de simples positivités textuelles.
- 3 Nous avons tenté ailleurs de proposer une analyse plus approfondie de ces positions (...)
23Cet inventaire peut-il être doté d’une structure ? Y a-t-il des raisons pour lesquelles Cavaillès mobilise ces différentes pratiques du texte ? Il nous semble que ces pratiques peuvent être échelonnées par degrés s’élevant de la factualité textuelle vers la généralité conceptuelle, et que chacune correspond à un palier relativement stable de partage entre le textuel et le conceptuel. Ces paliers peuvent, semble-t-il, être mis en correspondance avec des positions d’énonciateur inscrit (du point de vu sémiologique), qui font alterner dans le texte cavaillésien différentes voix animant le rapport aux textes : le mathématicien au travail, l’analyste des propriétés techniques, le commentateur historique, et enfin le philosophe3.
24Qu’en résulte-t-il pour le statut du texte chez Cavaillès ? Qu’il faut distinguer plusieurs niveaux de régulation affectant les contenus de l’analyse. La textualité historique possède bien chez lui un rôle régulateur : elle permet à la fois à la méthode réflexive de dégager les développements conceptuels et des patrons dialectiques comme la paradigmation ou la thématisation. Mais elle interdit aussi au philosophe de fantasmer des lois de développement des mathématiques qui ne correspondraient pas assez ou pas du tout à leurs modalités historiques de développement.
25Cependant, chez Cavaillès, la textualité n’est pas le principe régulateur fondamental de l’analyse, ce n’est pas elle le critère qui permet de déterminer prioritairement le sens des progrès mathématiques : ce qui est constamment visible dans ses analyses, c’est que la textualité, avec ses distributions chronologiques, est subordonnée à la conceptualité, avec ses distributions structurales ou dialectiques. Le véritable élément régulateur de la démarche de Cavaillès, c’est le conceptuel et son principe de lecture rétrospectif selon lequel « l’après explique l’avant » [Cavaillès 1938b, 226]. C’est armé de la connaissance de la théorie entièrement développée que la méthode réflexive peut plonger dans les textes antérieurs et y dégager des obstructions, des progrès, des éléments épars de concepts, des anticipations de méthodes. Autrement dit : contrairement aux apparences, le textuel n’est pas premier dans la démarche méthodique de Cavaillès, c’est le concept qui l’est et qui commande les usages du textuel.
26Quelques précisions s’imposent.
27La pratique de Cavaillès se situant dans l’après envisage le sens du passé comme pré-structuration et pré-figuration du sens présent. Il serait évidemment absurde de reprocher à Cavaillès d’avoir soudé le projet d’une logique du devenir conceptuel à une lecture rétrospective qui vise à extraire des schèmes généraux d’enchaînement de l’histoire empirique et qui en est la condition nécessaire. On peut seulement remarquer qu’en l’occurrence, tout ce qui est érigé en norme du mouvement dialectique (pour constituer les règles d’une dialectique du concept) est doublement tributaire des faits et des constitutions de théories effectives. Cette logique n’envisage pas la totalité des possibilités d’enchaînement des concepts, mais seulement la portion qui en est détachable sur la base de l’effectivement survenu. Pour le dire autrement, il n’y a pas de garantie qu’une telle dialectique soit autre chose qu’une généralisation partielle de schèmes avérés dans l’histoire des mathématiques – voire une certaine histoire des mathématiques –, et qu’elle manque par là systématiquement des embranchements dialectiques possibles, parce qu’elle est méthodiquement orientée vers le raccord à opérer entre théorie balbutiante et théorie achevée. Dans ce cas-là, le registre du droit est circonscrit d’avance et possiblement amputé par le fait. Le droit devient une projection du fait, avec le risque de laisser de côté tout ce qui, du virtuel, n’est pas devenu effectif dans l’histoire. Cavaillès retrouve alors face à lui ce qui faisait le nerf même de sa critique de la phénoménologie, à savoir qu’on ne peut pas ériger l’impossibilité de pensée contingente en norme nécessaire servant à fonder [Cavaillès 1947, 559]. C’est peut-être ce qui explique sa grande prudence lors de sa séance conjointe avec Lautman à la Société française de philosophie (14 février 1939) : généraliser des procédés dialectiques, c’est peut-être leur extorquer un pouvoir normatif et une puissance d’anticipation de l’expérience future qu’ils ne peuvent pas avoir en vertu même de la façon dont on les a dérivés des faits historiques.
- 4 L’image n’est pas de Merker, mais s’inscrit dans le même esprit.
- 5 « L’irréversible-synthétique » est l’expression utilisée par Joël Merker [2012, 138]. Un ex (...)
28Ensuite – et dans la même ligne de critique –, il faut donner raison à Joël Merker qui diagnostiquait chez Cavaillès la permanence d’un « magnétisme de l’a posteriori » [Merker 2012, 38], soit l’idée que la connaissance du résultat historique que prendra une résolution de problème vient produire une illusion téléologique dans l’interprétation des étapes de la résolution. En lisant les textes mathématiques du passé à la lumière de la théorie pleinement constituée à la construction de laquelle ils participent, on se livre à une sorte de partie d’échecs à rebours : la position finale étant donnée, il s’agit de reconstituer le procès-verbal des coups qui doivent avoir nécessairement mené à cette position finale4. Une partie d’échecs à rebours n’est possible que lorsque, à chaque coup, le mouvement des pièces est contraint de telle sorte que chaque coup peut être déduit, donc qu’un coup est le seul possible. Cette permanence d’une nécessité dans l’enchaînement des coups est un réquisit absolu, sans lequel l’exercice intellectuel n’a pas de sens. Or, qu’est-ce que se livrer à une lecture rétrospective à la manière de Cavaillès, sinon postuler implicitement qu’une telle contrainte nécessaire pèse sur chaque coup jouable sur l’échiquier du devenir mathématique ? Pourtant, il existe une différence très nette entre le coup expert joué par un excellent joueur et un coup qu’il serait nécessaire de jouer. Les mathématiques ne semblent-elles pas soumises au même régime dans les « coups successifs » que jouent les mathématiciens ? En ce sens, toute la virtualité que comporte chaque nœud du développement des théories mathématiques risque de se trouver systématiquement réduite à une seule ligne de devenir présentée comme nécessaire, alors qu’elle est seulement effective, avérée mais non absolument contrainte. On peut oser l’hypothèse que les travaux historiographiques s’intéressant à des figures mineures ou oubliées de l’histoire des mathématiques peut libérer du magnétisme de l’a posteriori en redonnant une épaisseur à cette virtualité qui précède « l’irréversible-synthétique5 ».
29Sur le plan de la lisibilité des œuvres mathématiques, il faut convenir qu’aborder les textes en leur pré-assignant une signification dans la généalogie de textes ultérieurs est une manière de restreindre la lecture. L’attention énorme que Cavaillès accorde aux documents est pilotée par l’intention de reconstituer la trame conceptuelle qui les dépasse et dont ils sont des jalons. La contingence textuelle est mobilisée dans une entreprise de révélation des nécessités, et ce qui ne sert pas positivement, ou par contraste négatif, avec une telle révélation n’a pas d’usage chez Cavaillès.
30Enfin, il est possible de se demander dans quelle mesure ces limites de la rétrospection imprègnent d’autres concepts centraux de la philosophie de Cavaillès. Cette thèse est-elle indépendante, ou fait-elle tomber avec elles d’autres parties de l’édifice ? Il semble que la question se pose particulièrement pour la manière dont la théorie du signe de Cavaillès s’articule à sa conception du geste mathématique. En effet, Cavaillès affirme à plusieurs reprises que l’intelligibilité du devenir implique de passer de l’exposition à la compréhension continuatrice :
[...] ces procédés s’enchaînent dans un complexe organique : c’est un état d’esprit qui constitue la base secrète d’où ils jaillissent avec une apparente imprévisibilité, à quoi il faut revenir si l’on veut vraiment comprendre et non plus exposer mais continuer. [Cavaillès 1938b, 225]
[...] comprendre est en attraper le geste et pouvoir le continuer. [Cavaillès 1938a, 186]
31Posséder l’intelligibilité d’un texte mathématique, c’est posséder une capacité de circulation opératoire attachée à un geste qui possède sa trajectoire dynamique. La compréhension mathématique est ambulatoire, et la compréhension épistémologique également. Comprendre mathématiquement, c’est reparcourir une suite de gestes réalisés dans un espace combinatoire de gestes. Comprendre épistémologiquement, c’est parvenir à opérer entre des textes mathématiques la jonction entre les gestes, tenir la ligne par laquelle « l’imprévisible déviation d’un geste procure à la fois les nouveautés et maintient des liaisons » [Cavaillès 1938b, 382]. Pour Cavaillès, c’est la pensée, la combinatoire des gestes, qui opère la suture entre différentes unités textuelles. Lorsque dans un texte, un nouveau développement « attrape » le geste suspendu dans un texte précédent, il y a intelligibilité et devenir conceptuel – la soudure entre eux est gestuelle, non textuelle.
32En conclusion, si la textualité mathématique n’est plus, chez Cavaillès, absente de la scène philosophique, comme chez Husserl, mais bien présente dans les analyses, elle occupe tout de même une place subalterne. Les textes ne sont pas l’élément premier, mais sont projetés comme premiers par une conceptualité qui en règle la lisibilité et fixe les modes de circulation en leur sein.
33Desanti hérite, comme sur bien d’autres points, du problème du rapport aux textes soulevé chez Husserl et Cavaillès. Pour le problème qui nous occupe, il est possible de lire Les Idéalités mathématiques comme une tentative d’éviter aussi bien la posture husserlienne de fondation d’une science que la reconstruction rétrospective de la théorie des ensembles par Cavaillès.
34Axiome premier du point de vue méthodologique : « Il n’y a d’épistémologie des mathématiques possible qu’installée dans la mathématique elle-même » [Desanti 1968, 286]. Pour Desanti, cette installation dans la mathématique elle-même ne signifie ni la rapporter à des évidences intuitives qui la fonderaient, ni suivre les sinuosités de ses développements dialectiques. Au contraire, après l’enquête cavaillésienne et sa solide documentation, la modestie des matériaux desantiens pourrait faire croire à un retour à la démarche phénoménologique. Aux pages 15 à 19, il se livre, il est vrai, à la constitution d’un « profil de la théorie » des fonctions de variables réelles, dont la facture, jusqu’aux modalités d’énonciation, ressemble fort à ce que proposait Cavaillès. Mais cette documentation n’a qu’un rôle méthodologique préliminaire, et presque accessoire, puisque les « indications programmatiques » qui lui succèdent dévoilent le véritable modus operandi idéal esquissé par Desanti : prendre un traité d’analyse singulier comme point d’entrée dans une théorie dans laquelle on souhaite s’installer. On peut synthétiser le processus comme suit :
- Prendre une vue superficielle de la théorie à un moment donné à travers la considération de concepts fondamentaux qui font signe vers un ordre plus profond.
- Distinguer les structures-mères auxquelles renvoient ces connexions de concepts, et qui constituent la structure du domaine.
- Étudier les « points critiques » (champ d’intersection de domaines opératoires différents) dans lesquels les champs opératoires résistent à leur investissement par les structures-mères. Observer la dissociation des domaines d’objets qu’une telle résistance induit.
- Suivre l’effet centrifuge des champs opératoires dissociés, pister les schèmes constructeurs qui s’enchaînent dans l’horizon ouvert de la théorie.
35Ce qui règle cette procédure, c’est l’ambition d’« apprendre à lire les moments de production » de « l’unité des systèmes de concepts et d’opérations qui constituent à un moment le tissu d’une théorie mathématique » [Desanti 1968, 22], et ce faisant, d’observer selon quelles modalités l’unité d’une théorie est sans cesse produite et remise en jeu par la reconfiguration en elle de l’explicite et de l’implicite.
36Le point de départ textuel doit être calibré sur la base de ce programme :
Nous partirons arbitrairement d’un certain présent de la théorie, un moment de maturité où elle s’offre, dans l’unité de ses principes et la stricte rigueur de ses méthodes – mais un présent déjà assez loin pour que nous puissions voir naître de lui les problèmes dont l’examen devait exiger encore un effort de raffinement et de généralisation. [Desanti 1968, 10]
37Pour ce faire, Desanti s’appuie donc sur un unique traité, The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier’s Series de Hobson, datant de 1926-1927. La raison de ce choix nous est explicitement donnée :
il ouvre un champ plus vaste que les traités précédents ; il contient et systématise les résultats de tout le mouvement qui, de Cantor à Denjoy, a contribué à la formation de la théorie. Il nous offrira ainsi la totalité organique qu’il faut soumettre à l’analyse. [Desanti 1968, 10–11]
38Examinons ce qu’implique ce choix méthodologique.
39Il est remarquable que, par contraste avec la documentation historique de Cavaillès, l’unicité du traité pris comme support implique une enquête qui ne s’effectue pas dans le matériau empirique de l’histoire et des textes sources, mais dans l’état de la théorie stabilisé par un traité qui en fournit un compte rendu panoramique. Ainsi, l’objet de l’élucidation n’est pas une trame qui court derrière l’éparpillement des textes et des traités, mais un certain mode d’être de la théorie qui se trouve d’une certaine manière capturé par un traité suffisamment complet. Pari extrêmement audacieux : celui que l’état d’une théorie, fixé comme un instantané par un traité qui en fournit les concepts et les opérations, donne non seulement accès à la théorie elle-même dans un état d’intégrité satisfaisant, mais comprend également dans son champ tout un univers de structurations et de circulations dynamiques qu’il est possible de retrouver en s’installant dans la théorie. On retrouve aussi bien le rapport intime, cavaillésien, au texte mathématique que la recherche de stabilisation/sédimentation du sens des idéalités venant de Husserl. Le texte est considéré comme un point d’entrée incontournable, mais comme un point d’entrée vers une structuration théorique du sens qui n’a pas à extorquer le détail de ses péripéties à un matériau « philologico-historique », pour reprendre les termes husserliens. Desanti précise ainsi que
l’histoire empirique (la succession chronologique des découvertes consignées dans les mémoires et les traités) sera ici le matériau brut de nos réflexions). C’est dire que notre objet ne sera pas d’aborder l’historiographie, même partielle, de la théorie des fonctions. [Desanti 1968, 7]
40Son épistémologie reste ainsi une épistémologie du concept, qui a pour but de « remettre en chantier [la théorie] pour son propre compte en vue de porter à la lumière le mouvement de constitution et le mode d’enchaînement de concepts spécifiques » [1968, 7].
41Ensuite, le texte examiné n’est pas considéré comme livrant la théorie à la façon d’un objet achevé. Tout point d’entrée est situé, possède des coordonnées spatio-temporelles qui constituent un horizon historique. Le regard de l’épistémologue n’est pas surplombant, mais immergé lui-même dans la trame historique. Desanti souligne qu’étant historiquement situé, celui qui étudie une théorie mathématique n’est pas en mesure d’avoir accès à une « loi d’essence » de cette théorie qui servirait de référence pour situer comparativement des moments de constitution. Se croire en possession d’une telle loi d’essence, ce serait méconnaître l’écart historique qui nous sépare des théories. « Notre droit est celui du premier regard, notre servitude est celle qui incombe au dernier arrivé » [Desanti 1968, 8]. L’épistémologue a le droit de remettre en chantier les textes philosophiques en reparcourant réflexivement les preuves, en refaisant le trajet pour son propre compte. Mais ce faisant, il ne peut faire abstraction du fait qu’il aborde cette mise en chantier à partir de son présent, de ses connaissances mathématiques et historiques, d’une structuration particulière de son champ réflexif qui n’est pas celle du texte étudié. À la « mise en chantier » d’un texte historique est corrélatif un démantèlement des structurations présentes du champ réflexif.
Dans la réalisation de cette tâche, il doit défaire son propre horizon, voir s’ouvrir la totalité qui l’annonce, accepter de se laisser guider par l’exigence qui vit, chaque fois, au sein des moments dissociés. Briser la figure présente de la raison, défaire le perpétuel aujourd’hui de l’Esprit. [Desanti 1968, 9]
42En ce sens, l’entreprise de Desanti est exactement opposée à celle de Cavaillès, puisque cette domination de la science déjà faite était précisément ce qui, chez Cavaillès, assurait la lisibilité des progrès conceptuels dans le matériau-texte.
43Enfin, ce que nous offre le texte n’est pas le procès-verbal de la constitution dialectique d’une théorie, mais une certaine totalité organique possédant virtuellement, sous la surface des concepts et opérations consignés dans le traité, une dynamique intrinsèque de stabilisation dans ses reconfigurations successives. Si le choix du point d’entrée importe, c’est qu’il n’est pas possible de considérer n’importe quel traité comme propre à faire accéder à une coupe transversale du devenir de la théorie mathématique. Le criterium d’un degré suffisant de maturité de la théorie implique qu’il faut que les développements conceptuels garantissent un accès à un matériel qui soit quantitativement et qualitativement capable de supporter la mise en chantier du champ réflexif. On le voit, il n’est pas certain que nous soyons par là complètement quittes du « magnétisme de l’a posteriori ». Certes, la rétrospection n’est plus érigée en principe de lecture général, mais n’est-elle pas malgré tout impliquée dans cette exigence de maturation ? N’est-ce pas dire que ce qui était assumé par Cavaillès comme un choix méthodologique est externalisé dans une croyance méthodologique en une sédimentation de la théorie elle-même ? Desanti se donne pour tâche de reparcourir l’élaboration du savoir, de la remettre en chantier pour son propre compte, mais reconnaît que les parcours de preuve, les liens conceptuels, les particularités des choix d’exposition incorporent d’avance une reprise récurrente du traité mathématique par rapport aux matériaux qu’il met en forme. Chez Cavaillès, l’épistémologue produit ce regard rétrospectif, embrasse la reprise récurrente des contenus propre aux mathématiques ; chez Desanti, le choix du point d’entrée « à maturité » implique que cette récurrence a déjà préalablement opéré ; que ce qui est donné est d’ores et déjà une reprise récurrente. Cela invalide-t-il la posture de Desanti ? Sans doute pas, mais cela produit une sorte de décalage interne à même le texte. Ce qu’on observe à travers ce processus n’est pas – la différence est subtile – un instantané de la vie de la théorie, mais le déploiement interne d’une certaine reprise récurrente qui est à l’œuvre dans le traité. Tout ce qui bouge dans la mise en chantier est réglé d’avance par la totalisation récurrente que produit l’ouvrage, dans laquelle se conserve quelque chose de la polarité entre étapes de constitution et théorie achevée de Cavaillès. Ces considérations suscitent à des questions que nous laisserons ouvertes :
- La textualité mathématique rend-elle inévitable la rencontre de telles polarisations récurrentes ?
- L’écart entre Cavaillès et Desanti dans le rapport au matériau textuel devrait-il nous encourager à distinguer plusieurs régimes distincts de récurrence mathématique, l’un produit par l’historien des développements initiaux, un autre par l’auteur d’un manuel et un troisième enfin par le philosophe qui s’installe dans une théorie ?
44En conclusion, les travaux de Cavaillès et Desanti constituent deux manières problématiques différentes de se positionner comme philosophe des mathématiques par rapport à un matériau-texte historique, en refusant la mise à distance du texte qui était opérée par la démarche husserlienne. Qu’il s’agisse d’animer rétrospectivement ces textes comme le fait Cavaillès, en mettant en œuvre une méthodologie rétrospective qui produit immanquablement une liaison nécessaire entre les avancées du devenir mathématique, ou qu’il s’agisse de l’observation du mouvement interne structurant une théorie qu’il est difficile de distinguer du mouvement de récurrence propre au type de texte qu’est le manuel de mathématiques chez Desanti, à chaque fois, l’écart entre la textualité mathématique et sa mise en ordre par le travail conceptuel du philosophe reste non seulement présent, mais non complètement clarifié méthodologiquement.
45Constater ces écarts, mesurer à quel point le mouvement authentique des mathématiques n’est peut-être jamais autre chose qu’un écran de plus derrière les autres écrans, n’invite en rien à invalider ces efforts philosophiques, mais ouvre au contraire sur la tâche d’une investigation critique du lien par lequel une pratique de philosophie des mathématiques conditionne à chaque fois, de façon spécifique, des rapports aux textes et une visibilité déterminée du devenir mathématique. Car non seulement ce problème est constitutivement lié à la pratique de la philosophie des mathématiques elle-même, comme investigation conceptuelle ayant besoin d’un accès à son objet, mais encore est-il fréquemment source de frictions entre philosophes et historiens des mathématiques qui, dans leurs échanges interdisciplinaires, peuvent faire l’expérience de méthodes et de normes de travail qui semblent s’exclure sur ce point précis du rôle régulateur central des textes dans la démarche d’enquête. Sur ce point, il nous semble qu’envisager la philosophie des mathématiques avant tout comme une pratique permettrait d’atténuer ce conflit disciplinaire sur les points suivants :
- Les analyses précédentes nous semblent pointer vers le fait que le choix d’un type d’accès textuel aux mathématiques effectué par le philosophe conduit à accéder à une facette différente des mathématiques. D’une part, parce que ce choix produit un filtre à travers lequel certains aspects de l’expérience mathématique seront visibilisés ou invisibilisés ; d’autre part, parce que ce choix d’accès projette du côté de l’objet certaines caractéristiques qui tendront naturellement à orienter les analyses du philosophe ou à lui présenter certaines propriétés comme plus significatives. Ainsi, tout choix de positionnement conceptuel par rapport au textuel semble impliquer une déformation, un biais.
- Le philosophe des mathématiques ne devrait-il pas assumer ces inévitables filtrages et projections, en tâchant de clarifier au mieux la manière dont son choix de positionnement par rapport aux textes a pu induire une certaine configuration de son objet d’analyse ?
- Enfin, les divers positionnements que le philosophe est susceptible de prendre vis-à-vis des textes mathématiques ne pourraient-ils pas faire l’objet non seulement d’un inventaire, mais encore d’une étude des paramétrages de l’accès aux mathématiques, détaillant ce que chaque positionnement permet et interdit, favorise ou contrarie ?
46Ces quelques suggestions seraient un moyen de se saisir philosophiquement d’une difficulté bien réelle de la pratique du philosophe des mathématiques et d’en faire un objet de clarification et de réflexion méthodique plutôt qu’une objection à la philosophie des mathématiques en tant que telle.