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Dossier thématique

Qu’est-ce qu’un théorème (en pratique) ?

Le rôle de la métamathématique dans l’élaboration des mathématiques
What is a theorem (in practice)? The role of metamathematics in the making of mathematics
¿Qué es un teorema (en la práctica)? El papel de las metamatemáticas en la elaboración de las matemáticas
Sylvain Lavau

Résumés

Cet article défend les avantages d’une perspective sociologique en philosophie de la pratique mathématique. En s’appuyant sur la littérature en sociologie des sciences, il propose une approche de la pratique mathématique qui s’appuie sur la notion de communauté mathématique, et évalue le rôle de la notion de métamathématique dans le changement mathématique et dans les pratiques mathématiques stabilisées. Il s’appuie sur une étude de cas : l’émergence de la théorie du contrôle géométrique au début des années 1970 et les pratiques citationnelles associées à la communauté de la théorie du contrôle depuis le milieu des années 1990. Cette étude de cas montre que l’introduction d’outils géométriques dans la théorie du contrôle à la fin des années 1960 a induit un changement dans les vues métamathématiques que les théoricien·nes du contrôle avaient sur leurs objets. Je démontre ensuite comment l’appartenance à la communauté de la théorie du contrôle façonne la production et la réception des théorèmes de Štefan, Sussmann et Nagano. Interprétant le développement historique et les pratiques citationnelles de cette communauté à travers la perspective de la métamathématique, je conclus en discutant le rôle du théorème des orbites en théorie du contrôle, à la fois comme une étiquette désignant un certain contenu cognitif, et comme marqueur social d’appartenance à cette communauté.

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Texte intégral

À Robert Hermann (1931-2020)

1A partir de la seconde moitié du XXe siècle, certain·es philosophes des mathématiques ont plaidé pour une approche de leur discipline plus orientée vers la pratique, et ont développé ce qu’on appelle aujourd’hui la philosophie de la pratique mathématique. Ce mouvement intellectuel défend l’idée que restreindre la philosophie des mathématiques à son approche fondationnaliste et logiciste non seulement caricature la production de la connaissance mathématique, mais passe également à côté de plusieurs questions philosophiques importantes, qui gagneraient à être étudiées à travers l’étude de la praxis. Une figure importante de cette école, le philosophe Paolo Mancosu, écrit à la fin des années 2000 :

L’attention portée à la pratique mathématique est une condition nécessaire au renouveau de la philosophie des mathématiques. Nous ne nous contentons pas de proposer de nouveaux sujets de recherche, mais nous affirmons également que ces sujets ne peuvent pas être abordés efficacement si nous n’élargissons pas l’éventail des pratiques mathématiques que l’on doit examiner lorsqu’on s’engage dans ce type de travail philosophique. Certains problèmes philosophiques ne deviennent saillants que lorsque le domaine des mathématiques adéquat est pris en considération. (Mancosu, 2008, p. 2)

2Bien que la position épistémique qui considère que la pratique mathématique doit être prise en compte dans la réflexion philosophique a émergé dès le milieu du XXe siècle, il a fallu attendre les vingt dernières années pour que les travaux publiés sur ce sujet se multiplient. Depuis, le nombre impressionnant d’articles, de monographies, de conférences et d’ouvrages collectifs, ainsi que la création de l’Association for the Philosophy of Mathematical Practice en 2009, ont affirmé la position de la philosophie de la pratique mathématique comme un sous-domaine légitime de la philosophie des mathématiques (voir (Carter, 2019 ; Hamami & Morris, 2020) pour des introductions détaillées à ce sujet).

3Cependant, même si les philosophes de la pratique mathématique défendent une approche philosophique dialoguant avec d’autres disciplines, l’intégration de contenus sociologiques a été plutôt rare. Cela peut éventuellement s’expliquer par l’état embryonnaire de la sociologie des mathématiques, à l’exception des travaux pionniers des sociologues David Bloor (1973, 1976) et Sal Restivo (1988), et de quelques contributions récentes mais encore éparses (MacKenzie, 1999 ; Heintz, 2000 ; Rosental, 2008 ; Zarca, 2012). Ce manque de reconnaissance de la sociologie semble être en partie dû aux approches cognitives qui prévalent chez les philosophes des mathématiques. En effet, au cours des vingt dernières années, plusieurs publications ont abordé la relation entre les sciences cognitives et la connaissance mathématique (Netz, 1999 ; Lakoff & Nuñez, 2001 ; Leng et al., 2007 ; Pease et al., 2013 ; Bangu, 2018). Cette tendance est aussi visible en philosophie de la pratique mathématique, où une récente monographie adopte une approche cognitive et centrée sur les agents (Ferreirós, 2016). En comparaison, on a beaucoup moins cherché à intégrer des approches sociologiques à la philosophie de la pratique mathématique, même dans les cas où cela pouvait sembler légitime.

4Cet article illustre comment la philosophie de la pratique mathématique peut bénéficier d’une perspective sociologique. Par exemple, des concepts sociologiques tels que celui de communauté scientifique sont d’une importance capitale pour comprendre les pratiques mathématiques collectives. En m’appuyant sur la littérature de la sociologie des sciences, je défendrai d’abord une approche de la pratique mathématique centrée sur la notion de communauté. Ensuite, j’expliquerai comment cette approche est particulièrement adaptée pour décrire le rôle de la métamathématique, un concept philosophique utilisé pour désigner les opinions, les points de vue et les positions que les mathématicien·nes tiennent par rapport à leur pratique (Kitcher, 1984). En effet, il a été avancé que les changements dans la métamathématique sont souvent associés à des changements « révolutionnaires » en mathématiques (Dunmore, 1995), comme l’illustre l’émergence de l’algèbre moderne au début du XXe siècle (Corry, 2004). En revanche, on a beaucoup moins étudié le rôle de la métamathématique dans les pratiques mathématiques stabilisées. J’utiliserai l’émergence de la théorie du contrôle géométrique, et l’un des théorèmes fondateurs de cette communauté : le théorème des orbites, comme étude de cas pour montrer la nécessité de connecter la notion de métamathématique à celle de communauté scientifique.

5Dans la première partie de l’étude de cas, je montre que l’introduction d’outils géométriques en théorie du contrôle à la fin des années 1960 a précipité un changement de perspective métamathématique, entraînant l’émergence et le développement d’une nouvelle pratique. La communauté mathématique associée à cette pratique – appelée par la suite « théorie du contrôle géométrique » – a la particularité de fusionner des éléments issus de la géométrie différentielle et des mathématiques appliquées pour résoudre des problèmes relatifs à l’étude de systèmes d’équations différentielles non-linéaires. L’un des éléments fondateurs de cette pratique est le théorème dit des orbites : bien que cette appellation ne soit apparue que dans les années 1980, elle fait référence à un énoncé formulé originellement – et prouvé indépendamment – par le théoricien du contrôle Hector Sussmann et le géomètre différentiel Peter Štefan en 1973. Alors que le contenu de leurs contributions respectives est quasi-identique, il apparaît que leurs présentations diffèrent et se superposent à leurs affiliations disciplinaires respectives. Une analyse des pratiques citationnelles contemporaines démontre que l’identification du travail de Štefan et Sussmann – ainsi que celui d’un autre géomètre, Tadashi Nagano – avec l’étiquette « théorème des orbites » est principalement limitée à la communauté de la théorie du contrôle. Je conclus l’article en discutant la façon dont les opinions métamathématiques associées à la pratique collective d’une communauté mathématique façonnent la production et la réception de la connaissance mathématique. En s’appuyant sur une méthodologie tant quantitative que qualitative, l’étude de cas illustre comment une perspective sociologique est non seulement pertinente mais aussi fructueuse pour la recherche en philosophie de la pratique mathématique.

Les communautés mathématiques et l’interaction entre leurs pratiques

Une approche sociologique de la pratique mathématique

6La recherche mathématique est une entreprise collective : depuis la formation sous la supervision d’un·e mentor·e, jusqu’à la rédaction et la publication d’articles en tant que mathématicien·ne de métier. Cependant ces aspects institutionnels ne forment que la pointe de l’iceberg, puisque l’acquisition des connaissances se fait par le biais de diverses instances : discussions avec des collègues, livres, conférences, etc. qui sont toutes façonnées et contraintes socialement. L’apprentissage des normes implicites qui régissent un domaine des mathématiques et la construction de l’éthos professionnel se font à travers la succession d’expériences sociales vécues par le ou la mathématicien·ne. C’est pourquoi, pour étudier la pratique mathématique, il semble légitime d’adopter une perspective sociologique axée sur les communautés de chercheurs et de chercheuses.

7Cette position peut être illustrée par le travail du sociologue Claude Rosental (2008). Dans sa monographie La trame de l’évidence, il étudie une controverse en logique déclenchée par l’incertitude entourant la preuve du théorème d’Elkan dans les années 1990. Le déroulement des débats entre logicien·nes révèle comment un théorème est produit par la communauté scientifique, et ne saurait être réduit à un simple contenu cognitif discuté selon des dynamiques purement individuelles. Rosental insiste sur la dimension collective du processus par lequel le théorème a atteint le statut de connaissance certifiée. Son travail est une des rares tentatives d’étudier la production de connaissances théoriques à partir d’une perspective anthropologique. En particulier, il met en garde le lecteur contre le danger d’invoquer l’immatérialité de la connaissance logico-mathématique, qui serait exclusivement localisée dans l’esprit des scientifiques. Il soutient plutôt qu’une approche pertinente de la compréhension des pratiques scientifiques en mathématiques et en logique devrait s’appuyer sur une analyse sociale et matérielle des débats. Par exemple, dans son étude de cas, il remarque le rôle important que des forums internet ont joué pour faire sens collectivement des énoncés d’Elkan, en permettant la transmission d’arguments théoriques. L’étude des supports matériels comme vecteurs de la connaissance immatérielle a été approfondie dans une autre enquête anthropologique, menée par Michael Barany et Donald MacKenzie (2014). Dans celle-ci, ces derniers fournissent un compte rendu d’observations ethnographiques sur la manière dont les tableaux noirs structurent le partage de connaissances théoriques immatérielles dans un département de mathématiques.

8Cette approche anthropologique nous invite non seulement à nous intéresser aux dimensions matérielles de la recherche scientifique, mais aussi à étudier la pratique mathématique à partir des communautés de chercheurs et de chercheuses. Se ralliant à l’historienne des mathématiques Amy Dahan-Dalmedico (1994), Rosental défend en outre l’idée de développer une histoire sociale des mathématiques, qui ne se limiterait pas à l’histoire d’un concept ou à l’œuvre d’un individu, mais inclurait plutôt

l’étude d’un milieu scientifique, d’une communauté, d’un ensemble de productions scientifiques, afin d’appréhender un « site », une géographie des oeuvres, l’émergence d’une discipline, et le rôle des figures académiques de premier plan. (Rosental, 2008, p. 37)

9Barany et MacKenzie soutiennent la position de Rosental en remarquant que l’étude de la pratique mathématique s’appuie principalement sur des travaux historiques et philosophiques portant sur les mathématiques bien acceptées et synthétisées, et qu’il manque donc un traitement sociologique approprié des recherches en cours (Barany & MacKenzie, 2014). En effet, bien que l’influence des facteurs sociaux sur la production scientifique a été largement discutée dans la sociologie de la connaissance scientifique – voir par exemple (Knorr-Cetina & Mulkay, 1983 ; Barnes et al., 1996) – et a rencontré quelques échos en histoire des mathématiques (Bos & Mehrtens, 1977 ; Gispert, 2000), les contributions à la sociologie des mathématiques sont restées rares.

10En histoire des mathématiques, un intérêt croissant concernant les pratiques collectives et les communautés mathématiques s’est développé au cours des vingt dernières années. Par exemple, du côté de la physique mathématique, Andrew Warwick a décrit comment les facteurs locaux ont influencé la réception de la théorie de la relativité d’Einstein à Cambridge (Warwick, 2003). Une analyse socio-historique récente de la notion de communauté mathématique est l’étude menée par Sébastien Gauthier sur les mathématicien·nes travaillant sur la géométrie des nombres dans la première moitié du XXe siècle (Gauthier, 2007, 2009). Un autre compte rendu important d’un travail collaboratif international en mathématiques a été réalisé par Michael Barany, sur l’émergence de la théorie des distributions de Schwartz (Barany, 2018). Enfin, un récent ouvrage collectif sur l’histoire institutionnelle et sociale des communautés mathématiques dans l’entre-deux-guerres vient d’être publié (Mazliak & Tazzioli, 2021).

11En histoire et en sociologie des sciences cependant, la notion de communauté scientifique a engendré une vaste littérature depuis les années 1960 (Ben-David & Collins, 1966 ; Kuhn, 1970 ; Crane, 1972 ; Mullins, 1972 ; Edge & Mulkay, 1976 ; Lemaine et al., 1976 ; Knorr-Cetina, 1999 ; Frickel & Gross, 2005). Ces contributions se concentrent soit sur les aspects institutionnels, soit sur les aspects plus sociaux qui définissent les communautés scientifiques. Par exemple, dans son modèle discontinuiste du changement scientifique, Thomas Kuhn identifie les communautés scientifiques à des communautés d’opinions, de pratiques et d’engagements (Kuhn, 1970). A chaque communauté est associée un paradigme – ou une matrice disciplinaire dans ses travaux ultérieurs, car cette notion est censée refléter beaucoup mieux sa relation avec la communauté scientifique à laquelle elle appartient. Kuhn a emprunté cette perspective à Ludwik Fleck, qui a introduit les notions de collectif de pensée (Denkkollektiv) et de style de pensée (Denkstil) (Fleck, 2005). D’autre part, il reconnaît la dimension multi-niveaux des communautés scientifiques – des spécialités plus petites à l’intérieur de disciplines plus grandes – et souligne que son modèle doit être adapté à cette taxonomie (Kuhn, 1977, pp. 296-297).

12Bien que les philosophes des mathématiques aient discuté de la pertinence d’adapter la notion de matrice disciplinaire pour décrire le changement mathématique (Mehrtens, 1976), ils ne semblent pas avoir précisé comment celle-ci s’articulerait avec la taxonomie multi-niveaux des communautés mathématiques. A l’exception de quelques cas (van Kerkhove & van Bendegem, 2004), la plupart des tentatives reconnues de modéliser la pratique mathématique se sont faites soit au niveau global (Kitcher, 1984), soit au niveau individuel (Ferreirós, 2016). S’il est certainement nécessaire d’étudier l’évolution des pratiques individuelles des mathématicien·nes, une approche sociologique permettrait d’explorer les pratiques associées à différentes communautés. Le présent article adopte une perspective socio-historique sur la pratique mathématique en s’appuyant sur la notion de communauté mathématique et sur leur taxonomie multi-niveaux. La notion de métamathématique élaborée par la philosophie des mathématiques permet d’ancrer les pratiques dans la notion de communauté mathématique.

Le rôle de la métamathématique en mathématiques

13L’une des premières tentatives d’évaluation de la validité du modèle de Kuhn pour décrire le changement mathématique a été menée par le philosophe Herbert Mehrtens dans les années 1970, qui a conclu que la science normale, les anomalies et les crises se produisaient en mathématiques, mais que le concept de révolution scientifique devrait être adapté (Mehrtens, 1976). Le philosophe Philip Kitcher a également défendu l’idée que la théorie de Kuhn pouvait s’appliquer aux mathématiques avec des modifications minimes. Dans son livre The Nature of Mathematical Knowledge, Kitcher propose un modèle de l’accroissement de la connaissance mathématique qui s’appuie sur le modèle de Kuhn (Kitcher, 1984). L’idée de Kitcher est de remplacer la notion de matrice disciplinaire par la notion de pratique mathématique. Celle-ci peut être décrite, à un moment donné, par un ensemble ⟨L, S, R, Q, M⟩ de cinq composantes : un langage L en usage dans le monde des mathématiques ; un ensemble S d’énoncés (statements), de propositions et de théorèmes acceptés ; un ensemble R de raisonnements, de preuves et d’arguments acceptés qui justifient les énoncés acceptés ; un ensemble Q de questions mathématiques considérées comme importantes par la communauté : les questions méritant d’être posées et auxquelles il faut répondre, et dont la difficulté et l’urgence sont variables ; et enfin un ensemble M d’opinions méta-mathématiques et méthodologiques sur le rôle des preuves, l’articulation et la hiérarchie des disciplines, la portée et la nature des mathématiques, etc. La plupart de ces opinions sont implicites et font partie intégrante des connaissances partagées par la communauté mathématique. Elles sont incorporées au cours du processus d’apprentissage par lequel passe tout mathématicien ou mathématicienne en formation.

14Il existe un certain fondement empirique à la notion de métamathématique. Des études d’inspiration philosophique ont documenté l’évaluation par les mathématicien·nes des aspects non explicites des preuves et des raisonnements en mathématiques (Löwe et al., 2010 ; Inglis & Aberdein, 2015). Une enquête par questionnaire menée par le sociologue Bernard Zarca auprès de mathématicien·nes (en France) étaye l’affirmation selon laquelle la pratique mathématique repose largement sur des opinions partagées mais implicites (Zarca, 2009 ; 2012). Son travail fournit une description approfondie des croyances et des opinions des mathématicien·nes sur leurs propres domaines d’expertise. Zarca mobilise la notion d’ethos pour rendre compte du contenu de ces opinions : un ethos professionnel est un ensemble de dispositions acquises par l’apprentissage et la pratique d’une profession et qui dépendent de ce qui est plus ou moins reconnu socialement comme pertinent dans l’exercice de cette profession, selon différentes dimensions (épistémiques, esthétiques, sociales, etc.). Les dispositions sont un élément central de la théorie des champs et de l’habitus de Bourdieu ; elles peuvent être considérées comme des schèmes d’action et de croyances incarnés et régularisés, intériorisés par la socialisation familiale, professionnelle, ou autre (Lahire, 2003 ; 2019). Zarca explique qu’on peut identifier un ethos professionnel à partir des pratiques et des jugements – tant individuels que collectifs – « se cristallisant dans des hiérarchies, de prestige ou de pouvoir, et s’objectivant dans des modes d’organisation des échanges, de contrôle du travail, de distinction de l’excellence, etc. » (Zarca, 2009, p. 352). Les mathématicien·nes en devenir doivent se familiariser avec ces hiérarchies implicites, ces règles et ces normes de comportement qui sont imbriquées dans leur pratique professionnelle. Ainsi, la notion sociologique d’ethos éclaire le procédé par lequel les opinions métamathématiques sont acquises par les mathématicien·nes.

15Kitcher justifie la pertinence de son modèle en expliquant que le changement en mathématiques se fait par l’entremise de ce qu’il nomme des transitions interpratiques, d’une certaine pratique mathématique ⟨L, S, R, Q, M⟩ à une autre pratique mathématique ⟨L’, S’, R’, Q’, M’⟩. Kitcher soutient que l’évolution des mathématiques consiste en une séquence de pratiques mathématiques et que le rôle de la métamathématique est central à ces transitions car :

Les changements dans les vues métamathématiques sont intriqués avec des changements à grande échelle dans d’autres composantes [d’une pratique mathématique], et le changement de la composante métamathématique sert à identifier les épisodes qu’on peut considérer comme ressemblant le plus à ce que sont les révolutions scientifiques. (Kitcher, 1984, p. 192)

  • 1 La notion dimage des mathématiques a été empruntée par Corry à la fin des années 1980 (Corry, 1989 (...)

16Un exemple d’un tel changement « révolutionnaire » a été proposé par Leo Corry, qui explique que l’image des mathématiques1 partagée par les algébristes avait changé au début du XXe siècle. Cette reconfiguration de leurs perspectives métamathématiques engendra l’émergence de l’algèbre moderne, et s’est matérialisée dans la publication du manuel Moderne Algebra de Bartel L. van der Waerden en 1930 (Corry, 2004). Cette position est aussi développée par Caroline Dunmore, qui considère que les changements profonds en mathématiques peuvent être révolutionnaires au niveau de la métamathématique, tout en étant conservateurs au niveau des objets (Dunmore, 1995). Pour expliquer ces changements, elle défend l’affirmation de Mehrtens selon laquelle les anomalies – au sens de Kuhn – jouent un rôle important dans les changements révolutionnaires en mathématiques : elles obligent les mathématicien·nes à modifier leurs opinions métamathématiques afin d’évacuer toute incohérence. Kitcher soutient que c’est précisément dans de telles crises, où différentes visions des mathématiques s’affrontent, et où les mathématicien·nes doivent s’engager et défendre leurs opinions, que les vues métamathématiques sont le plus clairement explicitées (Kitcher, 1984, p. 189).

La métamathématique et l’interaction entre les pratiques

17Dans son ouvrage, Kitcher cherchait à décrire les changements non triviaux pouvant avoir lieu dans la pratique mathématique. Cependant, son approche souffre d’une trop grande généralité, empêchant ainsi son modèle de décrire avec précision des dynamiques plus locales et spécifiques, notamment celles qui régissent la production mathématique des XXe et XXIe siècles, caractérisée par la professionnalisation et l’internationalisation de la discipline. Le modèle de la pratique mathématique de Kitcher semble s’appliquer à l’ensemble de la communauté mathématique, dans une ère pré-XXe siècle, bien qu’il reconnaisse lui-même l’existence de plusieurs sous-communautés qui seraient caractérisées par leur propre métamathématique. Pour lui, les objectifs de toute communauté mathématique – tels que l’avancement des connaissances, la systématisation des résultats, l’amélioration de la compréhension, l’élargissement de l’éventail de preuves, etc. « sont médiés par des vues plus métamathématiques, qui peuvent varier d’une communauté à l’autre, et qui représentent la compréhension réflexive de la communauté sur la façon dont ses objectifs ultimes doivent être atteints » (Kitcher, 1984, p. 189). Malheureusement, Kitcher ne fournit pas plus de détails sur la manière de rendre compte des changements localisés de pratique mathématique qui ne concerneraient que certaines communautés de chercheur·ses.

18C’est précisément une objection soulevée par José Ferreirós dans son ouvrage Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices (Ferreirós, 2016). Ferreirós reconnaît la difficulté de rendre compte de la structure multi-niveaux des pratiques mathématiques, et son livre s’attache à proposer une alternative qui s’oppose aux approches qu’il considère comme réductionnistes. Dans celles-ci il inclut le modèle de Kitcher, mais aussi son extension par les philosophes Bart van Kerkhove et Jean-Paul van Bendegem (2004), du fait que la prise en compte de la multiplicité des pratiques mathématiques serait faite chez eux de manière trop cloisonnée. D’autre part, Ferreirós remarque que l’adaptation aux mathématiques du modèle de Kuhn faite par Kitcher a promu une image de la discipline régie par une pratique ou une matrice disciplinaire unique. En opposition à cela, il défend l’idée qu’à un moment donné, plusieurs pratiques – ou frameworks, comme il les nomme – coexistent dans la communauté mathématique. Alors que Kitcher, à la suite de Kuhn, se concentre sur les transitions entre les pratiques et considère le changement mathématique comme une succession temporelle de telles pratiques, Ferreirós s’intéresse aux interactions entre les pratiques : à ce qu’il appelle leur interplay. Pour lui, les pratiques sont interconnectées à différents niveaux, et ce de façon systématique, induisant que l’analyse d’une pratique particulière doit amener les philosophes à considérer les connexions avec d’autres strates de pratiques.

  • 2 La MSC est un système de classification alphanumérique développé par l’American Mathematical Societ (...)

19Les travaux du sociologue Bernard Zarca peuvent venir étayer cette affirmation (Zarca, 2012). Dans son enquête, il a demandé aux mathématicien·nes de déterminer les catégories de la Mathematics Subject Classification (MSC) auxquelles ils ou elles pensaient appartenir2 : 36 % des mathématicien·nes ont choisi un seul domaine de cette classification, 27 % en ont choisi deux et 37% en ont choisi trois. Ces résultats reflètent le taux élevé d’interconnexions au sein des spécialités mathématiques. En effet, la granularité des communautés mathématiques – qui était déjà reconnue dès les années 1960 (Fisher, 1966) – et l’absence établie de co-compréhension entre mathématicien·nes (Barany & MacKenzie, 2014), sont contrebalancées par la forte interconnexion des sous-domaines mathématiques entre eux. Cela induit que les mathématicien·nes peuvent revendiquer leur appartenance à diverses sous-disciplines plus souvent que les spécialistes des sciences naturelles.

20Pour Zarca, l’interconnexion des domaines mathématiques joue un rôle central dans l’unité des mathématiques, plus important encore que celui de la rigueur logique des démonstrations et de l’axiomatisation :

La possibilité de résoudre un problème relevant d’une discipline donnée par différentes méthodes, empruntées à d’autres disciplines, et ce, de manière réciproque, [est] un signe fort de l’unité profonde des mathématiques. (Zarca, 2012, p. 233)

21Cela a des conséquences structurelles sur la cumulativité en mathématiques (par rapport aux sciences naturelles) : les mathématicien·nes ne se débarrassent pas des anciennes théories puisqu’elles sont incorporées dans les nouvelles, plus complexes, au travers de mises en relation conceptuelles (Dauben, 1984). Ferreirós défend ce point de vue en soutenant que :

Toute l’histoire des mathématiques peut être représentée comme le développement progressif d’un réseau de liens reliant différentes notions centrales initialement séparées, i.e. comme le tissage d’une tapisserie délicate ou d’une toile d’araignée établissant des ponts entre le discret et le continu, les nombres et la géométrie, l’algèbre et l’analyse – et, plus tard, la topologie – et ainsi de suite. (Ferreirós, 2016, p. 40)

22Cependant, bien qu’il paraisse assez sensible à une caractérisation socio-historique et multi-niveaux des pratiques mathématiques – qui semblerait adaptée pour mieux décrire les interactions entre pratiques mathématiques – Ferreirós privilégie une approche cognitive centrée sur les agents. Pour lui en effet, l’étude de la pratique mathématique devrait se concentrer sur les mathématicien·nes en tant qu’individus et sur l’évolution de leur ensemble de croyances métamathématiques à travers le temps, car ces dernières jouent un rôle central dans la production de nouvelles mathématiques et dans la reconfiguration de la discipline (Ferreirós, 2016, pp. 80-82).

23Je ne nie pas que chaque mathématicien·ne a une histoire individuelle et une trajectoire unique dans le domaine des mathématiques : il y a tellement de spécialisation en mathématiques que c’est inévitable. C’est pourquoi Ferreirós est pertinent lorsqu’il dit qu’« un·e mathématicien·ne [...] possède une connaissance pragmatique de plusieurs pratiques mathématiques différentes et de leurs nécessaires interconnexions ; cela met en lumière l’interaction entre différentes strates de connaissances mathématiques » (Ferreirós, 2016, p. 247). Cependant, je ne trouve pas cet argument concluant pour justifier qu’une approche de la pratique mathématique en général – et de la métamathématique en particulier – qui soit centrée sur les agents est aussi pertinente qu’une approche centrée sur les communautés. En effet, la production scientifique individuelle s’appuie sur des réseaux professionnels, des écoles de pensée, etc. qui sont des organisations sociales de niveau mésoscopique (Whitley, 1985). Ainsi, les communautés mathématiques ont un effet direct sur la croissance mathématique et sur la pratique mathématique individuelle. En s’appuyant sur ces considérations théoriques, l’étude de cas évalue le rôle de la métamathématique dans le changement mathématique et dans les pratiques mathématiques stabilisées d’une communauté en particulier : la théorie du contrôle géométrique.

De la conceptualisation théorique à l’implémentation méthodologique

Opérationnaliser la notion de pratiques collectives

24Il existe plusieurs manuels récents et ouvrages mathématiques sur la théorie du contrôle géométrique (Jurdjevic, 1997 ; Agrachev & Sachkov, 2004 ; Bullo & Lewis, 2005), ainsi que des tentatives d’histoire interne (Brockett, 2014 ; Lewis, 2018). S’ils fournissent des informations qualitatives sur les pratiques mathématiques partagées par les théoricien·nes du contrôle géométrique, ils ne confèrent pas de matérialité à la communauté mathématique sous-jacente. Afin de rendre cette dernière notion opérationnelle, je me tournerai donc vers l’étude des pratiques citationnelles. En effet, les citations constituent une pratique institutionnalisée dans la recherche scientifique : citer est une action performative qui étiquette les articles cités selon la fonction que l’auteur·e de la citation leur attribue (Moravcsik & Murugesan, 1975). Les motifs de citation peuvent être nombreux et variés : persuasion, attribution d’un crédit positif ou négatif, information, alerte au lecteur, etc. (Brooks, 1986). En traçant une ligne entre l’auteur·e cité·e et l’auteur·e citant·e, la citation permet à ce dernier de revendiquer une certaine (ou de rejeter toute) proximité cognitive avec les membres d’une communauté scientifique.

25Citer « correctement » est un exercice attendu et évalué par les pairs : lors d’un état de l’art dans un domaine donné, on est en droit d’attendre certaines sources reconnues. La façon dont on cite ces sources est aussi sujet d’évaluation, puisqu’il est question de ne pas être aveuglément critique, ni trop laudatif. Les pratiques citationnelles d’un domaine donné constituent des normes implicites que les jeunes chercheur·ses doivent intégrer, et les bafouer est considéré comme une violation grave de la morale professionnelle associée à cette discipline (Lemieux, 2012). Les pratiques citationnelles étant collectivement régulées, elles donnent un aperçu indirect de certains aspects des pratiques associées aux communautés scientifiques. En effet, les références citées dans une production scientifique forment une trace de l’activité professionnelle, à travers laquelle s’expriment et s’affirment certaines relations socio-cognitives entre l’auteur·e cité·e et l’auteur·e citant·e (Milard, 2014). Ces considérations montrent que les pratiques citationnelles peuvent être utilisées comme un moyen de caractériser l’appartenance à une communauté mathématique.

26Dans la première partie de l’étude de cas, j’étayerai les récits historiques subjectifs écrits sur l’émergence de la théorie du contrôle géométrique par une analyse de co-citations. Nous disons que les auteur·es A et B sont co-cité·es dans un article donné, s’ils apparaissent tous deux dans la bibliographie. La co-citation est une relation qui est établie par l’auteur·e citant·e. Plus souvent deux auteur·es sont co-cité·es par un grand nombre de chercheur·ses, plus ces auteur·es peuvent être considéré·es comme « proches » d’un point de vue scientifique. Mesurer cette proximité revient à mesurer l’association entre les auteur·es telle qu’elle est perçue par la population des auteur·es citant·es (Small, 1973). A partir d’un ensemble d’auteur·es et de leurs co-citations, on peut dessiner un graphe pondéré dont les nœuds représentent les auteur·es (les plus) cité·es et dont les arêtes symbolisent les occurrences de co-citations. Ce graphique établit une carte symbolique des connexions socio-cognitives existantes au sein de la discipline, et dont l’évolution dans le temps peut être observée. L’analyse de co-citations fournit alors un outil de suivi du développement des spécialités scientifiques.

La représentation visuelle du graphe est obtenue par la simulation d’un modèle physique, dans lequel les nœuds sont des charges électriques et les arêtes des ressorts (Eades, 1984). Selon le choix des paramètres physiques, les auteur·es souvent co-cité·es ensemble pourront apparaître plus proches que les auteur·es qui sont moins co-cité·es (la force d’attraction des ressorts entre en compétition avec la force de répulsion entre les nœuds). Les algorithmes de détection de communautés identifient une partition du graphe (en sous-graphes, ou communautés) qui maximise la connectivité interne aux communautés par rapport à leur connectivité externe. Une méthode reconnue pour effectuer une telle tâche consiste à maximiser une fonctionnelle appelée la modularité (Newman & Girvan, 2004), dont on a montré qu’elle était équivalente à la minimisation de l’énergie associée à un modèle de verre de spin (Reichardt & Bornholdt, 2006). En raison de leur degré de connectivité plus élevé par rapport à la connectivité moyenne du graphe, les communautés obtenues par un tel algorithme rassemblent des auteur·es qui sont plus souvent co-cité·es entre eux. Elles peuvent alors être considérées comme des approximations des communautés scientifiques (Wallace et al., 2009 ; Gingras, 2010).

27La deuxième partie de l’étude de cas porte sur les pratiques citationnelles elles-mêmes afin d’évaluer comment l’appartenance à la communauté de la théorie du contrôle façonne les pratiques mathématiques. La discussion se concentre sur les articles du théoricien du contrôle Hector Sussmann et du géomètre différentiel Peter Štefan publiés respectivement en 1973 et 1974, car ils ont prouvé indépendamment et simultanément des résultats quasi-identiques avec des méthodes similaires. Il s’agit d’une occasion unique d’étudier si, et comment, la production et la réception de résultats mathématiques sont dépendantes de la communauté considérée. Pour évaluer cette hypothèse, je compense les limitations de la scientométrie par une méthodologie spécifique : je procède à un étiquetage thématique du corpus d’articles citant leurs contributions respectives, et je réalise un test d’indépendance sur les tableaux de contingence ainsi obtenus. Ce traitement qualitatif d’un corpus d’articles scientifiques vient compléter l’analyse scientométrique de la première partie, et illustre la fécondité de l’utilisation de traditions sociologiques complémentaires.

28Tout au long de l’étude de cas, le rôle de la métamathématique et son articulation avec la notion de communauté mathématique sont abordés à travers des sources textuelles écrites par des théoriciens du contrôle géométrique. Ce contenu textuel constitue un matériau important de l’étude de cas, car il est mobilisé pour soutenir les hypothèses formulées à partir des analyses quantitatives et qualitatives. Le dialogue entre les ressources textuelles – tant mathématiques qu’historiques – et les analyses bibliométriques permet d’opérationnaliser la relation entre métamathématique et communautés mathématiques. En fin de compte, le matériau sociologique dans l’étude de cas vient en appui du raisonnement philosophique, et ne le remplace pas : le premier informe le second, dont la centralité reste préservée.

Aspects méthodologiques et empiriques

  • 3 Le choix de cette revue est basé sur l’observation qu’elle semble être de première importance dans (...)

29Les corpus d’articles mathématiques pour les deux parties de l’étude de cas ont été extraits de la base de données bibliographiques Web of Science, qui comprend des informations sur les auteur·es, les revues et leurs citations. Celle-ci est largement utilisée en scientométrie et représente la base de données la plus à jour sur les revues scientifiques (Li et al., 2018). Le corpus sélectionné pour l’analyse de co-citations est constitué de tous les articles publiés entre 1968 et 1982 par la revue SIAM Journal on Control and Optimization3. Bien que l’IEEE Control Systems Society – une sous-unité de l’Institute of Electrical and Electronics Engineers dédiée à l’avancement de la compréhension des systèmes et du contrôle en ingénierie – publie plusieurs revues sur le thème du contrôle, elles n’ont pas été sélectionnées dans le corpus car l’étude actuelle se concentre sur les communautés mathématiques. La période 1968-1982 est divisée en trois sous-périodes de cinq ans : 1968-1972 (232 articles), 1973-1977 (328 articles) et 1978-1982 (290 articles). Étant donné que je m’intéresse à la dynamique du réseau de recherche de la théorie du contrôle, il m’a semblé approprié de fonder l’analyse de co-citations sur cette périodisation (voir (Réale et al., 2020) pour un choix similaire dans le champ de l’écologie).

  • 4 J’ai exécuté l’algorithme de visualisation de réseau avec les options suivantes : le poids des nœud (...)
  • 5 Pour s’assurer que le choix de ne prendre que les 150 auteur·es les plus cité·es ne nuise pas à l’a (...)
  • 6 L’algorithme de visualisation de réseau de CorText propose un filtrage facultatif des arêtes afin d (...)
  • 7 Les communautés apparaissant sur les graphes de l’étude de cas ont été obtenues en exécutant l’algo (...)

30Les données bibliographiques extraites du Web of Science ont ensuite été traitées par un algorithme de data parsing sur la plateforme d’analyse de données en libre accès CorText Manager (https://www.cortext.net/​). Un algorithme de visualisation de réseau4 a été exécuté sur les 150 auteur·es les plus cité·es5, en laissant CorText déterminer le seuil optimal pour le filtrage des arêtes6. Ces choix favorisent les auteur·es cité·es les plus endogènes par rapport aux auteur·es exogènes. L’exécution de l’algorithme de visualisation de réseau avec différentes périodisations (de 1 à 4 périodes, déterminées par CorText), nombres de nœuds (150 ou 300) et valeurs de seuil (de 2 à 5, le seuil optimal trouvé par CorText sur les périodes 1973-1977 et 1978-1982), montre que cette dernière variable semble être la plus influente sur la partition du graphe trouvée par les algorithmes de détection de communautés7. Globalement, plus ce seuil est élevé, plus les noms attachés au contrôle géométrique dans la littérature forment une communauté indépendante. Je souligne que les données associées aux années 1973-1977 semblent être les plus robustes en ce qui concerne les changements de périodisation, de nombre de nœuds et de choix de seuil. Le traitement visuel des graphes et l’exécution des algorithmes de détection de communautés ont été réalisés sur le logiciel libre Gephi (Cherven, 2013).

  • 8 Je parle ici de la théorie du contrôle et non de la théorie du contrôle géométrique car, bien qu’il (...)
  • 9 Le choix de la date de début peut être justifié par le fait que leurs résultats n’ont pas atteint u (...)
  • 10 La requête pour la période 1973-2020 (mars) a renvoyé 143 articles citant les travaux de Štefan, 42 (...)

31La deuxième partie de l’étude de cas porte sur certains aspects des pratiques citationnelles associées à la communauté du contrôle8 depuis le milieu des années 1990. Elle analyse comment les résultats de Hector Sussmann (1973a ; 1973b) et de Peter Štefan (1974a ; 1974b) – et dans une moindre mesure l’article de 1966 de Tadashi Nagano (1966) – ont été mobilisés dans cette communauté. Ne m’intéressant qu’aux pratiques citationnelles stabilisées – dans la communauté de la théorie du contrôle ou en dehors – j’ai restreint mon corpus à la période allant de 1993 à mars 20209. Cette période contient encore la majorité des articles du corpus, puisque dans l’ensemble, le nombre d’articles citants publiés après 1993 est trois fois supérieur au nombre d’articles citants publiés avant 199310. En me basant sur ce qui se fait habituellement en sociologie qualitative (Paillé & Mucchielli, 2012), j’ai attribué des étiquettes à chaque article, en fonction de la façon dont Štefan ou Sussmann étaient cités dans les articles. L’attribution des étiquettes a été faite sur la base du contexte dans lequel on trouvait la citation, c’est-à-dire le texte l’entourant. Souvent, il est évident que le contexte fait référence à l’une de ces étiquettes, mais celui-ci peut être parfois trop vague ou lapidaire pour déterminer sans ambigüité laquelle. Heureusement, ces cas sont rares et n’ont que peu d’impact sur les poids relatifs des deux catégories qui nous intéressent : être cité pour le « théorème des orbites » ou pour la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius.

32Ensuite, j’ai codé la communauté mathématique à laquelle appartenait le papier citant. Pour ce faire, j’ai vérifié la catégorie à laquelle la revue dont il est tiré s’identifie dans la base de données Web of Science ; les revues classées dans la catégorie « Automation » ont été considérées comme faisant partie de la théorie du contrôle. Il existe des articles qui sont publiés dans des revues d’autres catégories mais qui peuvent pourtant être considérés comme faisant partie de la théorie du contrôle : j’ai donc vérifié dans chaque autre article citant s’il contenait « control » ou « systems » dans le titre, dans le nom de la revue ou dans les mots clés, et, si tel était le cas, vérifié qu’il s’agissait bien d’un article pouvant être considéré comme relevant de ce domaine. J’ai ensuite procédé à des tests d’indépendance sur les variables « raison de la citation » et « communauté d’origine de la citation » dans les tableaux de contingence ainsi obtenus. Des tests du χ2 ont été faits sur les tableaux satisfaisant le critère de Cochran, tandis qu’un test de Barnard a été fait sur le seul tableau ne satisfaisant pas ce critère (tableau 3).

L’émergence de la théorie du contrôle géométrique

33« La théorie du contrôle est la théorie qui prescrit le mouvement des systèmes dynamiques plutôt qu’elle ne décrit leur comportement observé » (Bloch, 2015, p. 6). Cette discipline, qui est à la jonction des mathématiques et de l’ingénierie, a émergé durant les révolutions industrielles du XIXe siècle, et s’est développée dans la première moitié du XXe siècle avec l’essor de l’aéronautique et la nécessité de comprendre l’automatisation et les servomécanismes (Bennett, 1996). Après la seconde guerre mondiale, la connaissance de ce que l’on appelle les « systèmes de contrôle » – systèmes dynamiques avec rétroaction – devint de plus en plus nécessaire dans des domaines tels que l’aérospatiale, la cybernétique et les débuts de la robotique. Ce n’est qu’à la fin des années 1950 que des efforts coordonnés visant à formaliser la théorie du contrôle pour en faire un domaine propre de la recherche mathématique ont été entrepris. Un jalon important dans la compréhension des systèmes de contrôle a été posé au début des années 1960 lorsque Rudolph Kalman a proposé de considérer la boucle de rétroaction comme un paramètre vivant dans un « espace de contrôle » abstrait (Kalman, 1960a). En s’appuyant sur la découverte par Kalman de la condition nécessaire et suffisante pour qu’un système de contrôle linéaire soit contrôlable (Kalman, 1960b), les années 1960 ont été consacrées à la compréhension du comportement de ces systèmes de contrôle, en se concentrant sur la stabilité, la rétroaction et l’hystérésis (Brockett, 2014).

34Le besoin d’une description mathématique du contrôle non-linéaire a été déclenché par des tentatives antérieures de géométrisation de la mécanique, et plus particulièrement par l’ouvrage remarqué de Ralph Abraham et Jerrold Marsden Foundations of Mechanics (Abraham & Marsden, 1968). Cela a entraîné un regain d’intérêt dans la communauté du contrôle envers l’utilisation de techniques géométriques et des algèbres de Lie. Paradoxalement, une tentative réussie et fructueuse de relier l’étude des systèmes d’équations différentielles à la géométrie différentielle avait été faite quelques années auparavant dans un article fondateur de Robert Hermann (1963). Néanmoins, cet article n’attira pas beaucoup l’attention avant la fin de la décennie, quand les théoriciens du contrôle Claude Lobry, Henry Hermes et George W. Haynes ont reconnu la valeur des intuitions de Hermann (Lobry, 1970 ; Haynes & Hermes, 1970). Le théoricien du contrôle géométrique Velimir Jurdjevic soutient que les orientations théoriques de la théorie du contrôle au début des années 1960 – dirigées vers les automates, la logique et les systèmes dynamiques abstraits – « s’éloignaient des interprétations géométriques de la théorie linéaire et étaient en partie responsables de l’indifférence avec laquelle le travail pionnier de R. Hermann de 1963 [...] a été reçu par la communauté mathématique. » (Jurdjevic, 1997, p. 2). En sus de ces explications, le théoricien du contrôle Roger Brockett juge aussi responsable le fait que l’algèbre linéaire et la géométrie étaient très peu enseignées dans les programmes d’ingénierie à cette époque, et que la courbe d’apprentissage pour maîtriser ces outils mathématiques à un niveau satisfaisant était raide (Brockett, 2014, p. 2204).

L’état d’un système dynamique est symbolisé par un point dans ce qu’on appelle un « espace des états », et les équations différentielles régissant le système conditionnent la trajectoire de ce point dans cet espace, en fonction du choix du paramètre de contrôle. Un des objectifs de la théorie du contrôle est de déterminer, étant donné un état initial x0 dans un espace des états à n dimensions – ou plus généralement une variété M – quel est l’ensemble Σ ⊂ M des solutions du système d’équations différentielles paramétrées par le paramètre de contrôle ; cet ensemble correspond à l’ensemble des états qui sont atteignables à partir de l’état initial. Un système est contrôlable à partir de x0 lorsque l’ensemble des états atteignables depuis x0 est l’espace des états entier, c’est-à-dire lorsque Σ = M (Sontag, 1991).

Le lien entre théorie du contrôle et géométrie différentielle se fait via la notion de champs de vecteurs. Il était bien connu dans la communauté des systèmes dynamiques que l’ensemble des solutions d’une équation différentielle non-linéaire du premier ordre sur une variété M pouvait être vue de manière équivalente comme une courbe intégrale sur la même variété. En effet, l’équation différentielle définit de manière unique un champ de vecteurs sur la variété, grâce à la correspondance bi-univoque suivante :

               dx/dt = f (x(t), t) ←→ f est un champ de vecteurs sur M

Cette correspondance se généralise immédiatement aux systèmes paramétrés d’équations différentielles, c’est-à-dire aux systèmes de contrôle : un ensemble donné d’équations différentielles dx/dt = f (x(t), t, u(t)) paramétrées par un paramètre de contrôle u : R Rm correspond à une famille de champs de vecteurs F = (fu)u sur M.

L’innovation du travail de Hermann (1963) pour résoudre des problèmes de théorie du contrôle repose sur l’établissement d’une relation entre deux résultats importants datant de plusieurs décennies : le théorème d’intégrabilité de Frobenius et le théorème de Chow-Rashevskii. En utilisant la correspondance bi-univoque ci-dessus, Hermann a montré que sous certaines conditions adéquatement choisies, l’ensemble Σ des états atteignables depuis x0 correspond à la feuille passant par x0 du feuilletage induit par l’algèbre de Lie engendrée par la famille de champs de vecteurs F. Il donne plusieurs conditions suffisantes sur la famille F pour que la distribution de champs de vecteurs induite par F soit intégrable en un feuilletage (singulier). Pour au moins une de ces conditions – quand la famille est involutive et localement finiment engendrée – il a démontré que la distribution induite était intégrable (Hermann, 1962). Aujourd’hui, le résultat de Hermann est reconnu comme une avancée importante vers la généralisation du théorème de Frobenius aux distributions généralisées (lisses) et aux feuilletages singuliers, qui a finalement été prouvée par Sussmann et Štefan en 1973.

35Les récits historiques des années 1960-1980 écrits par les théoricien·nes du contrôle convergent pour dire que l’introduction de la géométrie en théorie du contrôle a précipité un changement de perspective, que certain·nes qualifient de « révolutionnaire » (Brockett, 2014, p. 2204). Cela a abouti à l’émergence de la théorie du contrôle géométrique (Jurdjevic, 1997, p. 2), qui n’a cessé de croître pour devenir un domaine de recherche bien développé (Lewis, 2018, p. 236). Une analyse de co-citations des articles publiés dans le SIAM Journal on Control and Optimization sur la période 1968-1982 accorde du crédit à ces interprétations. SIAM est l’acronyme de la Society for Industrial and Applied Mathematics, qui est une société savante regroupant des ingénieur·es et des mathématicien·nes. Fondée en 1951, elle se caractérise par sa portée interdisciplinaire et sa taille : c’est la plus grande association scientifique au monde consacrée aux mathématiques appliquées. La Société a commencé à publier ses propres revues au milieu des années 1960. La revue sus-mentionnée a été créée en 1963 par cette société savante sous le nom de Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A : Control ; elle est devenue SIAM Journal on Control en 1966, et a adopté son nom actuel en 1976. La fréquence avec laquelle le nom a changé illustre la rapidité des reconfigurations disciplinaires à cette époque dans cette partie des mathématiques appliquées.

Figure 1a : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1968-1972

Figure 1a : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1968-1972

La taille des nœuds est proportionnelle au nombre de citations de leurs auteur·es associé·es. Les noms des cinquante auteur·es les plus cité·es sont indiqués (sauf dans la figure 1b où les noms de Hermann, Jurdjevic, etc. sont indiqués afin de les localiser). La représentation visuelle a été obtenue via l’algorithme Force Atlas sur le logiciel Gephi. Les couleurs indiquent les communautés déterminées par l’algorithme de Leiden : le sous-graphe violet est celui qui rassemble le plus de nœuds, puis vient le sous-graphe vert clair, puis le cyan, le jaune, l’orange, le magenta, et le vert foncé. La modularité du graphe 1a est de 0,51, celle du graphe 1b est de 0,66, tandis que celle du graphe 1c est de 0,59.

Figure 1b : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1973-1977

Figure 1b : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1973-1977

Figure 1c : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1978-1982

Figure 1c : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1978-1982

36On peut voir que le graphe pour la période 1968-1972 (fig. 1a) est très dense. Cela reflète certainement l’état du domaine à la fin des années 1960 : une effervescence de sujets de recherche, sans grande spécialisation. La taille du nœud associé à Kalman confirme son importance dans le développement de la théorie du contrôle en tant que discipline. Le deuxième graphique, qui couvre la période 1973-1977 (fig. 1b), montre un processus de différenciation entre plusieurs groupes, qui semblent orienter leurs recherches dans des directions différentes. Plus important encore, nous pouvons observer la présence de la communauté de la théorie du contrôle géométrique (en magenta, en haut). Les noms qui apparaissent dans ce sous-graphe sont ceux des chercheurs identifiés dans la littérature comme étant les fondateurs de cette discipline, ainsi que leurs références les plus importantes. Leur proximité spatiale avec l’énorme nœud de Kalman est une manifestation de leur proximité théorique. Le troisième et dernier graphique, couvrant la période 1978-1982 (fig. 1c), montre que la théorie du contrôle géométrique forme toujours une communauté distincte (en vert foncé, en haut), avec une relation très étroite avec le cluster de Kalman.

37La prise de conscience, par plusieurs théoricien·nes du contrôle à la fin des années 1960, que les méthodes géométriques pouvaient conduire à des intuitions pertinentes et résoudre des problèmes apparemment insolubles, les a encouragé·es à se familiariser avec ces outils. Roger Brockett, qui était alors actif, en témoigne : « Pour les systèmes descriptibles par des équations différentielles, cette approche géométrique semblait tenir la promesse d’un développement systématique du contrôle non-linéaire, ce qui avait complètement manqué par le passé. » (Brockett, 2014, p. 2204) L’introduction de ce nouveau matériau mathématique a conduit à ce que l’on pourrait considérer comme une « révolution » dans cette sous-partie de la théorie du contrôle. Ce changement radical était dû non seulement à l’importation de nouveaux arguments et de nouvelles constructions, mais aussi à un changement dans les positions métamathématiques que les théoricien·nes du contrôle avaient adoptées envers leur objet de recherche. En particulier, la vision selon laquelle la fusion de la géométrie et de la théorie du contrôle était une étape nécessaire pour mieux comprendre les systèmes de contrôle non-linéaires s’est largement répandue dans la communauté du contrôle géométrique (voir par exemple (Bullo & Lewis, 2005, pp. x-xi) pour une telle justification). Cette opinion métamathématique a même été formalisée par Hector Sussmann, figure de proue de la théorie du contrôle géométrique, qui justifie l’importation d’outils géométriques de la façon suivante :

Selon moi, le véritable critère pour décider si une théorie mathématique A a ou non des applications significatives dans un domaine de recherche B est de savoir si, en utilisant A, on peut répondre à des questions de B qui ont un sens avant l’introduction de A, mais auxquelles on ne peut répondre sans A. (Sussmann, 1985, p. 517)

38La citation ci-dessus a été écrite au milieu des années 1980, quand la communauté du contrôle géométrique était encore en recherche de reconnaissance, et peut donc être interprétée comme une tentative de légitimer l’existence de cette communauté. Il existe des indices attestés de l’institutionnalisation diffuse de la théorie du contrôle géométrique au milieu des années 1980, au travers de manuels (e.g. (Isidori, 1985)) et de recueils d’articles (voir (Fliess & Hazewinkel, 1986)). L’intérêt croissant pour les aspects géométriques de la théorie du contrôle durant cette décennie transparaît dans la préface de la deuxième édition du manuel d’Alberto Isidori, paru à la fin des années 1980 : « Des problèmes fondamentaux suscitant l’intérêt depuis longtemps [...] peuvent être traités avec une relative facilité, sur la base de concepts mathématiques qui peuvent être facilement acquis par un théoricien du contrôle. » (Isidori, 1989, p. vii) Alors que dans les années 1980 cette communauté de chercheurs, liée par cet intérêt commun, était parfois désignée sous le terme de « théorie du contrôle non-linéaire » (nonlinear control theory) (voir par exemple la préface de (Nijmeijer & van der Schaft, 1990)), le nom de « théorie du contrôle géométrique » (geometric control theory) ne fut guère usité avant les années 1990 (fig. 2). Aujourd’hui, selon le théoricien du contrôle Andrew Lewis, la théorie du contrôle géométrique forme une communauté distincte avec un sujet de recherche clair et bien établi, synthétisé dans différents textes (Lewis, 2018, p. 136).

Figure 2 : Histogramme du nombre annuel d’articles, d’actes de colloques, de revues, de chapitres de livres, etc. (enregistrés sur le Web of science) qui contiennent les mots « geometric control » dans leur titre, résumé ou mots-clés, de 1990 à 2020.

Figure 2 : Histogramme du nombre annuel d’articles, d’actes de colloques, de revues, de chapitres de livres, etc. (enregistrés sur le Web of science) qui contiennent les mots « geometric control » dans leur titre, résumé ou mots-clés, de 1990 à 2020.

Une perspective collective de la connaissance mathématique

Qu’est-ce que le « théorème des orbites » ?

39L’émergence de la théorie du contrôle géométrique au début des années 1970 s’est faite parallèlement à la publication de deux contributions décisives et simultanées, du théoricien du contrôle Hector Sussmann (1973b) et du géomètre différentiel Peter Štefan (1974b), qui ont prouvé indépendamment deux résultats. Le premier stipule que les orbites d’une famille de champs de vecteurs sur une variété donnée sont des sous-variétés immergées. Dans la théorie moderne du contrôle, ce résultat est désigné sous le nom de « théorème des orbites » (fig. 3). Bien que ce résultat mathématique ait été mobilisé en contrôle géométrique dès la publication des travaux de Sussmann et Štefan en 1973 et 1974, il ne s’est pas vu attribuer cette étiquette avant une dizaine d’années. La dénomination « théorème des orbites » est apparue pour la première fois comme un nom générique indéfini au début des années 1980 (voir par exemple (Sontag & Sussmann, 1982) pour un tel usage précoce). La personnification de cette expression – à travers l’attribution de son énoncé à plusieurs auteurs – ne s’est pas produite avant la fin des années 1980, puisque le théoricien du contrôle Eduardo Sontag utilise encore la dénomination indéfinie en 1986 (Sontag, 1986). Le théorème des orbites est considéré comme un élément fondateur de la théorie du contrôle géométrique puisqu’il décrit la structure différentiable des ensembles de points atteignables d’un système de contrôle. Pour souligner la centralité de ce résultat dans cette communauté, Velimir Jurdjevic n’hésite pas à déclarer que « le “théorème des orbite” marque un point de départ pour la théorie du contrôle géométrique » (Jurdjevic, 1997, p. 32).

Figure 3 : Extraits de plusieurs manuels de théorie du contrôle géométrique.

Figure 3 : Extraits de plusieurs manuels de théorie du contrôle géométrique.

Le premier théorème est issu de (Jurdjevic, 1997, p. 33), le second de (Agrachev & Sachkov, 2004, p. 63) et le troisième de (Bullo & Lewis, 2005, p. 373). L’énoncé du théorème des orbites peut avoir différentes formulations, bien qu’elles aient toutes en commun d’inclure le premier énoncé et qu’elles correspondent généralement au Théorème 4.1 de la figure 4.

40Le deuxième résultat prouvé par Štefan et Sussmann dans leurs articles de 1973 et 1974 (Sussmann, 1973b ; Štefan, 1974b) est une généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius. Ce théorème a été à l’origine formulé par Ferdinand Georg Frobenius en 1877 comme une contribution décisive à la résolution du « problème de Pfaff » (Hawkins, 2013). Ce résultat, dans une de ses formulations modernes, stipule qu’une distribution de rang constant est intégrable en un feuilletage régulier si et seulement si elle est involutive (voir le Théorème 1.3.8 dans (Candel & Conlon, 2000)). Lorsque la distribution n’est plus régulière, c’est-à-dire lorsque son rang n’est pas constant et possède des singularités, la condition sur l’involutivité n’est plus suffisante. En 1962, Hermann a étendu le résultat de Frobenius aux distributions singulières lisses localement finiment engendrées ; en 1966, Tadashi Nagano l’a généralisé aux distributions singulières analytiques ; et en 1973, Štefan et Sussmann ont montré indépendamment qu’il pouvait être étendu aux distributions singulières lisses en toute généralité (voir (Lavau, 2018) pour une histoire interne de ces étapes successives).

  • 11 Chez Sussmann les orbites sont celles du groupe des transformations infinitésimales engendrées par (...)

41Une étude préliminaire de la littérature mathématique citant les résultats de Štefan, Sussmann et Nagano, a conduit à l’hypothèse que les usages citationnels dépendaient de la communauté citante. En théorie du contrôle, ces auteurs semblaient principalement cités pour le théorème des orbites, tandis qu’en dehors de la théorie du contrôle, ils étaient surtout cités pour la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius (voir par exemple le Théorème 1.5.1 dans (Dufour & Zung, 2005)). Ces différences sont visibles tant au niveau des pratiques citationnelles qu’au niveau de la production de la connaissance mathématique. En effet, les articles de Sussmann et de Štefan diffèrent en ce qu’ils mettent respectivement l’accent sur la structure differentiable des orbites (Sussmann) et sur la caractérisation des feuilletages avec singularités via des atlas feuilletés (Štefan). Bien que les objets mathématiques qui sont au coeur de leurs preuves ne diffèrent que légèrement11, les différences entre leurs motivations mathématiques respectives se reflètent dans la façon dont ils prouvent leurs résultats : le premier utilise une preuve fastidieuse axée avant tout sur la topologie des orbites, tandis que le second utilise une preuve plus courte et géométrique.

42Hector Sussmann est né à Buenos Aires en 1946. Après y avoir obtenu sa licence de mathématiques en 1966, il rejoint l’Institut Courant (NYU) pour y entamer son doctorat en mathématiques appliquées, qu’il défend en 1969. Dans son article de 1973 publié dans les Transactions of the AMS (Sussmann, 1973b), Sussmann est principalement motivé par des considérations de théorie du contrôle : trouver la structure différentiable des orbites d’une famille de champs de vecteurs, car sous certaines conditions celles-ci correspondent aux ensembles des états atteignables d’un système de contrôle. Ceci explique l’ordre dans lequel il aborde le problème (fig. 4) : il distingue d’abord dans son article les résultats démontrant la structure différentiable des orbites, et présente ensuite la généralisation du théorème de Frobenius comme une simple conséquence de ces premiers résultats, plus fondamentaux à ses yeux. Cette présentation hiérarchique, explicitée dans l’introduction de son article, était déjà présente dans la courte note qu’il a publiée quelques mois plus tôt dans le Bulletin of the AMS (Sussmann, 1973a). Les revues dans lesquelles Sussmann publie sa note et son article principal appartiennent à l’American Mathematical Society et sont destinées à un large public. A mes yeux cela explique pourquoi Sussmann utilise dans son article un langage mathématique généraliste qui n’inclut pas les spécificités linguistiques et notationnelles internes à la théorie du contrôle (que l’on peut trouver dans certains de ses articles de la même période).

Figure 4 : Extrait de l’article original de Sussmann publié dans les Transactions of the AMS (Sussmann, 1973b).

Figure 4 : Extrait de l’article original de Sussmann publié dans les Transactions of the AMS (Sussmann, 1973b).

On voit la distinction claire entre 1) ce qui est désormais appelé le « théorème des orbites », Théorème 4.1., et 2) la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius, Théorème 4.2.

43Simultanément, Peter Štefan, alors réfugié slovaque et doctorant en géométrie différentielle à l’Université de Warwick, a prouvé les mêmes résultats (Štefan, 1974b). Bien que ses méthodes soient similaires, sa motivation était distincte. Son travail se concentre sur les feuilletages singuliers, même s’il semble suffisamment bien connaître la théorie du contrôle pour mobiliser son vocabulaire : il a reçu une formation dans ce domaine et y a contribué avant de quitter Pragues (Brown & Eells, 1981), et a certainement assisté à la première conférence portant sur les méthodes géométriques en théorie du contrôle puisque sa contribution apparaît dans les actes du colloque (Štefan, 1973). La première page de la première section de son article de 1974 publié dans les Proceedings of the London Mathematical Society est ainsi consacrée à la définition des feuilletages singuliers et de leurs feuilles. Ce point est crucial car Štefan est en fait le premier à fournir une définition explicite des feuilletages singuliers en termes de coordonnées locales, imitant ainsi la définition bien connue des feuilletages réguliers à travers des atlas et des cartes feuilletés. Dans son article ainsi que dans sa note envoyée au Bulletin of the AMS en mars 1974 pour annoncer son résultat (Štefan, 1974a), Štefan met l’accent sur la structure de feuilletage dont est équipée toute partition de M en orbites. Štefan considère que la structure différentiable des orbites est en soi un résultat intermédiaire : elle est mentionnée comme une remarque dans le Théorème 1 (fig. 5), et apparait dans sa preuve comme une conséquence du Lemme 3.1. La généralisation du théorème de Frobenius en tant que tel correspond au Théorème 5 de son article, qui est une reformulation du Théorème 1 dans le contexte où les flèches sont des champs de vecteurs. Pendant les années qui suivirent, Štefan se concentra sur l’approfondissement de sa compréhension des conditions d’intégrabilité des distributions singulières lisses en feuilletages singuliers. Son dernier article – publié après sa mort accidentelle lors d’une randonnée sur le Mont Tryfan au Pays de Galles en 1978 – est un résumé de ce qui est connu à l’époque sur l’intégrabilité des familles de champs de vecteurs (Štefan, 1980). Ceci conforte l’idée qu’il était principalement intéressé par l’étude des feuilletages singuliers.

Figure 5 : Extrait de l’article original de Štefan publié dans les Proceedings of the London Mathematical Society (Štefan, 1974b).

Figure 5 : Extrait de l’article original de Štefan publié dans les Proceedings of the London Mathematical Society (Štefan, 1974b).

Le Théorème 1 est le théorème principal, présenté en tout début d’article, à partir duquel Štefan généralise le théorème de Frobenius. Il souligne que la partition de M par les « ensembles accessibles » (qu’il a préféré au terme « orbites ») forme un feuilletage singulier.

Pour quelle raison citez-vous ? De quel endroit citez-vous ?

44Alors que les contributions mathématiques de Štefan et de Sussmann ont été produites selon des objectifs bien distincts, elles ont également été reçues de manières très différentes dans la communauté de la théorie du contrôle et en dehors de celle-ci. Dans le corpus d’articles les citant sur la période 1993-2020, quatre situations principales se dégagent : 1. lorsque l’article citant fait référence à leurs articles pour avoir prouvé le théorème des orbites ; 2. lorsque l’article citant fait référence à leurs articles pour avoir prouvé la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius ; 3. à des fins de définition, comme pour la définition des orbites ou des feuilletages singuliers ; 4. comme simple référence routinière. J’ai également calculé le nombre de fois où Štefan ou Sussmann avaient été cités seuls. La proportion de chacune de ces catégories est présentée dans le tableau 1.

Tableau 1 : Raisons de citations les plus communes dans les articles répertoriés sur le Web of Science et citant (Štefan, 1974a ; 1974b) et (Sussmann, 1973a ; 1973b) entre 1993 et mars 2020.

Pour un théorème

Pour d’autres usages

Théo. Orbites

Théo. Frobenius

Définition

Référence

Cité seul

Štefan

14 %

47 %

36 %

15 %

8 %

Sussmann

23 %

29 %

17 %

22 %

66 %

Le tableau doit être lu comme suit : « 47 % des articles de 1993 à 2020 citant l’un ou les deux articles de Štefan (1974a ; 1974b), l’ont fait pour sa généralisation du théorème de Frobenius. » La somme des pourcentages des quatre premières colonnes peut dépasser les 100 % car certains articles du corpus citent les articles de Štefan ou Sussmann pour plusieurs raisons différentes.

45Bien que Štefan et Sussmann aient simultanément et indépendamment prouvé des résultats similaires, il n’y a pas de consensus sur ce qui constitue leur principale contribution, que ce soit le théorème des orbites ou la généralisation du théorème de Frobenius. Cependant, certaines variations dans le tableau 1 peuvent s’expliquer par l’approche favorisée par un auteur par rapport à l’autre. Par exemple, le fait que Štefan soit beaucoup plus cité à des fins de définition vient certainement du fait que la définition des feuilletages singuliers joue un rôle prépondérant dans son article. Les auteurs peuvent être co-cités, c’est-à-dire cités ensemble dans le même article : cela arrive 108 fois, ce qui implique que 92 % des fois où Štefan est cité, c’est avec Sussmann. En général, lorsqu’ils sont cités dans le même article, ils le sont pour la même raison, au même endroit du texte. La dernière colonne montre donc que Štefan n’est presque jamais cité seul (dans seulement 8 % des articles qui le citent) alors que Sussmann est généralement cité seul deux tiers du temps. Cela pourrait s’expliquer par le fait que les références à Sussmann proviennent principalement du domaine de la théorie du contrôle, dans lequel il est une figure importante, alors que la mort précoce de Štefan a pu jouer un rôle dans sa quasi-disparition du paysage citationnel. Pour affiner cette analyse, j’ai évalué à partir des données bibliographiques la communauté à laquelle chaque article citant pouvait être identifié.

Tableau 2 : Occurrences des citations des contributions de Sussmann (1973a ; 1973b), relativement aux raisons et à leurs origines.

Théorème des orbites

Théorème de Frobenius

Théorie du contrôle

25

13

Hors
Théorie du contrôle

46

80

Tableau 3 : Occurrences des citations des contributions de Štefan (1974a ; 1974b), relativement aux raisons et à leurs origines.

Théorème des orbites

Théorème de Frobenius

Théorie du contrôle

7

3

Hors
Théorie du contrôle

9

54

Les tableaux doivent être lus comme suit : « En dehors de la théorie du contrôle, Sussmann a été cité quarante-six fois pour le théorème des orbites tandis qu’il a été cité treize fois en théorie du contrôle pour la généralisation du théorème de Frobenius. »

  • 12 J’ai effectué un test du χ2 de Pearson sur le tableau 2, et ai obtenu que χ2 = 10,65, donc l’hypoth(...)

46Štefan est cité de manière disproportionnée en dehors de la théorie du contrôle pour la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius (tableau 3). Sussmann est aussi largement cité pour cette raison, mais il est aussi presque autant cité pour le théorème des orbites (tableau 2). Remarquons que si, en théorie du contrôle, il est cité deux fois plus pour le second résultat que pour le premier, la situation est inversée en dehors de la théorie du contrôle. Ces tableaux de contingence soutiennent l’observation préliminaire12 selon laquelle, en dehors de la théorie du contrôle, les contributions de Štefan et de Sussmann sont associées à la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius, tandis qu’au sein de la théorie du contrôle, elles sont associées au théorème des orbites (donc sans trop faire référence à la structure feuilletée de l’espace des états). Ce résultat confirme aussi les affirmations des théoricien·nes du contrôle géométrique selon lesquelles le théorème des orbites est tout à fait central dans leur pratique mathématique.

  • 13 Ces informations proviennent des données extraites de la requête faite sur le Web of Science concer (...)

47On pourrait objecter que les différences dans les pratiques citationnelles sont artificielles car il y a en fait deux résultats distincts dans les contributions de Štefan et de Sussmann (fig. 4 et 5). Cela n’est pas surprenant car déjà, lorsqu’ils ont écrit leurs articles respectifs, Štefan comme Sussmann avaient tous deux un objectif différent à l’esprit et ont mis l’accent sur des aspects différents de leur travail. Cependant, je soutiens que cette justification n’est pas suffisamment convaincante : en effet, elle ne peut pas expliquer le fait que le mathématicien Tadashi Nagano est également cité pour le théorème des orbites en théorie du contrôle. Nagano est un mathématicien japonais qui a prouvé en 1966 une généralisation du théorème de Frobenius dans le cadre analytique (Nagano, 1966). La présentation du résultat dans son article montre une intention claire de s’affilier à Frobenius, et Velimir Jurdjevic témoigne en outre que Nagano était totalement déconnecté de la communauté de la théorie du contrôle (Jurdjevic, 1997, p. 63). Ceci est confirmé par l’étude de la littérature, puisque la première mention enregistrée de Nagano en théorie du contrôle13 a été faite dans un article passé relativement inaperçu de 1971 (Elliott, 1971), puis dans la note de Sussmann de 1973 comme une simple référence, du fait que sa preuve ne repose pas sur les idées de Nagano (Sussmann, 1973a). De plus, les théoriciens du contrôle Claude Lobry, Henry Hermes et George W. Haynes avaient déjà commencé à mentionner la fructueuse approche géométrique de Hermann dès la fin des années 1960, sans mentionner pour autant les travaux de Nagano (Lobry, 1970 ; Haynes & Hermes, 1970).

  • 14 Les dernières catégories pour lesquelles l’article de Nagano a été cité consistaient à être une sim (...)

48Néanmoins son nom est aujourd’hui considéré en théorie du contrôle comme un jalon important dans la fondation conceptuelle du corps de connaissances associé au contrôle géométrique, et il est parfois présenté comme un précurseur du théorème des orbites (aux côtés de Hermann). Par exemple, dans les manuels contemporains de la théorie du contrôle géométrique, le théorème des orbites est alternativement attribué à Hermann et Nagano (Jurdjevic, 1997, p. 48), ou à Nagano et Sussmann (Agrachev & Sachkov, 2004, p. 63), ou à Štefan et Sussmann pour le cas lisse, et à divers auteurs (parmi lesquels figure Nagano) pour le cas analytique (Bullo & Lewis, 2005, p. 110, p. 373). Une analyse bibliométrique de la littérature contemporaine citant l’article de Nagano de 1966 montre que les raisons pour lesquelles il est cité en théorie du contrôle ne correspondent pas à ses intentions initiales : produire une généralisation du théorème de Frobenius dans le cadre analytique (tableau 4). En effet, dans le corpus d’articles citant sa contribution sur la période 1993-2020, trois catégories thématiques principales peuvent être identifiées14 : 1. pour la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius aux distributions singulières analytiques ; 2. pour le théorème des orbites ; 3. pour la condition d’accessibilité du rang – ou condition de Hörmander. Ce dernier label désigne en théorie du contrôle la condition qu’une famille de champs de vecteurs doit satisfaire pour que ses orbites coïncident avec l’espace des états tout entier (il n’y a dans ce cas qu’une seule orbite). Elle est souvent reformulée en tant que caractérisation des espaces tangents à l’orbite ; alors, sous cette forme, cette condition fait souvent partie du théorème des orbites (voir par exemple le point (2) du théorème 5.1 et le point (ii) du théorème 7.5 de la figure 3).

Tableau 4 : Occurrences des citations des contributions de Nagano (1966), relativement aux raisons et à leurs origines.

Résultats géométriques

Résultats de théorie du contrôle

Théo. Frobenius

Théo. Orbites

Cond. Hörmander

Théorie du contrôle

8

5

8

Hors
Théorie du contrôle

15

3

2

  • 15 Le tableau 4 ne répond pas aux critères de Cochran, il n’est donc pas possible d’effectuer un test (...)
  • 16 Nagano considère l’ensemble de toutes les variétés intégrales d’une sous-algèbre de Lie donnée de l (...)

49En dehors de la théorie du contrôle, Nagano est massivement cité pour sa généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius. En revanche, en théorie du contrôle, il est cité aussi bien pour ce résultat que pour la condition de Hörmander, et dans une moindre mesure pour le théorème des orbites en tant que tel. Cette corrélation suggère que les raisons pour lesquelles un article est cité dépendent fortement de l’origine de la citation15. Cela confirme non seulement ce que nous avons vu précédemment pour Štefan et Sussmann – que la communauté de la théorie du contrôle partage des pratiques citationnelles particulières qui diffèrent de celles en dehors de la théorie du contrôle – mais prouve également que, dans le cas particulier de Nagano, les théoricien·nes du contrôle attribuent des étiquettes endogènes à un résultat mathématique qui n’était à l’origine ni lié à leur domaine, ni destiné à être promu au rang de théorème. En effet, dans son article de 1966, le fait que les feuilles d’un feuilletage analytique sont des sous-variétés immergées – le fameux « théorème des orbites » auquel se réfèrent les théoricien·nes du contrôle – est une étape intermédiaire dans la preuve du théorème de Nagano16.

Conclusion : qu’est-ce qu’un théorème ?

50Plusieurs acteurs s’accordent à dire que l’étude des systèmes de contrôle non-linéaires a pris un tournant brusque dans les années 1970, lorsque des méthodes géométriques ont été introduites et sont devenues un élément fondateur de cette communauté mathématique (Jurdjevic, 1997 ; Brockett, 2014 ; Lewis, 2018). La centralité de cette approche pour étudier ces systèmes d’équations différentielles est encore reconnue dans les années 2000, comme le soutiennent Francesco Bullo et Andrew Lewis dans la préface de leur manuel : « À un moment donné, l’unité offerte par une approche géométrique devient avantageuse et nous estimons que c’est simplement une composante nécessaire du sujet, tel que nous le percevons. » (Bullo & Lewis, 2005, p. x). Les théoricien·nes du contrôle géométrique défendent non seulement le point de vue (métamathématique) selon lequel la perspective géométrique est fructueuse – et même nécessaire – pour résoudre leurs problèmes, mais ils affirment également qu’elle contribue à produire une nouvelle signification mathématique sur leur objet de recherche.

  • 17 Cette observation a été faite en étudiant le corpus d’articles citant les articles de Štefan, Sussm (...)

51En effet, le théoricien du contrôle Roger Brockett soutient que si l’introduction des techniques géométriques a créé un schisme avec les ingénieurs, elle a ouvert des points de contact avec la physique et les mathématiques (Brockett, 2014, p. 2204). En particulier, la théorie du contrôle géométrique est étroitement liée à d’autres sous-domaines des mathématiques tels que la géométrie de Cauchy-Riemann, les équations différentielles hypoelliptiques ou la géométrie sous-Riemannienne, etc17. Ainsi, certain·nes théoricien·nes du contrôle géométrique publient des articles dans des revues de mathématiques pures ainsi que dans des revues spécialisées en théorie du contrôle (c’est notamment le cas d’Andreï Agrachev). L’existence de telles interconnexions entre sous-communautés mathématiques fait écho à la conviction de Ferreirós et Zarca sur le fait que l’interconnectivité des mathématiques est une propriété fondamentale de cette discipline. Ces arguments successifs montrent que la théorie du contrôle géométrique apparaît comme une sous-communauté à l’intérieur de la communauté plus large de la théorie du contrôle, dotée de sa propre métamathématique et de liens avec d’autres communautés mathématiques, indépendamment des autres spécialités de la théorie du contrôle.

52La deuxième partie de l’étude de cas a ensuite montré que ces opinions métamathématiques collectives ont un impact sur la production et la réception des contributions mathématiques en théorie du contrôle. L’intention de Štefan de s’affilier au théorème de Frobenius était explicite, tandis que Sussmann a choisi de souligner la structure différentiable des orbites en tant que sous-variétés immergées de l’espace des états. Ce dernier résultat, reconnu par la suite comme un élément fondateur de la théorie du contrôle géométrique, a été ultérieurement désigné sous le nom de « théorème des orbites ». Comme le montre l’étude de cas, cette appellation – associée par les théoricien·nes du contrôle à Štefan, Sussmann, Hermann et Nagano – ne semble pas être beaucoup mobilisée en dehors de la théorie du contrôle. Je soutiens que cette situation peut être expliquée par le fait que les résultats de Štefan et Sussmann se situent à la frontière entre la théorie du contrôle et la géométrie différentielle. En effet, les deux communautés se réfèrent différemment à ces résultats car elles ne s’intéressent pas aux mêmes problèmes. Une communauté mathématique donnée peut considérer que le point clé d’un théorème ne réside pas dans l’intention initiale de l’auteur, mais dans les applications que cette communauté fait de ce théorème. C’est pourquoi l’énoncé original d’un théorème peut différer de la manière dont il est invoqué des années plus tard dans une communauté mathématique donnée, parce que certains aspects de la connaissance mathématique se sont démarqués et ont façonné ce qui est considéré comme intéressant ou non.

  • 18 Ce qui peut être traduit par vision du monde ou idéologie.

53Une question similaire avait été explorée dans les années 1960 par le sociologue Charles Fisher (1966). Il s’est intéressé à la perception du statut (agonisant) de la théorie des invariants au milieu du XXe siècle, et observa que « différents groupes de mathématicien·nes évaluent la théorie différemment au sein de leur Weltanschauung18 [et que] ces classifications et opinions évoluent avec le temps » (Fisher, 1966, p. 138). Cela souligne les propriétés locales des opinions métamathématiques : elles ne sont pas définies de manière homogène dans toutes les communautés, mais sont plutôt localisées et dépendantes de celles-ci, précisément parce qu’elles fondent des pratiques collectives. De la même façon, dans l’étude de cas du présent article, les théoricien·nes du contrôle distinguent le « théorème des orbites » dans les contributions de Štefan, Sussmann et Nagano, car celui-ci fournit les hypothèses cruciales à partir desquelles les raisonnements mathématiques tenus en théorie du contrôle géométrique peuvent se faire. Ainsi, il semble que la dénomination « théorème des orbites » joue un rôle particulier dans cette communauté.

54Or, attribuer un nom à un énoncé mathématique est un acte performatif et socialement régulé, ayant pour but de pointer vers un ensemble de contenus cognitifs qui vont au-delà des limites établies par l’énoncé original : « Les théorèmes ne sont en un sens que des balises, des étiquettes pour les preuves, des résumés d’informations, des titres d’actualités, des dispositifs éditoriaux. » (Rav, 1999, p. 20) La dénomination « théorème des orbites » véhicule donc non seulement un sens cognitif (l’énoncé en tant que tel), mais aussi un sens métamathématique : celui d’être une manifestation institutionnalisée du contrôle géométrique dans la connaissance mathématique. L’utilisation d’une étiquette permet à différentes générations de mathématicien·nes de se référer à un objet qui n’est ni tout à fait le même, ni tout à fait un autre, mais qui reste un puissant marqueur d’appartenance sociale à la communauté qui utilise cette étiquette.

55Ainsi, le théorème des orbites est bien plus qu’un énoncé mathématique : il est porteur de représentations métamathématiques collectives. Saisir ce contenu n’aurait pas été possible sans mobiliser la notion de communauté mathématique. L’étude de cas démontre que le savoir mathématique est avant tout un savoir collectif, et que la pratique mathématique est une pratique collective. Elle est imbriquée dans des aspects socio-historiques, d’une manière qui ne saurait être réduite à l’image trop simplifiée d’une interaction entre un agent - le ou la mathématicien·ne - et un contexte socio-historique extérieur. Au contraire, l’interaction des pratiques collectives avec lesquelles un·e mathématicien·ne a été confronté·e dans sa vie professionnelle se cristallise dans sa pratique individuelle et unique. Ainsi, une enquête philosophique sur les pratiques mathématiques individuelles ne peut être complète sans reconnaître le rôle des communautés mathématiques et de leurs pratiques associées. Leur importance est d’autant plus cruciale dans les mathématiques contemporaines qui se caractérisent depuis la seconde guerre mondiale par une professionnalisation et une internationalisation croissante.

56Un aspect central de la pratique mathématique est constitué de la composante métamathématique, car elle façonne non seulement la manière dont les mathématicien·nes conduisent leur travail, mais aussi la manière dont ils et elles interagissent avec les connaissances mathématiques exogènes. De plus, ancrer la notion philosophique de métamathématique dans la notion sociologique de communauté mathématique est un mouvement décisif pour rendre opérationnel le concept de pratique collective. Cela permet de mettre en avant les aspects de la production mathématique qui dépendent de la communauté, démontrant à son tour que les connaissances mathématiques institutionnalisées et établies ne sont pas unifiées mais susceptibles de varier d’une communauté à l’autre. En fin de compte, il pourrait être très instructif de pousser plus loin ces considérations sociologiquement fondées afin d’étudier les usages différenciés auxquels les objets mathématiques sont soumis dans différentes communautés. Ainsi, réintégrer la dimension collective du travail mathématique apporte une perspective beaucoup plus dynamique à l’étude des pratiques mathématiques et de leurs interactions. Ceci illustre comment le fait de puiser dans la sociologie des sciences pourrait certainement profiter à la philosophie de la pratique mathématique.

Je remercie vivement Valeria Giardino pour ses conseils avisés et son encadrement lors de la phase préliminaire de ce travail. Je remercie les relecteur·ices anonymes sollicité·es par la RAC et Trilogía, et tout particulièrement Émilien Schultz sans qui le manuscrit sous sa forme actuelle n’aurait jamais pu voir le jour. Je tiens à le remercier pour la pertinence de ses remarques et pour le temps et l’énergie qu’il a pris pour corriger jusque dans leurs moindres détails les manuscrits successifs, et ce malgré les contraintes temporelles strictes. Cet engagement sans faille envers la revue et moi-même est d’autant plus important à souligner que les non-titulaires sont déjà largement surchargés de travail du fait de leur précarité professionnelle institutionnalisée. Merci beaucoup à Maëlys Tirehote-Corbin, Alexandre Vieira, Casey Blacker et Julien Larregue pour leur relecture et leurs conseils avisés dans la phase finale de rédaction. La version originale a été rédigée en anglais pour la revue Trilogía ; la traduction par l’auteur, de l’anglais vers le français, s’est en partie appuyée sur le logiciel DeepL (https://www.deepl.com/translator).
Ce travail a été partiellement financé par la bourse N° 075-15-2019-1620 du gouvernement de la Fédération de Russie.

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Notes

1 La notion dimage des mathématiques a été empruntée par Corry à la fin des années 1980 (Corry, 1989) à l’anthropologue Yehuda Elkana, qui l’a introduite afin de caractériser la connaissance scientifique en tant que système culturel (Elkana, 1981). Corry divise la connaissance mathématique en trois parties imbriquées : le corps de la connaissance, limage de la connaissance et la connaissance réflexive. Le corps de la connaissance est l’ensemble des théories, des « faits » ou des énoncés, des méthodes et des problèmes ouverts qui sont associés à un domaine scientifique. Contra Corry, je soutiens que le corps de la connaissance – dans la notion de pratique mathématique de Kitcher – correspond à la conjonction des énoncés acceptés S, des raisonnements acceptés R et des questions acceptées Q. Limage de la connaissance correspond à la métamathématique M. La connaissance réflexive regroupe les mathématiques qui sont prises comme sujet d’étude des mathématiques elles-mêmes. Cette notion pourrait certainement être analysée à la lumière des travaux dAlbert Lautman (Petitot, 1987).

2 La MSC est un système de classification alphanumérique développé par l’American Mathematical Society (AMS) afin de fournir une taxonomie détaillée de la recherche mathématique. Un domaine ou un sous-domaine est étiqueté par deux à cinq caractères alphanumériques, selon le nombre de niveaux utilisés dans ce système de classification hiérarchique.

3 Le choix de cette revue est basé sur l’observation qu’elle semble être de première importance dans la littérature de la théorie du contrôle géométrique sur la période. La période 1968-1982 a été choisie en se basant sur le contenu mathématique des articles de théorie du contrôle : les théoricien·nes du contrôle admettent qu’ils n’ont pas reconnu la pertinence du rôle de la géométrie dans leur domaine avant la fin des années 1960, et que cette nouvelle perspective a été acceptée au début des années 1980 (Lewis, 2018).

4 J’ai exécuté l’algorithme de visualisation de réseau avec les options suivantes : le poids des nœuds coïncide avec la fréquence de citation de leurs auteur·es associé·es, la mesure de proximité (poids) des arêtes est la mesure brute. Le fichier .gexf ainsi créé a ensuite pu être traité par le logiciel libre Gephi, dans lequel j’ai fusionné les nœuds associés à un·e même auteur·e mais qui n’avaient pas été détectés comme tels par CorText.

5 Pour s’assurer que le choix de ne prendre que les 150 auteur·es les plus cité·es ne nuise pas à l’analyse, l’algorithme List builder de CorText permet de vérifier que cette sélection représente environ 80 % de la fréquence cumulée des 300 auteur·es les plus cité·es (pour chaque période de 5 ans).

6 L’algorithme de visualisation de réseau de CorText propose un filtrage facultatif des arêtes afin de supprimer toutes celles dont le poids est inférieur à un certain seuil (la valeur minimale est 0). Cette procédure est justifiée par le fait que les arêtes doivent être filtrées afin de se débarrasser des arêtes insignifiantes qui empêchent de visualiser les caractéristiques les plus significatives du graphe. CorText Manager intègre une stratégie de détection du seuil optimal qui détermine un seuil qui minimise le nombre d’arêtes tout en conservant la connectivité globale du réseau. Ce seuil dépend du nombre de nœuds sélectionnés.

7 Les communautés apparaissant sur les graphes de l’étude de cas ont été obtenues en exécutant l’algorithme dit de Leiden (Traag et al., 2019) (avec résolution 1 et graine aléatoire), mais il s’avère qu’elles sont semblables à celles obtenues avec l’algorithme de Louvain (Blondel et al., 2008).

8 Je parle ici de la théorie du contrôle et non de la théorie du contrôle géométrique car, bien qu’il soit probable que la grande majorité des auteur·es citant les articles de Štefan, Sussmann et Nagano en théorie du contrôle soient des théoricien·nes du contrôle géométrique, la précision de la classification des journaux dans la base de données Web of Science n’est pas suffisante pour identifier avec certitude la sous-communauté de la théorie du contrôle à laquelle appartiennent les articles citants.

9 Le choix de la date de début peut être justifié par le fait que leurs résultats n’ont pas atteint un usage citationnel stabilisé avant au moins le milieu des années 1980. Une analyse de la littérature montre en effet que l’utilisation de la dénomination « théorème des orbites » était encore fluctuante à la fin des années 1980 : voir par exemple (Sontag, 1986) où l’expression « théorème des orbites » apparaît comme un nom générique. Dans la communauté de la géométrie différentielle, les données obtenues à partir de la recherche sur le Web of Science montrent que les travaux de Štefan et de Sussmann n’ont commencé à attirer l’attention que dans les années 1980.

10 La requête pour la période 1973-2020 (mars) a renvoyé 143 articles citant les travaux de Štefan, 422 articles citant ceux de Sussmann, et 108 articles citant ceux de Nagano. Entre 1993 et mars 2020, le travail de Štefan (tant l’article principal que sa note) a été cité par 119 articles dans la base de données du Web of Science, tandis que le travail de Sussmann a été cité par 327 articles. Parmi toutes ces références, seuls 118 articles du premier groupe et 312 articles du second groupe ont pu être consultés. En ce qui concerne le travail de Nagano, il a été cité par 55 items entre 1993 et mars 2020, parmi lesquels 54 ont pu être consultés.

11 Chez Sussmann les orbites sont celles du groupe des transformations infinitésimales engendrées par les flots d’une famille de champs de vecteurs. Štefan suit la même stratégie en introduisant cependant un objet ad hoc qu’il appelle flèches, et dont les flots de champs de vecteurs forment un cas particulier. Dans son article les orbites sont appelées des « ensembles accessibles ».

12 J’ai effectué un test du χ2 de Pearson sur le tableau 2, et ai obtenu que χ2 = 10,65, donc l’hypothèse nulle supposant l’indépendance des deux variables peut être rejetée avec une confiance supérieure à 0,99 %. D’autre part, le tableau 3 ne satisfait pas le critère de Cochran, j’ai donc effectué un test de Barnard et trouvé une p-value de 0,00022, ce qui permet aussi de rejeter l’hypothèse nulle.

13 Ces informations proviennent des données extraites de la requête faite sur le Web of Science concernant l’article de Nagano de 1966.

14 Les dernières catégories pour lesquelles l’article de Nagano a été cité consistaient à être une simple référence routinière (dans treize articles), et pour un autre résultat non lié aux feuilletages (une occurrence), de sorte qu’elles ont été exclues du tableau 4.

15 Le tableau 4 ne répond pas aux critères de Cochran, il n’est donc pas possible d’effectuer un test du χ2 de Pearson. Cependant, en fusionnant les deux dernières colonnes (étant donné que la condition de Hörmander est souvent associée au théorème des orbites), on peut effectuer le test sur le tableau 2 × 2 ainsi obtenu, et trouver χ2 = 5,66. Ceci signifie que l’on peut rejeter l’hypothèse nulle (que le motif de la citation et la communauté d’origine de la citation sont indépendants) avec un niveau de confiance d’au moins 98 %.

16 Nagano considère l’ensemble de toutes les variétés intégrales d’une sous-algèbre de Lie donnée de l’algèbre de Lie des champs de vecteurs passant par un point choisi x, et montre que cet ensemble n’est pas vide (c’est la partie difficile de la preuve). Il affirme ensuite que la feuille passant par x est l’union de toutes ces sous-variétés. La structure analytique de la feuille est prouvée en trois lignes et n’a même pas de lemme propre associé.

17 Cette observation a été faite en étudiant le corpus d’articles citant les articles de Štefan, Sussmann et Nagano. Il existe même des volumes collectifs consacrés à établir des liens entre le contrôle géométrique et d’autres domaines des mathématiques, comme la géométrie sous-Riemannienne (Štefani et al., 2014).

18 Ce qui peut être traduit par vision du monde ou idéologie.

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Table des illustrations

Titre Figure 1a : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1968-1972
Légende La taille des nœuds est proportionnelle au nombre de citations de leurs auteur·es associé·es. Les noms des cinquante auteur·es les plus cité·es sont indiqués (sauf dans la figure 1b où les noms de Hermann, Jurdjevic, etc. sont indiqués afin de les localiser). La représentation visuelle a été obtenue via l’algorithme Force Atlas sur le logiciel Gephi. Les couleurs indiquent les communautés déterminées par l’algorithme de Leiden : le sous-graphe violet est celui qui rassemble le plus de nœuds, puis vient le sous-graphe vert clair, puis le cyan, le jaune, l’orange, le magenta, et le vert foncé. La modularité du graphe 1a est de 0,51, celle du graphe 1b est de 0,66, tandis que celle du graphe 1c est de 0,59.
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-1.png
Fichier image/png, 982k
Titre Figure 1b : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1973-1977
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-2.png
Fichier image/png, 610k
Titre Figure 1c : Graphes de co-citations pour les 150 auteur·es les plus cité·es par le SIAM Journal on Control et le SIAM Journal on Control and Optimization entre 1968 et 1982 : 1978-1982
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-3.png
Fichier image/png, 1009k
Titre Figure 2 : Histogramme du nombre annuel d’articles, d’actes de colloques, de revues, de chapitres de livres, etc. (enregistrés sur le Web of science) qui contiennent les mots « geometric control » dans leur titre, résumé ou mots-clés, de 1990 à 2020.
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-4.png
Fichier image/png, 34k
Titre Figure 3 : Extraits de plusieurs manuels de théorie du contrôle géométrique.
Légende Le premier théorème est issu de (Jurdjevic, 1997, p. 33), le second de (Agrachev & Sachkov, 2004, p. 63) et le troisième de (Bullo & Lewis, 2005, p. 373). L’énoncé du théorème des orbites peut avoir différentes formulations, bien qu’elles aient toutes en commun d’inclure le premier énoncé et qu’elles correspondent généralement au Théorème 4.1 de la figure 4.
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-5.png
Fichier image/png, 105k
Titre Figure 4 : Extrait de l’article original de Sussmann publié dans les Transactions of the AMS (Sussmann, 1973b).
Légende On voit la distinction claire entre 1) ce qui est désormais appelé le « théorème des orbites », Théorème 4.1., et 2) la généralisation du théorème d’intégrabilité de Frobenius, Théorème 4.2.
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-6.png
Fichier image/png, 407k
Titre Figure 5 : Extrait de l’article original de Štefan publié dans les Proceedings of the London Mathematical Society (Štefan, 1974b).
Légende Le Théorème 1 est le théorème principal, présenté en tout début d’article, à partir duquel Štefan généralise le théorème de Frobenius. Il souligne que la partition de M par les « ensembles accessibles » (qu’il a préféré au terme « orbites ») forme un feuilletage singulier.
URL http://journals.openedition.org/rac/docannexe/image/22479/img-7.png
Fichier image/png, 43k
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Pour citer cet article

Référence électronique

Sylvain Lavau, « Qu’est-ce qu’un théorème (en pratique) ? »Revue d’anthropologie des connaissances [En ligne], 15-2 | 2021, mis en ligne le 01 juin 2021, consulté le 22 septembre 2021. URL : http://journals.openedition.org/rac/22479 ; DOI : https://doi.org/10.4000/rac.22479

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Auteur

Sylvain Lavau

Physicien mathématicien formé à la philosophie et à la sociologie des sciences, il est actuellement en post-doctorat à l’Institut Euler de Saint Pétersbourg et chercheur associé aux Archives Henri Poincaré.
ORCID : https://orcid.org/0000-0001-8931-1689

Adresse : Institut Euler (EIMI), Pesochnaya nab. 10, 197-022, Saint Pétersbourg (Russie).
Courriel : lavau[at]math.univ-lyon1.fr

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