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La formation de D'Alembert

Le « Traité de Géométrie » de Varignon et l’apprentissage mathématique du jeune D’Alembert

Jeanne Peiffer

Résumés

Cet article vise notamment la description et l’identification, dans la mesure du possible, du manuscrit 2469 de la bibliothèque de l’Institut intitulé « Traité de Géométrie démontrée par Monsieur de Varignon ». Il s’agit d’un cahier de notes en français d’un cours élémentaire de géométrie spéculative et pratique. La présence de ce cahier parmi les papiers de D’Alembert pose un certain nombre de questions auxquelles il sera tenté de répondre. Ces notes sont-elles de la main du jeune D’Alembert ? Le cours a-t-il été dicté par le professeur de D’Alembert, Léonor Caron ?  Il sera confronté au manuscrit latin 3654 de la bibliothèque Mazarine et aux Elemens de mathematique de Monsieur Varignon (Paris 1731) traduits en français par l’abbé Jean-Baptiste Cochet. Ce sera aussi l’occasion de faire le point sur ce que nous savons des premiers apprentissages et lectures de D’Alembert en mathématiques.

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Texte intégral

  • 1 Voir la « Liste chronologique des œuvres imprimées de D’Alembert » qu’Anne- Marie Chouillet a établ (...)

1La répartition chronologique des travaux de D’Alembert1 fait apparaître clairement que le jeune D’Alembert s’est prioritairement intéressé à des questions de physique mathématique, avant de se lancer dans l’aventure de l’Encyclopédie. En 1743, il publie son Traité de dynamique, l’année d’après celui des fluides, il traite de la cause générale des vents en 1746, s’intéresse à des problèmes d’astronomie et, en mathématiques, au calcul intégral et aux cordes vibrantes. Dans tous ces écrits, il met en œuvre des outils techniques d’une sophistication telle qu’il est légitime de se demander comment il a acquis le bagage mathématique nécessaire ? Cet article est l’occasion de faire le point, dans une première partie, sur ce que nous savons de la formation mathématique du jeune D’Alembert. Dans une deuxième partie, je m’intéresserai plus particulièrement à un manuscrit conservé parmi les papiers de D’Alembert à la Bibliothèque de l’Institut. Il s’agit de notes d’un cours élémentaire de géométrie attribué à Pierre Varignon, premier titulaire de la chaire de géométrie du collège Mazarin. La présence de ce manuscrit dans les papiers de D’Alembert pose un certain nombre de questions auxquelles je tenterai d’apporter quelques éléments de réponse.

La formation mathématique de D’Alembert. Témoignages et premiers écrits

2Dans l’état actuel de nos connaissances, nous savons peu de choses précises concernant la formation mathématique de D’Alembert. Il y a d’abord son propre témoignage sur les cours suivis au collège Mazarin, puis les tout premiers textes rédigés par D’Alembert, dont certains restés inédits, qui nous livrent des indices sur les lectures du jeune D’Alembert.

Le cours de Léonor Caron au collège de Mazarin

  • 2 Blake T. Hanna, «D’Alembert à l’université », Sciences, musiques, Lumières. Mélanges offerts à Anne (...)
  • 3 Voir «Le mémoire de D’Alembert sur lui-même », édité par Irène Passeron dans ce numéro.

3Dans un récent article, Blake T. Hanna2 a présenté le résultat de ses recherches d’archives concernant D’Alembert à l’université. Rappelons que ce dernier s’est inscrit en 1730 au collège des Quatre-Nations et fut reçu maître-ès-arts le 2 septembre 1735. Par conséquent, le jeune D’Alembert a dû y faire sa philosophie de 1733 à 1735. Pendant ces deux années, il suivit le cours de mathématiques dispensé par Léonor Caron, comme D’Alembert lui-même en témoigne dans « Mémoire de D’Alembert, par lui-même »3, rédigé à la troisième personne:

4Le seul fruit que D’Alembert remporta de ces deux années de philosophie, ce fut quelques leçons de mathématiques élémentaires qu’il prit au même collège sous M. Caron, qui y professait alors cette science, et qui sans être un profond mathématicien, avait beaucoup de clarté et de précision. C’est le seul maître qu’ait eu D’Alembert ; le goût qu’il avait pris pour les mathématiques, se fortifiant de plus en plus, il se livra avec ardeur à cette étude pendant son cours de droit, qui lui laissait heureusement beaucoup de temps. Sans maître, presque sans livres, et sans même avoir un ami qu’il pût consulter dans les difficultés qui l’arrêtaient, il allait aux bibliothèques publics, il tirait quelques lumières générales des lectures rapides qu’il y faisait ; et de retour chez lui, il cherchait tout seul les démonstrations et les solutions. Il y réussissait pour l’ordinaire ; il y trouvait même souvent des propositions importantes qu’il croyait nouvelles ; et il avait ensuite une espèce de chagrin, mêlé pourtant de satisfaction, lorsqu’il les retrouvait dans les livres qu’il n’avait pas connus.

  • 4 En tant qu’« appelant » ou opposant à la bulle papale Unigenitus, Caron fut obligé par lettre de ca (...)
  • 5 BnF, papiers Joly de Fleury, ms 1712, fol. 173v. Un grand merci à Patrick Latour, Bibliothèque Maza (...)

5Léonor Caron, que D’Alembert – et c’est notable – reconnaît comme son « seul maître », succéda en 1722, âgé alors de 32 ans, à Pierre Varignon, premier détenteur de la chaire de mathématiques du collège Mazarin, dont il avait été l’élève. Janséniste4, l’abbé Caron fut destitué de ses fonctions par lettre de cachet le 29 septembre 1739. Dans un document5 plus tardif, daté du 10 septembre 1766, le grand maître du collège, Riballier, relate cet événement comme suit:

6M. Caron succéda en 1722 au celebre Varignon, on peut dire, sans lui faire injure, qu’il n’a point soutenu la réputation de son predecesseur ; il n’est jamais sorti de la Sphere etroite des premiers elemens. En 1739 il crut que sa conscience l’obligeoit de s’opposer a la revocation de l’appel de la faculté des arts. l’on n’auroit pas trouvé étrange qu’un mathematicien n’eut pas pris parti dans cette querelle. il en fut la victime ; cette demarche servit de pretexte pour le faire sortir du College ou il étoit fort incommode par son humeur chagrine et tracassiere.

  • 6 BnF, papiers Joly de Fleury, ms 1712, fol. 134-136. Le document peut être daté de 1766.

7Caron y est dépeint comme un homme acariâtre dont on était content de se débarrasser et comme un professeur médiocre. Si en 1766, on se souvint encore de sa méchante humeur, c’est qu’après la mort prématurée, en 1762, de son successeur dans la chaire de mathématiques, l’abbé de La Caille, Caron avait retrouvé son poste. Ce qui n’alla pas sans poser quelques problèmes, comme en témoigne une requête6 adressée aux « Gens du Roy » afin qu’ils emploient leurs bons offices pour faire sortir la classe de mathématiques du collège Mazarin « de l’état de nullité où elle se trouve ». C’est l’occasion pour l’auteur de la requête de faire une brève histoire de la chaire :

8Cette chaire à l’établissement du College fut remplie par le célèbre Varignon. Pour se conformer à l’usage de l’Université il donna ses Leçons en latin, et comme les Livres de Mathematiques n’étoient pas aussi multipliés qu’ils le sont devenus depuis, il dictoit des cahiers pendant près de trois quarts d’heure, et faisoit son explication le reste du tems.

9À sa mort arrivée en 1722, le sieur Caron fut nommé pour le remplacer. Eleve lui-même de M. Varignon, il continua ce qu’il avoit trouvé établi, c’est à dire qu’il dicta ses Leçons en latin.

  • 7 Nicolas de la Caille, Leçons élémentaires de mathématiques, Paris, J. Collombet, 1741.

10La Caille innova en la matière. En effet, il avait fait imprimer son cours7 en français et consacra la leçon tout entière à expliquer les mathématiques, sans avoir à dicter de cours. Cette démarche avait, aux dires de l’auteur de la requête, été couronnée de succès:

11Cette méthode eut tout le succès qu’il pouvoit desirer ; elle contribua beaucoup par elle-même, independemment du mérite et de la célébrité du Professeur, à lui attirer une foule d’Ecoliers, dont plusieurs ont fait depuis les plus grands progrés dans cette science, et font aujourd’hui l’ornement des Academies sçavantes.

12En 1762 [... ] le Sr Caron survivoit encore à sa disgrace, quelques personnes de considération touchés de son sort s’intéressèrent pour lui faire rendre la place qu’il avoit occupée autrefois, et qui se trouvoit vacante. Les choses réussirent à leur gré ; le Sieur Caron rentra en possession de sa chaire (à 72 ans).

13Mais toujours prévenu en faveur de son ancienne methode, trop agé pour adopter la nouvelle, et pour s’y conformer, il reprit son usage de dicter des cahiers, et de les dicter en latin.

  • 8 Cité par Alain Firode dans ce volume.

14Tout médiocre et rigide qu’il apparaît ici, Caron a pourtant su, en début de carrière, s’imposer au jeune D’Alembert qui reconnaît avoir appris de lui les mathématiques élémentaires. Adrien Geoffrey, un des régents de philosophie, dit de lui: « Là où Orphée chante, le simple pâstre se tait »8. Le chant d’Orphée a séduit D’Alembert. L’enseignement de Caron, clair et précis sans être profond, a ouvert à D’Alembert un monde peut-être inconnu jusqu’alors. N’est-ce pas dans les mathématiques, plus que dans l’enseignement d’un médiocre professeur, que D’Alembert reconnaît son « seul maître » ? Dès 1736, juste après avoir quitté le collège et alors qu’il est en première année de droit, D’Alembert (âgé alors de 19 ans) s’essaie à la rédaction d’un premier mémoire mathématique, qui nous est parvenu sous forme manuscrite, donnant ainsi forme à son ambition de maîtriser les arcanes de cette discipline.

Des lectures mathématiques du jeune D’Alembert

15Dans le laps de temps s’écoulant entre son départ du collège de Mazarin, en 1735, et l’année de sa première publication, 1740, D’Alembert a poursuivi son initiation aux mathématiques à travers la lecture de manuels de la génération précédente, comme ceux de L’Hôpital, de Guisnée et de Reyneau. C’est ce que laisse supposer la forme de ses premiers écrits qui se présentent comme des éclaircissements, des commentaires ou des corrections de ces manuels.

  • 9 Ce manuscrit de 110 pages est conservé à la Bibliothèque de l’Institut, ms. 2033. Il fera l’objet d (...)
  • 10 Application de l’algèbre à la géométrie ou Méthode de démontrer par l’algèbre, les Theorêmes de geo (...)
  • 11 Il s’agit du Traité analytique des sections coniques, Paris, 1707, de L’Hôpital et non de la célèbr (...)

16Ainsi, le 23 novembre 1736, D’Alembert finit la rédaction, restée inédite, des « Remarques & éclaircissemens sur différens endroits de l’application de l’algèbre à la géomètrie de Mr. de Guisnée »9. Il s’agit d’un commentaire plus ou moins continu qui témoigne d’une lecture soutenue de l’Application de l’algèbre à la géométrie (1705)10 de Nicolas Guisnée. Ce dernier ouvrage peut être qualifié de géométrie analytique dans le prolongement de La géométrie de Descartes. Les problèmes y sont traduits en termes algébriques, une équation ou un système d’équations, et résolus par des techniques algébriques dans le but d’exhiber, si possible, une solution du problème. Les résultats de ces manipulations sont retraduits en termes géométriques et font l’objet d’une construction. L’ouvrage appartient à la littérature pédagogique, marquée par le projet de réforme de l’enseignement des mathématiques que Nicolas Malebranche avait promu dans les collèges de l’Oratoire. C’est plus vrai encore du Traité analytique des sections coniques rédigé par L’Hôpital11 sous la pression de Malebranche et paru à titre posthume en 1707. Dans ses « Remarques & éclaircissemens », D’Alembert se livre, pour la partie consacrée aux coniques, à une étude comparative des méthodes appliquées par l’un et par l’autre des deux auteurs.

  • 12 Christian Gilain a pu reconstituer le contenu de ce mémoire. Voir Christian Gilain, « D’Alembert et (...)

17Dès 1739, D’Alembert communique à l’Académie des sciences un premier court mémoire, présenté le 29 juillet par Alexis Clairaut et l’abbé de Bragelogne dont le rapport subsiste. Ce mémoire12, dont nous ne possédons pas le manuscrit, a pour objet la correction d’erreurs découvertes dans l’Analyse démontrée (1708) du Père Charles René Reyneau, proche de Varignon et appartenant lui aussi au cercle de Malebranche. Ce mémoire n’a pas donné lieu à publication, mais sa simple existence témoigne de la part de D’Alembert d’une étude soutenue de l’Analyse de Reyneau, dont le tome 2 de la seconde édition venait de paraître en 1738. C’est dans ce manuel que D’Alembert a pu apprendre le calcul différentiel et intégral.

  • 13 Thomas Hankins, Jean d’Alembert. Science and the Enlightenment, New York, etc., Gordon and Breach, (...)
  • 14 Voir par exemple Traité de dynamique, Paris 1743, p. 20-22. D’Alembert y renvoie d’ailleurs à un mé (...)
  • 15 « Mémoire historique sur la vie & les ouvrages de M. Jean Bernoulli », Mercure de France de mars 17 (...)
  • 16 Ibid., p. 39.

18C’est donc dans les manuels de mathématiciens liés, comme Hankins 13 l’a déjà constaté, au milieu intellectuel de Malebranche que D’Alembert a parfait son initiation aux mathématiques, au-delà des éléments appris au collège. Lorsqu’il a voulu acquérir un niveau plus élevé, il s’est sans doute tourné vers des publications plus spécialisées, comme les Mémoires de l’Académie royale des sciences ou les Acta eruditorum. En effet, les techniques introduites par Varignon dans ses mémoires académiques concernant l’étude des forces centrales14 sont connues de D’Alembert, car on en trouve trace dans son Traité de dynamique. Par ailleurs, à l’occasion du décès de Jean Bernoulli, en 1748, D’Alembert fait insérer dans le Mercure de France un éloge15 qui témoigne d’une connaissance étendue et approfondie des travaux du Bâlois. Il souhaite « rendre hommage » à sa mémoire, car c’est à lui qu’il doit « le peu de progrès qu’il a fait en Géométrie »16. En présentant les travaux scientifiques de Bernoulli, D’Alembert suit de fait l’ordre donné par les quatre volumes des Johannis Bernoulli Opera omnia, parus en 1742. C’est donc après cette date qu’il a dû prendre connaissance de l’ensemble de cette œuvre, même s’il a pu lire certains de ses articles dans les journaux de Paris ou de Leipzig.

  • 17 Journal des savants, mai 1740, p. 286-296.
  • 18 « Remarques sur quelques endroits des Principes de Newton », manuscrit conservé à la Bibliothèque d (...)

19La toute première publication17 de D’Alembert est un compte rendu, dans le Journal des savants de mai 1740, de l’ouvrage Usage de l’analyse de Descartes (Paris 1740) de Jean-Paul de Gua de Malves. Ce livre étudie les courbes du troisième ordre, leur classification et leurs points singuliers. D’Alembert mobilise, dans son compte rendu, toutes les ressources mathématiques récemment acquises en se référant à Saurin, Bernoulli, L’Hôpital, Bragelogne, Maupertuis et Newton. Il a dû étudier Newton et ses Philosophiae naturalis principia mathematica peu après 1739, car nous disposons d’un commentaire manuscrit18 de l’édition annotée par Thomas Leseur et François Jacquier. Par ailleurs, D’Alembert cite explicitement Newton, mais aussi Euler, Daniel Bernoulli, Varignon et le Treatise of Fluxions de Maclaurin dans son Traité de dynamique. À partir de 1740, c’est l’œuvre même qui est notre première source pour reconstituer les lectures et apprentissages de D’Alembert.

20Après une initiation aux mathématiques élémentaires dont nous ne savons pas grand’chose, D’Alembert parfait ses connaissances en géométrie analytique et en analyse dans les manuels issus du cercle des mathématiciens autour de Malebranche (Guisnée, L’Hôpital, Reyneau). Vont s’y superposer des connaissances plus spécialisées tirées des auteurs célèbres comme Jean Bernoulli et Isaac Newton, mais aussi de certains de ses contemporains, parmi lesquels Maupertuis, Gua de Malves et Maclaurin, sans que nous puissions exclure d’autres lectures qui n’ont pas laissé de traces visibles dans les premiers écrits de D’Alembert.

« Traité de Géometrie Démontrée par Monsieur de Varignon »

21À travers l’analyse du manuscrit dont le titre figure ci-dessus, nous allons revenir, dans cette seconde partie, sur l’apprentissage des mathématiques élémentaires au collège des Quatre-Nations à l’époque de D’Alembert.

22Des notes manuscrites du cours de Varignon conservées parmi les papiers de D’Alembert

  • 19 Les dimensions de ce cahier sont approximativement de 17 cm par 22 cm. Le cahier est paginé et les (...)

23D’Alembert, comme l’on sait, a légué ses papiers à Condorcet, alors secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences. Au XIXe siècle, la fille Elisa de Condorcet, épouse O’Connor, a déposé le Nachlass de son père à la Bibliothèque de l’Institut, et avec lui le legs de D’Alembert. Les papiers de celui-ci ont été regroupés à un moment donné dans les volumes 1786-1794 et 2466-2474 de cette bibliothèque. Le volume 2469, « Géométrie de Varignon & autres ouvrages de géométrie élémentaire », ouvre sur une note manuscrite, non signée et non datée : « Ces manuscrits me semblent de la main de D’alembert, et, en ce cas, sont les fruits de ses premières études géométriques ». Le manuscrit qui désigne ce volume factice est un cahier19 non daté de 220 pages (+ 25 pages de figures) : « Traité de Géometrie Démontrée par Monsieur de Varignon de L’académie des sciences, professeur Royal des mathematiques au College mazarin a Paris ».

  • 20 Thomas Hankins, Jean d’Alembert. Science and the Enlightenment, New York, etc., Gordon and Breach, (...)

24La présence de ce « Traité de Géometrie » parmi les manuscrits de D’Alembert soulève un certain nombre de questions. Et d’abord il convient de s’interroger sur la graphie de ce manuscrit. Correspond-elle bien à celle de D’Alembert comme le suppute l’auteur anonyme (Lacroix ?) de la note manuscrite mentionnée ci-dessus ? Puis, si c’était le cas, pourrait-il s’agir de notes prises par le jeune D’Alembert au cours de mathématiques dicté par Léonor Caron ? Celui-ci se serait alors contenté, à croire le titre du manuscrit, de suivre le cours de son prédécesseur, Pierre Varignon. C’est ce que suggère Thomas Hankins lorsqu’il écrit: «D’Alembert was taught mathematics by a Professor Caron, who led him through the lectures of Varignon... »20. Or, aucune de de ces questions ne semble pouvoir recevoir une réponse positive.

25La comparaison de l’écriture du cahier « Traité de Géometrie... » avec le manuscrit 2033 consacré aux remarques et éclaircissements sur l’ouvrage de Guisnée rédigé et daté par D’Alembert en 1736, donc postérieur de quelques années, n’est pas concluante. Les deux écritures n’ont apparemment rien en commun et il semble difficile d’attribuer la rédaction des notes de cours à la main de D’Alembert (voir échantillons à la fin de l’article).

26Il pourrait en revanche bien s’agir d’un cours dicté. En témoignent certaines fautes d’orthographe, le ton un peu plus personnel de certaines phrases et l’emploi du « je » dans les « avis » inclus dans une structure par ailleurs fortement déductive et dont il sera question plus loin. A-t-il pu être dicté par Léonor Caron comme Hankins le suppose ? Les notes sont en français. Or, nous avons vu ci-dessus que Léonor Caron avait conservé l’habitude de dicter en latin, puisqu’en 1766 on le lui reprochait explicitement. La même chose vaut pour Varignon dont le cours était en latin.

27Il convient alors de s’interroger sur les liens de ces notes manuscrites avec le cours que Varignon professait en latin au collège des Quatre-Nations et qui nous est parvenu sous forme d’un manuscrit latin et d’une traduction française posthume. Avant d’entrer dans les détails de la confrontation, je rappellerai brièvement le rôle de ce personnage dans l’enseignement et la vie académique de l’époque.

Le célèbre Varignon

  • 21 Hors le ms 2469 de la Bibliothèque de l’Institut, noté désormais BI 2469, nous sont parvenus un cou (...)
  • 22 Cinq thèses nous sont parvenues, dont quatre soutenues entre 1690 et 1704 au collège de Mazarin. Vo (...)
  • 23 Voir René Taton, Enseignement et diffusion des sciences en France au XVIIIe siècle, Paris, Hermann, (...)

28Pierre Varignon (né à Caen en 1654) a acquis de son vivant une certaine notoriété qui se traduit, dans les textes que nous avons cités ci-dessus, par l’épithète «célèbre » accolé constamment à son nom. Ordonné prêtre entre 1676 et 1679, c’est la cléricature qui lui permit d’étudier à l’université de Caen, dont il fut reçu maître-ès-arts le 15 septembre 1682, alors qu’il avait déjà près de 30 ans. Son ami Charles Irénée de Saint-Pierre lui offrit en 1686 de s’installer à Paris et partagea son logis et ses rentes avec lui. Dès 1687 parut à Paris le Projet d’une nouvelle Mechanique qui eut pour son auteur, Varignon, une conséquence positive presqu’immédiate. Il fut nommé géomètre à l’Académie royale des sciences et devint le premier titulaire de la chaire de mathématiques du collège Mazarin. Quelque temps après, il vint habiter le collège où il s’est éteint le 23 décembre 1722. Des versions manuscrites de ses cours d’algèbre, de géométrie et d’optique sont conservées21. Varignon fit soutenir des thèses22 sur l’architecture militaire, l’optique, le mouvement et la force des machines. Dès 1704, il occupa également la chaire de philosophie grecque et latine au Collège royal. La liste23 des sujets traités, telle qu’elle a pu être établie par René Taton, fait apparaître des sujets de philosophie naturelle, comme la résistance des corps, la lumière et les couleurs, les lois de la mécanique, etc. Varignon savait clairement tirer profit de la liberté qu’offrait cette institution quant au choix des intitulés de cours.

  • 24 Der Briefwechsel von Johann Bernoulli 2-3: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon. Erster Teil (1692- (...)

29Normand comme Fontenelle, il put établir des contacts importants avec le milieu animé par Malebranche et avec les cartésiens en général. Les avis de Varignon étaient sollicités par les oratoriens, et notamment par Reyneau. En octobre 1692, Varignon rencontra Jean Bernoulli à Paris. Ce fut le début d’une longue amitié et d’un échange épistolaire24 qui ne s’est jamais interrompu jusqu’au décès de Varignon. Ces proximités intellectuelles firent de Varignon un ardent défenseur de l’introduction du calcul infinitésimal leibnizien en France. Et pourtant, il n’ a jamais enseigné cette matière à ses élèves. Pour l’année académique 1722-1723, il avait annoncé un cours au collège royal sur les lois fondamentales du calcul infinitésimal et la physique supérieure, mais la mort ne lui a pas permis de réaliser ce programme. Dans plus d’une centaine de mémoires communiqués notamment à l’Académie, Varignon appliqua ce calcul à de nombreux problèmes de mécanique. Sans avoir laissé de résultats auxquels son nom serait resté attaché, il a notamment traduit en langage leibnizien la mécanique newtonienne, réussissant ainsi à établir des ponts entre les deux formes du calcul infinitésimal – et ce à une époque où l’opposition entre les deux calculs, leibnizien et newtonien, était on ne peut plus vive. Il s’attacha également à la clarification des principes de la mécanique.

Les éléments de géométrie de Varignon : Nos sources

30Le fait que D’Alembert ait encore pu se servir du cours de géométrie élémentaire de Pierre Varignon, une douzaine d’années après la disparition de son auteur, témoigne du rayonnement de celui-ci dans le premier tiers du XVIIIe siècle. Mais il convient d’abord d’établir l’identité des notes conservées par D’Alembert avec le cours de géométrie de Varignon. Nous disposons de deux versions de ce cours, un manuscrit latin et une version imprimée en français:

  • 25 Le manuscrit latin 3654 de la Bibliothèque Mazarine comporte en haut à droite une marque d’appropri (...)

31• Le manuscrit latin25 est intitulé « Tractatus de Geometria elementari cum speculativa tum practica Datus a D.D. Varignon. Mathematicarum Emerito professore in Collegio Mazarinaeo anno 1716.1717 » et conservé à la Bibliothèque Mazarine (ms latin 3654). Le cours est en deux parties, l’une de géométrie spéculative divisée en cinq livres (p. 1-174), l’autre de géométrie pratique (p. 175-298), plus un appendice de trigonométrie sphérique (p. 299-376).

  • 26 Elemens de mathematique de Monsieur Varignon, des Académies Royales de France, d’Angleterre, & de P (...)

32• Les Elemens de mathematique de Monsieur Varignon26 ont été publiés en traduction française par l’abbé Jean-Baptiste Cochet en 1731, neuf ans après la disparition de l’auteur du cours. Le livre a été publié avec Approbation et Privilège du Roy. L’approbation date du 17 décembre 1730 et est signée Fontenelle: « J’ai lû par ordre de Monseigneur le Garde des Sceaux, ces Elémens de Mathématique; j’ai cru que sur le nom seul du célébre M. Varignon, il n’y auroit pas à douter que l’impression n’en dût être très-utile ». Le privilège royal date du 22 mars 1731. Dans une lettre dédicatoire, le livre est adressé à Louis de Bourbon-Condé, comte de Clermont, fondateur en 1729 d’une Société des arts, à laquelle participait Jean-Paul Gua de Malves, un des auteurs lus par le jeune D’Alembert.

  • 27 Charles Jourdain, Histoire de l’université de Paris au XVIIe et au XVIIIe siècle, Paris, Hachette, (...)
  • 28 À Paris, chez Claude Herissant, Fils, 1756. Pour la citation, voir p. ix.

33Jean-Baptiste Cochet est, selon Charles Jourdain27, licencié en théologie de la maison de Sorbonne, régent de philosophie au collège de Mazarin (en même temps que Geoffroy) et recteur d’octobre 1746 à octobre 1748. Dans les années 1750, il rédige ses cours de logique, de métaphysique, de morale et de physique expérimentale. Lorsqu’il publie en 1756 le dernier volet, La Physique expérimentale et raisonnée28, il écrit à la fin de sa préface :

  • 29 Selon le catalogue collectif de France, un exemplaire de la thèse de Cochet intitulée « Quaestio th (...)

34Pour Cochet, sa traduction des éléments de mathématiques de Varignon fait donc partie intégrante de son projet, achevé vingt-cinq ans plus tard, de publier un cours complet de philosophie en français. Il est notable qu’il en ait commencé l’exécution par les mathématiques qu’il a publiées sous la forme d’un bel in-quarto alors que les autres parties doivent se satisfaire d’un petit format (in-16). Il doit s’agir d’un de ses premiers travaux, car il a soutenu sa thèse29 de théologie le 18 avril 1730.

35Dans une préface très élogieuse pour Varignon, Jean-Baptiste Cochet reconnaît explicitement être le traducteur des Elémens :

36Les éléments de géométrie proprement dits y sont précédés d’un abrégé d’algèbre et d’arithmétique, qui traite des quatre opérations élémentaires, des proportions et fractions, de l’extraction des racines et des équations (66 pages + table des matières). Les éléments de géométrie (155 pages, pagination indépendante) sont divisés en deux parties : La géométrie spéculative et la géométrie pratique.

37Une confrontation rapide de ces deux versions avec le manuscrit conservé dans les papiers de D’Alembert montre à l’évidence que nous avons affaire à un même cours, bien que les trois versions diffèrent légèrement entre elles. Dans la suite, je vais donner une description succincte du contenu de ce cours, tout en signalant les principales différences entre les trois versions.

Description succincte du « Traité de Géometrie » de Pierre Varignon

  • 30 Cette description suit le manuscrit BI 2469 ayant appartenu à D’Alembert. Je l’appellerai cahier de (...)

38Le « Traité de Géometrie »30 de Varignon est subdivisé en six livres. Le premier est consacré aux lignes droites et circulaires, le deuxième aux « surfaces ou superficies », le troisième aux « proportions en general » ou « Regles qui servent à comparer les grandeurs entre elles », le quatrième aux « proportions, lignes droites et figures qui en sont renfermées » et le cinquième aux « corps ou solides ». On y retrouve donc la subdivision classique en lignes (Livre 1), aires (Livre 2) et solides (Livre 5). Pour pouvoir comparer les aires entre elles, on a besoin d’une théorie des proportions (Livre 3) et de la similitude (Livre 4). Le dernier et sixième livre est intitulé « De la pratique » et se compose de problèmes résolus, y compris à l’aide d’instruments dont l’élève apprend le maniement. Dans le manuscrit latin et les Elemens de Cochet, ce livre s’autonomise pour constituer une deuxième partie du cours.

39Les cinq premiers livres de géométrie spéculative (ou la première partie) de ce traité ont une structure très fortement et sèchement déductive. Des axiomes ayant été posés, il y est procédé par définitions, corollaires, éventuellement lemmes, théorèmes et démonstrations. Celles-ci ne sont qu’une suite d’énoncés de propriétés avec des renvois aux axiomes, définitions et théorèmes qui précèdent. Parfois on distingue deux cas, chacun ayant sa démonstration particulière. On n’y trouve guère d’explications, ni de commentaires, rarement des exemples. Ceux-ci sont traités sous la forme de problèmes dans la partie consacrée à la géométrie pratique.

40Dans le cahier de D’Alembert sont cependant insérés des « avis » – ou « monita » dans le manuscrit latin de la Mazarine où ils sont également présents – qui ont un statut un peu différent. Le professeur s’y adresse directement aux élèves. Il lui arrive de dire « je », surtout en français, le latin privilégiant le « nous » ou des formes plus impersonnelles pour le même type de remarques. Ces avis accompagnent, pour ainsi dire, l’édifice purement déductif que le professeur construit devant ses élèves. Cette voix « off » commente ce que le professeur est en train de faire, annonce d’où l’on vient et où l’on va, crée donc des liens, apporte des précisions techniques (souvent algébriques) et introduit des notations. Dans la suite, je m’appuyerai sur cette voix d’accompagnement pour commenter la structure du cours.

41Le traité débute ainsi :

  • 31 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 1/2.

42L’algebre que l’on appelle en general la mathématique a pour obiet la quantité. C’est a dire que cette science sapplique a tout ce qui peut etre augmenté, ou diminué, a ce qui peut etre plus grand, ou plus petit qu’une autre chose, ou qui peut luy etre égal ; en un mot a tout ce qui peut etre nombré, ou mesuré, qui est ce qu’on appelle quantité ; mais comme l’on distingue deux sortes de quantiteés ; scavoir la quantité continuë dont toutes les parties sont jointes ensemble, et la quantité discrette dont les parties sont desunies et separées, lesquelles quantités on appelle la grandeur et la multitude de meme la mathematique en general n’a que deux parties : sçavoir la geometrie, et l’harithmétique dont la premiere sapplique a la grandeur et l’autre a la multitude, de sorte que tout ce que l’ algebre demontre est également vray dans la geometrie et dans l’harithmétique qui sont les deux seules et uniques parties de la mathematique a legard des autres sciences qu’on appelle ordinairement parties de mathematiques, telles sont l’astronomie, loptique, l’adioptrique la catoptrique la mecanique ou science des mouvemens ; l’architecture civile et / militaire, ce sont plutost des parties de phisique que de mathematique, et on ne les appelle parties de mathematique que parce quelles sont entierement fondées sur la geometrie dont je vais donner les elements31.

  • 32 Incipit du ms. 3654 de la Bibliothèque Mazarine, p. 1-4: «Antequam geometriae ingredias penetralia (...)

43Le professeur, Pierre Varignon ou l’auteur de la traduction conservée dans les papiers de D’Alembert, restreint ici les mathématiques à la géométrie et à l’arithmétique. Il renvoie les autres sciences mathématiques comme l’astronomie, l’optique, la mécanique, etc. vers la physique bien qu’elles soient fondées entièrement sur la géométrie. On peut encore y lire un rapport de subordination à la géométrie. Cochet dans sa traduction ne retient de même que deux parties pour les mathématiques, qu’il nomme géométrie et algèbre. Les autres sciences mathématiques sont, pour lui, une « application de l’Algébre & de la Géométrie à la Physique ». Mathématique et physique existent indépendamment l’une de l’autre, mais la première s’applique à la seconde. Le manuscrit latin32 est plus explicite, puisqu’il explique que ces sciences auxquelles on donne le nom de mathématiques requièrent des résultats démontrées en géométrie pour les appliquer à leur propre matière. Signalons en passant que dans le Traité de dynamique (1743), D’Alembert élève la mécanique au rang de science mathématique au même titre que la géométrie ou l’algèbre/arithmétique.

  • 33 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 2.
  • 34 Le manuscrit latin est ici encore plus explicite : «Atque ex his omnibus sequitur non per solam men (...)
  • 35 Traduction de Cochet, Elemens de geometrie, p. 1.

44La géométrie, qui est l’objet du traité, est « la science des grandeurs telles que sont les distances des lieux, les longueurs des chemins, les largeurs des rivierres et des fosses, [... ] C’est ce qui fait que cette partie des mathematiques a pour objet la ligne, la superficie, et le corp »33. Pierre Varignon se donne le corps solide – « ce qui a de Letenduë de tous côtées » –, puis en déduit les aires qui ne sont que ses extrémités sans profondeur. De même, les extrémités sans largueur sont des lignes, dont les extrémités sont des points. Varignon ajoute: « Il suit de tout cecy que les superficies, les lignes et points sont en nature avec les corps », c’est-à-dire qu’avec les corps, qui existent en nature, sont donnés les aires, les lignes et les points. Ceux-ci existent réellement et non seulement par abstraction mentale34. L’abbé Cochet ne se soucie pas de la nature de l’existence des lignes, surfaces et corps. Il pose35 simplement:

45L’étenduë en longueur considérée sans largeur & profondeur, se nomme ligne. L’étenduë en longueur & largeur considerée sans profondeur, se nomme surface. L’étenduë en longueur, largeur & profondeur, se nomme corps ou solide. Ces trois sortes d’étenduë sont l’objet de la Géométrie.

  • 36 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 3/4.

46Dans les deux cours manuscrits suivent ensuite « Des principes de geometrie »36, qui sont absents de la traduction de Cochet:

47La geometrie commence par des principes si aiseez a comprendre, qu’il n’y a personne qui puisse les nier ; En suite elle ne met rien en avant qui par un raisonnement clair et net ne soit prouvé par ses principes : et c’est de cette maniere que cette science nous prouve et nous demontre ses admirables propositions qui du premier abord paroissent Incroyables, elle ce sert pour cela de trois sortes de principes, sçavoir, les axiomes ou maximes, les definitions et les demandes, ou suppositions.

  • 37 BI 2469, Traité de Géométrie, avis 2, p. 9.

48Des définitions des notions d’axiome, demande, problème, théorème, corollaire et lemme ayant été données, puis huit axiomes ayant été posés, le professeur formule un avis : « Je ne suppose rien dans les cinq premiers Livres sinon que l’on puisse imaginer des lignes droittes tirées d’un point a un autre et prolongées autant qu’il en sera besoin »37. On peut alors entrer dans le vif du sujet. Chacun des cinq premiers livres ouvre sur une phrase introductive présentant le contenu. Ainsi, pour le « Livre premier de la geometrie, Des lignes » : nous traiterons dans ce livre des lignes qui sont de deux sortes, scavoir les droittes et les circulaires Ce Livre est divisé en trois chapitres ; dans le premier nous parlerons des lignes droittes et des angles quelles font. Dans le second nous parlerons des lignes circulaires et de leurs rencontres avec les lignes droittes et entre elles ; dans le troisieme nous expliquerons la mesure des angles.

  • 38 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 9.
  • 39 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 10.

49Le chapitre 1 débute avec la définition de la ligne droite, qui est « la ligne la plus courte de touttes celles qu’on peut mener ou imaginer d’un point a l’autre »38. Toutes les autres s’appellent lignes courbes. Il est remarquable que le point n’a pas été défini dans la structure déductive, il est donné comme préalable. Dans l’ensemble des lignes, seules les droites se distinguent, toutes les autres sont dites courbes. Un certain nombre de propriétés sont déduites sous forme de corollaires de cette définition, comme « d’un point a un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droitte » ou « deux lignes droittes ne peuvent renfermer aucun espace », puis la voix du maître dit39 :

  • 40 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 11.

50Suivent les définitions de plan et d’angle40 :

51Deffinition II

52Une superficie a laquelle on peut appliquer une ligne droitte de tous sens, sappelle plan ou superficie plane, toutte autre sappelle superficie courbe.

53Deffinition III

54L’ouverture qui se fait a la rencontre de deux lignes inclinées l’une a l’autre dans un mesme plan sappelle angle plan ou simplement angle.

55Trois sortes d’angle sont introduites : les angles rectiligne, curviligne et mixtiligne, puis un avis attire l’attention des élèves sur la manière de noter les angles et donne un exemple.

56Vous remarquerés que dans la suitte nous nommerons les angles par trois lettres, dont celle du milieu signifie le sommet de l’angle ainsy l’orsque nous nommons l’angle DBE son sommet sera marqué par B.

  • 41 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 31.

57Après avoir défini l’angle droit et la perpendiculaire, Varignon démontre trois théorèmes (dont un avec sa réciproque) sur les droites sécantes et les angles qu’elles forment. C’est à partir de ces sécantes que Varignon introduit alors le parallélisme de deux droites : deux droites inclinées de la même manière à une troisième, c’est-à-dire qui font avec elle des angles égaux, sont dites parallèles. Le premier chapitre (sur les lignes droites, sécantes, perpendiculaires et parallèles) se termine par l’avis suivant : « ...il faut maintenant examiner les mesmes choses des lignes circulaires et de leurs rencontres avec les lignes droittes »41. C’est l’objet du chapitre II, qui ouvre sur la définition de la circonférence (règle qui tourne autour d’un point), du cercle, de l’arc de cercle, du centre, des rayons, des cordes, des diamètres, des segments de cercle, des secteurs et des tangentes. Varignon y démontre quatre théorèmes et des corollaires « sur la rencontre des lignes droites avec le cercle » et deux théorèmes (+ corollaires) sur les cercles qui se coupent ou se touchent. La transition vers le chapitre 3 (De la mesure des angles rectilignes) s’effectue de nouveau par un avis :

  • 43 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 51. Les additions entre crochets sont les miennes.

58Varignon y démontre le théorème XVI suivant, dont je reproduis en guise d’exemple la démonstration43 :

59La mesure d’un angle placée au centre d’un cercle est l’arc qui est compris entre ces cotées, c’est a dire que l’angle au centre est egal a l’arc sur lequel il est appuyé.

60Démonstration

61La Def. 3e [celle de l’angle plan] et le cor. de la definition 6 [celle du cercle] renferment la demonstration de ce théorème.

  • 44 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 33.

62Le corollaire44 mentionné introduit la mesure de l’angle et dit ce qui suit :

63De cette description de cercle, il suit que la mesure du mouvement ou du chemin que fait la regle AB depuis la ligne droitte AC, C’Est à dire de l’ouverture qui se fait entre les deux lignes droittes AB et AC par le mouvement de la règle, est l’arc BC que cette regle decrit par ce mouvement, puisque cet arc est le vestige de ce mouvement, par conséquent en est la mesure.

64[Fig. 13, fol. 223]

65Dans la suite, Varignon considère, dans trois théorèmes supplémen¬taires – les théorèmes XVII, XVIII et XIX – les cas ou l’angle se trouve décentré dans le cercle, sur la circonférence et en dehors du cercle. Dans chaque cas, il indique la mesure de l’angle. Notons que des théorèmes manquent dans la traduction de Cochet.

Image2

66[Fig. 23, fol. 225]

Image3

67[Fig. 24,25, fol. 225]

Image4

68[Fig. 28a, fol. 225]

Image5

69[Fig. 28b-c, fol. 225]

  • 45 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 58.

70« Le Livre II de la geometrie. Des surfaces ou superficies » se trouve d’emblée restreint aux « superficies planes a l’exemple d’Euclide »45. Varignon y suit le même plan que pour les lignes droites : intersection de deux plans, inclinaison d’un plan sur un autre, plans perpendiculaires et plans parallèles. Il définit ensuite des figures rectilignes, curvilignes et mixtilignes, mais de fait, il sera question essentiellement de triangles rectilignes et de parallélogrammes. Puis, on aimerait bien pouvoir comparer ces figures entre elles. La voix du maître avertit alors :

71Varignon commence le Livre III, consacré aux « proportions en general », en donnant des définitions des notions de rapport ou raison, de rapport arithmétique ou de rapport géométrique. Ainsi:

  • 47 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XIV, p. 81/82.

72Legalité ou l’inegalité que les mathematiciens remarquent entre les grandeurs qui sont comparées ensemble cette Egalité ou Inégalité, sapelle raport ou raison, et si on considere ce raport selon la difference, dont la plus grande quantité surpasse la plus petite ; ... Ce rapport ainsy consideré sapelle raport arithemetique.47

73Comme exemple, Varignon donne 6 et 2. Leur rapport arithmétique est 4 puisque « 2 est supassé par 6 de quatre unitées ». Leur rapport géométrique est 3 car on considère alors « l’inegalité des grandeurs, suivant la maniere dont la plus grande contient la plus petite ; ou bien dont la plus petite est contenuë dans la plus grande ». Il suit de ces définitions qu’il n’y a de rapport « qu’entre les grandeurs homogenes, c’est a dire de mesmes especes ». Ainsi, par exemple, «il n’y a point de raport entre la distance qu’il y a de paris a Lyon, et celle qu’il y a de pasque a la pentecoste ». Varignon introduit alors l’antécédent et le conséquent, les rapports d’égalité et d’inégalité, puis compare deux rapports entre eux :

  • 48 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XVII, p. 83.

74Deux raports par exemple, celuy de A a B [et de C a D] sapellent semblables, ..., lorsque l’antecedent de l’un A contient de la mesme maniere {c’est a dire ny plus ny moins} son consequent B et que l’autre antecedent C contient son consequent B de la mesme maniere que l’autre antecedent C est contenu dans son consequent D48.

  • 49 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XIX, p. 85. Cochet, p. 55, dit de manière plus moderne: « (...)

75La proportion (ou analogie) est alors « la ressemblance qu’il y a entre deux raports »49. Si A a B et C a D sont semblables, alors A est a B comme C est a D et on note cette proportion A/B//C/D. Varignon en déduit un lemme dit « fondamental des proportions ». Si l’on a la proportion AD/DB//CD/DE, alors AE = CB, c’est-à-dire que les parallélogrammes AE et CB seront égaux entre eux. Et réciproquement.

  • 50 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 87. Cochet traite la règle de trois dans la partie consacrée à l’a (...)

76La règle de trois est introduite sous forme d’un corollaire au lemme ci-dessus: « Il suit de cecy la methode de trouver un quatrième nombre proportionnel a trois nombres données lequel quatrième nombre s’appelle x ». L’exemple qu’il cite s’énonce: « Si je depense 60 Ecus en cinq mois, en combien de mois en depenserayie 252 ? »50. Varignon écrit l’analogie 60/5//252/x, dont il tire x = 21.

77Suivent alors sept règles de manipulation des proportions illustrées par une figure (Fig. 45) :

78Si AB/CD //CD/DE, alors invertendo DB/AD//DE/CD.

79Si AD/CD//DB/DE, alors alternando AD/DB//CD/DE.

80Si AB/CD //CD/DE, alors componendo ou addendo AD plus DB/DB//CD plus DE/DE.

81Si AB/DB//CE/DE, alors detrahendo AB moins DB/DB//CE moins DE/DE.

82Si AB/DB//CE/DE, alors convertendo AB/AD//CE/CD.

83Si AD/DB//CD/DE et DB/BQ//DE/EM, alors ex proportione ordinata AD/BQ//CD/EM.

84Si AD/DB//DE/EM et DB/BQ//CD/DE, alors ex proportione turbata AD/BQ//CD/EM.

85Cette partie se termine par un avis encourageant:

  • 52 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 111.
  • 53 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 112.

86« Ces choses » sont immédiatement appliquées, au Livre IV, à la théorie classique de la similitude des figures, notamment des triangles et des parallélogrammes. Le cercle y est traité comme un polygone infinilatère. Ainsi, on y trouve la remarque que les poligones inscrits et circonscrits au cercle « deviennent infinilateres et a la fin ils se confonderont en un seul »52. Il suit que « le cercle et toutes les figures planes renfermées par des lignes courbes peuvent être considérées comme des poligones Infinilateres, c’est a dire d’un nombre Infiny de cotées »53. Après avoir indiqué que la superficie du cercle est égale à celle du triangle dont la hauteur est le rayon et la base la circonférence, Varignon parle de la quadrature du cercle dans les termes suivants :

  • 55 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 116.

87Viennent ensuite quelques éléments de trigonométrie rectiligne – sinus, tangente, sécante, sinus total, sinus verse – qui doivent permettre de « reduire en lignes droites ce qu’il y a de circulaire dans les triangles »55.

88Le « Livre V de la geometrie Des corps ou des solides », débute ainsi :

  • 56 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 129.

89Comme toutes les figures rectilignes se divisent en triangles, ainsy tous les corps se divisent en piramides, et comme la connoissance des piramides depend particulierement des parallelepipedes et des prismes, nous parlerons seulement de ces trois choses autant que nous en aurons besoin pour trouver les solidités des corps56.

  • 57 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 130.

90Le prisme, par exemple, est défini par la translation d’un plan parallèlement à lui-même ; Il suit de cette generation des parallelepipedes ou des prismes rectangles, que ces corps sont produits ou faits par la repetition de la baze repetée autant de fois qu’il y a de points dans leurs hauteurs et par consequent qu’un chacun de ces corps est égal au produit de sa baze multipliée par sa hauteur57.

  • 58 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 139.

91Pour établir les volumes et les superficies de la sphère, du cylindre et du cône, Varignon trace un carré avec une de ses diagonales et un quart de cercle inscrit. Lorsque le carré est mis en rotation, il décrira un cylindre, le quart de cercle une hémisphère et le triangle formé par la diagonale et deux côtés du carré un cône. Varignon demande alors aux élèves d’imaginer « que ces trois solides soient coupés par un nombre infiny de plans paralleles à la baze »58. Il raisonne donc sur des infinitésimaux. Cochet ajoute d’ailleurs une référence à Archimède.

92Le dernier Livre, beaucoup plus volumineux que les autres (p. 141- 220), est consacré à la géométrie pratique dont Varignon (ou son traducteur) dit :

  • 59 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 141. Cette description ne se trouve pas dans Cochet.

93La geometrie pratique, ne sert pas seulement a mesurer la terre comme le porte son nom, mais elle sert a mesurer toutes sortes de quantitées, on l’apelle cependant geometrie, C’est a dire mesure de la terre ; parce qu’elle a servy autres fois en Egypte {ou elle a été inventée} a mesurer les terres et les campagnes, a cause que les debordements du n’il confonderent tous les ans les limites des champs ; et comme la necessité est la mere des Inventions, et des Sçiences. on peut dire que la geometrie a été inventée par occasion. tout ce qui a quelque quantité au ciel et en la terre peut être mesuré par la geometrie pratique ...59

94L’élève y apprend à ériger une perpendiculaire à une droite donnée, à mener par un point donné une parallèle à une droite donnée, à diviser les angles en 2n parties. Pour la division de l’angle en trois parties, il est fait recours à un instrument. Nous nous proposons de revenir ailleurs sur ce dernier livre.

Résultats de la confrontation et conclusions

95Le cahier inséré dans le volume 2469 intitulé « Géométrie de Varignon & autres ouvrages de géométrie élémentaire » et regroupant des papiers ayant appartenu à D’Alembert, contient bien des notes en français correspondant au cours de géométrie que Pierre Varignon a pu dicter en latin au Collège de Mazarin. Lorsqu’on confronte ces notes à la traduction française du même cours publiée par l’abbé Cochet en 1731 sous le titre d’Elemens de mathematique de Monsieur Varignon, il est manifeste que les deux traductions, même si elles ne diffèrent pas beaucoup, ne sont pas identiques. Il y a différence de contenu, l’abbé Cochet ayant fait précéder le cours de géométrie par un abrégé d’algèbre et d’arithmétique. Différence de structure aussi, puisque Cochet distingue deux parties, l’une spéculative, l’autre pratique, alors que dans le cahier de D’Alembert la géométrie pratique est traitée sur le même plan que la théorie des proportions par exemple, c’est-à-dire comme un des six Livres du cours. Les notes manuscrites gardent quelque trace de l’oralité d’un cours dicté. Les « avis » dans lesquels le professeur dit « je » sont absents de la version imprimée. Leur contenu reformulé a cependant parfois trouvé place dans l’imprimé.

96Sinon, les différences entre les notes manuscrites et le cours imprimé sont minimes. Les figures, plus nombreuses et regroupées dans des tables numérotées dans l’imprimé, ont même lettrage que celles du manuscrit, sauf que certaines sont en position inversée. J’ai signalé des différences dans la notation des proportions. La seule différence véritable concerne les théorèmes réciproques, que Cochet met sur le même plan que les théorèmes directs, sans signaler le lien de réciprocité.

  • 60 Ces termes autorisent à penser que D’Alembert avait par devant lui la lettre originale. Voir D’Alem (...)
  • 61 Lagrange était responsable du volume III consacré aux mathématiques de l’édition latine des œuvres (...)

97En conclusion, nous sommes en présence de deux traductions françaises du même cours latin de Pierre Varignon, l’une restée manuscrite, l’autre imprimée en 1731. Les notes manuscrites retrouvées dans les papiers de D’Alembert ne sont pas de sa main. Nous pouvons tranquillement exclure l’hypothèse formulée naguère par Hankins selon laquelle Léonor Caron, professeur de mathématiques de D’Alembert, se serait servi des Elementa geometriae de Varignon, qu’il se serait contenté de traduire en français et de dicter à ses élèves. Caron, comme Varignon, faisaient leurs cours en latin. La traduction manuscrite (jadis attribuée à la main de D’Alembert) est un peu plus archaïque dans la forme que le cours imprimé, pour ce qui concerne notamment les notations ou certaines définitions (comme celle de la proportion). S’agit-il d’une première version de la traduction que l’abbé Cochet aurait ensuite reprise pour la publication, comme Marie-Madeleine Compère l’a suggéré au colloque de Lille ? Rien ne permet de l’exclure ni de l’affirmer. Je pencherais plutôt pour l’existence de deux traductions indépendantes, dont celle conservée dans les papiers de D’Alembert précéderait d’une ou deux décennies celle imprimée en 1731 par le tout jeune docteur Cochet. Il faut alors expliquer comment ce cahier est parvenu dans les papiers de D’Alembert ? Signalons qu’il ne s’agit pas du seul document concernant Varignon que D’Alembert conservait « dans ses paperasses ». Ainsi, il possédait également une « vieille lettre de Leibnitz à Varignon, bien authentique et signée de sa main »60 qu’il a communiquée à Lagrange lorsqu’il était question d’éditer les œuvres complètes de Leibniz61. Fontenelle, qui était le légataire universel de Varignon et donc en possession de ses papiers, côtoyait D’Alembert à l’Académie à partir de 1741 et a possiblement communiqué des écrits du « célèbre Varignon » au jeune D’Alembert, avide de parfaire sa formation de mathématicien. Mais nous ignorons pratiquement tout du Nachlass de Varignon et de sa postérité.

98Le cahier de cours conservé avec les papiers de D’Alembert donne des renseignements précieux sur les éléments de géométrie tels que Varignon les enseignait au collège des Quatre-Nations vers le tournant du siècle, et il mérite d’être étudié à ce titre. Malheureusement, il ne livre que peu d’informations concernant la formation mathématique du jeune D’Alembert. La place qu’on peut lui assigner dans le cadre d’ œuvres complètes de D’Alembert est tout à fait marginale.

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Notes

Image6

[Fig. 45, fol. 227]

1 Voir la « Liste chronologique des œuvres imprimées de D’Alembert » qu’Anne- Marie Chouillet a établie d’après la thèse de Gilles Maheu, La vie et l’œuvre de D’Alembert, Paris, EHESS, 1967, et les travaux du comité de publication des œuvres complètes de D’Alembert (depuis 1992), Analyse et dynamique, s.l.d. d’Alain Michel et Michel Paty, Les presses de l’université Laval, 2002, p. 95-114.

2 Blake T. Hanna, «D’Alembert à l’université », Sciences, musiques, Lumières. Mélanges offerts à Anne-Marie Chouillet, Ferney, Centre international d’étude du XVIIe siècle, 2002, p. 37-46.

3 Voir «Le mémoire de D’Alembert sur lui-même », édité par Irène Passeron dans ce numéro.

4 En tant qu’« appelant » ou opposant à la bulle papale Unigenitus, Caron fut obligé par lettre de cachet de Louis XV de s’incliner devant les décisions pontificales. Voir à ce sujet l’article de Catherine Maire dans ce volume.

5 BnF, papiers Joly de Fleury, ms 1712, fol. 173v. Un grand merci à Patrick Latour, Bibliothèque Mazarine, pour m’avoir signalé l’existence de cet intéressant document.

6 BnF, papiers Joly de Fleury, ms 1712, fol. 134-136. Le document peut être daté de 1766.

7 Nicolas de la Caille, Leçons élémentaires de mathématiques, Paris, J. Collombet, 1741.

8 Cité par Alain Firode dans ce volume.

9 Ce manuscrit de 110 pages est conservé à la Bibliothèque de l’Institut, ms. 2033. Il fera l’objet d’une publication dans le volume 1 de la première série des Œuvres complètes de Jean Le Rond D’Alembert.

10 Application de l’algèbre à la géométrie ou Méthode de démontrer par l’algèbre, les Theorêmes de geometrie, & d’en résoudre & construire tous les Problêmes. L’on y a joint une Introduction qui contient les Regles du Calcul Algebrique. Par Monsieur Guisnée de l’Académie Royale des Sciences, Professeur Royal de Mathematique, & ancien Ingenieur ordinaire du Roy. Paris, Claude Jombert, 1705. Ce livre a été imprimé aux frais de Pierre Rémond de Montmort et réédité en 1733. Voir Jeanne Peiffer, « Les notes marginales de Montesquieu dans un manuel de mathématique : les traces d’un savoir livresque », à paraître.

11 Il s’agit du Traité analytique des sections coniques, Paris, 1707, de L’Hôpital et non de la célèbre Analyse des infiniment petits, comme Hankins a dû le penser lorsqu’il note dans son Jean d’Alembert. Science and the Enlightenment, New York, etc., Gordon and Breach, 1970, p. 20: « D’Alembert had already made considerable progress in the calculus by 1736 ». Or, il n’y a pas de calcul différentiel dans ce premier texte de D’Alembert qui nous soit parvenu.

12 Christian Gilain a pu reconstituer le contenu de ce mémoire. Voir Christian Gilain, « D’Alembert et l’intégration des expressions différentielles à une variable », Analyse et dynamique, s.l.d. d’Alain Michel et Michel Paty, Les presses de l’université Laval, 2002, p. 207-235, notamment p. 208-210. Voir aussi, dans le présent volume, l’article de Jean-Pierre Lubet sur le traité de Reyneau.

13 Thomas Hankins, Jean d’Alembert. Science and the Enlightenment, New York, etc., Gordon and Breach, 1970, p. 20-22.

14 Voir par exemple Traité de dynamique, Paris 1743, p. 20-22. D’Alembert y renvoie d’ailleurs à un mémoire posthume de Varignon.

15 « Mémoire historique sur la vie & les ouvrages de M. Jean Bernoulli », Mercure de France de mars 1748, p. 39-79.

16 Ibid., p. 39.

17 Journal des savants, mai 1740, p. 286-296.

18 « Remarques sur quelques endroits des Principes de Newton », manuscrit conservé à la Bibliothèque de l’Institut (ms 2467, fol. 235-242 et ms 2033, fol. 23-30), 21 pages, étudié dans ce volume par François De Gandt.

19 Les dimensions de ce cahier sont approximativement de 17 cm par 22 cm. Le cahier est paginé et les pages ont été lignées soigneusement. Les figures sont jointes à partir de la page 221. Elles sont tracées avec soin à l’intérieur d’un cadre qui délimite une table. Seules les figures sont numérotées, pas les tables (dont une portant les figures 29 à 42 manque). Certaines ont d’abord été dessinées au crayon, puis reprises à l’encre noire ou rouge pour certains traits.

20 Thomas Hankins, Jean d’Alembert. Science and the Enlightenment, New York, etc., Gordon and Breach, 1970, p. 19.

21 Hors le ms 2469 de la Bibliothèque de l’Institut, noté désormais BI 2469, nous sont parvenus un cours d’optique daté 1707-1708 et conservé au Conservatoire national des arts et métiers, des traités de géométrie 1716-1717 et d’algèbre 1717-1718 conservés à la Bibliothèque Mazarine. Pour plus de détails, voir la liste des œuvres de Pierre Varignon, Der Briefwechsel von Johann Bernoulli 2: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon. Erster Teil (1692-1702). Bearbeitet und kommentiert von Pierre Costabel und Jeanne Peiffer, Birkhäuser Verlag, Bâle 1988, p. 387-408.

22 Cinq thèses nous sont parvenues, dont quatre soutenues entre 1690 et 1704 au collège de Mazarin. Voir la liste dans Der Briefwechsel von Johann Bernoulli 2, p. 398-399.

23 Voir René Taton, Enseignement et diffusion des sciences en France au XVIIIe siècle, Paris, Hermann, 1986, p. 277. Parmi les sujets traités au collège royal, on trouve pour les années : 1711-12, Mouvement des animaux 1712-13, De la résistance des corps 1713-14, De la lumière et des couleurs 1716, Force des muscles 1718-19, Des lois de la mécanique 1719-20, Les météores 1720-21, Des différents systèmes du monde 1721-22, Les mouvements des êtres animés 1722-23, Lois fondamentales du calcul infinitésimal et physique supérieure.

24 Der Briefwechsel von Johann Bernoulli 2-3: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon. Erster Teil (1692-1702) – Zweiter Teil (1702-1714). Bearbeitet und kommentiert von Pierre Costabel und Jeanne Peiffer, Birkhäuser Verlag, Bâle 1988-1992.

25 Le manuscrit latin 3654 de la Bibliothèque Mazarine comporte en haut à droite une marque d’appropriation plus tardive: « De Mandane [ou Maudare] Ingénieur ord[inai]re du Roÿ 1729 ». À la fin du manuscrit, p. 376, en colophon, on peut lire: « finis A.M.D.g. Demandane 1739 » Le manuscrit comporte deux graphies différentes : La partie I de géométrie spéculative (p. 1-174) est notée dans une écriture plus scolaire que celle de la partie II de géométrie pratique (p. 175-298). Les deux diffèrent des inscriptions de Mandane [ou Maudare]. Le changement d’écriture peut suggérer qu’il s’agit de notes de cours de deux élèves différents, le premier ayant suivi le cours de Varignon en 1716, le second en 1717. Le cours aurait donc été dicté sur deux années (au rythme d’environ 200 pages par an). Le manuscrit porte quelques traces non systématiques de correction (possiblement de la main de Varignon), surtout au début.

26 Elemens de mathematique de Monsieur Varignon, des Académies Royales de France, d’Angleterre, & de Prusse, Professeur de mathématique au Collége de Mazarin, & Lecteur du Roy en philosophie au Collége royal, À Paris, chez Pierre-Michel Brunet, Fils, Quay des Augustins, près de la descente du Pont-Neuf, à l’image S. Augustin, 173 1. Avec Approbation et Privilège du Roy.

27 Charles Jourdain, Histoire de l’université de Paris au XVIIe et au XVIIIe siècle, Paris, Hachette, 1862-1866. Il existe une réimpression, Bruxelles 1966.

28 À Paris, chez Claude Herissant, Fils, 1756. Pour la citation, voir p. ix.

29 Selon le catalogue collectif de France, un exemplaire de la thèse de Cochet intitulée « Quaestio theologica : Quis sapiens ?... » et soutenue le 18 avril 1730 sous la direction de Gaspard Thévenot est conservé dans la collection Joly de Fleury à la BnF. Je remercie Guy Picolet pour ce renseignement.

30 Cette description suit le manuscrit BI 2469 ayant appartenu à D’Alembert. Je l’appellerai cahier de D’Alembert bien que la seule chose dont on puisse être certaine c’est qu’il est aujourd’hui rangé dans les papiers de D’Alembert. Les différences importantes avec le manuscrit latin de la Mazarine – cours latin en bref – et surtout la traduction de Cochet imprimée en 1731 seront signalées.

31 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 1/2.

32 Incipit du ms. 3654 de la Bibliothèque Mazarine, p. 1-4: «Antequam geometriae ingredias penetralia in vestibulo paulisper consistam iisque qui haec ad studia minus accedunt parati, gratum (opinor) facturus, eo spectantia generalia quaedam praelibabo. Itaque de Matheseos proxime dispiciamus objecto, cujus variis speciebus, seu diversi modo consideratione Mathesis ipsa varias in partes dividitur. Qua de re sciendum est objectum matheseos generale, prout id vulgo statuitur quantitatem esse quamlibet sive motus, sive luminis, sive sossi (?), sive longitudinum, latitudinum et altitudinum, sive corporum, sive ponderum, sive numerorum, uno verbo rei / (p. 2) cujuslibet mensurabilis et numerabilis : Quantum enim est id quod augmenti aut decrementi capax est, quod augeri vel minui, quod aequale vel majus vel minus altero dici potest ; ac id, inquam, objectum est circa quod totum quantum est versatur Mathesis universim sumpta, vulgo Algebra. Quoniam vero species est quantitatis duplex, magnitudo scilicet et multitudo, quae alii continuam discretamque quantitatem appellant ; duas etiam in partes Mathesis universa dispescitur, Geometriam scilicet et arithmeticam ; adeo ut quidquid fuerit demonstratum ab Algebra in mathesi generali, id etiam vera constet in Geometria et arithmetica quibus solin tota mathesin continetur. Quod autem caeteras quas vulgo dicunt matheseos partes attinet Astronomiam, Opticam, Dioptricam, Catoptricam, Mechanicen, seu motuum scientiam etc. pro naturalis scientiae seu physicen partibus / (p. 3) geometriae subsidio tractatis omnino sunt habendae. Nec enim hae scientiae alia ratione mathematicarum nomine donantur, quam idcirco quod consideratio quantitatis ipsis interveniat, et quod in geometria (non luciosi modo sed et sublimiori) demonstratas conclusiones requirant, suae ut applicent materiae. Quo ratione vix aliqua par est scientiae naturalis quae mathematicae titulum sibi non queat arrogare ; adeoque cui non liceat lucis aliquid aut firmamenti de geometria mutuari, est enim magnitudo communis affectio rerum phisicarum, corporum naturae ponitur illigata, corporeis omnibus accidentibus permixta et quasi substracta, nec non in effectuum quorumcumque naturalium productione primas ferme partes ferens. Suas quoque corpora figuras obtinent, obeunt locales motiones, quarum interventu, si minus omnes, plurimi saltem et positioni (et quicumque fere / (p. 4) philosophicam exlicationem admittunt) effectus peraguntur, quibus determinandis et inter se conferendis geometrica subinde theoremata deservire possunt et conducere ».

33 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 2.

34 Le manuscrit latin est ici encore plus explicite : «Atque ex his omnibus sequitur non per solam mentis abstractionem sed vere et realiter superficies, lineas, ac denique puncta simul existere cum corporibus quorum sunt extremitates » (Mazarine, ms. 3654, p. 5).

35 Traduction de Cochet, Elemens de geometrie, p. 1.

36 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 3/4.

37 BI 2469, Traité de Géométrie, avis 2, p. 9.

38 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 9.

39 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 10.

40 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 11.

41 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 31.

42 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 51. Les superficies seront, je le rappelle, l’objet du Livre II.

43 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 51. Les additions entre crochets sont les miennes.

44 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 33.

45 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 58.

46 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 81.

47 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XIV, p. 81/82.

48 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XVII, p. 83.

49 BI 2469, Traité de Géométrie, définition XIX, p. 85. Cochet, p. 55, dit de manière plus moderne: « On appelle proportion l’égalité de deux raisons... ». La proportion y est notée A.B :: C.D.

50 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 87. Cochet traite la règle de trois dans la partie consacrée à l’arithmétique, p. 38-40.

51 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 94. Chez Cochet, p. 59, on lit: « Tout ce qu’Euclide a dit des proportions, est renfermé dans ces sept règles, qui sont la base & le fondement de la Dialectique des Mathématiciens, comme on le verra par l’application de ces regles qui suffisent pour l’intelligence de tout ce qui appartient aux proportions en général ».

52 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 111.

53 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 112.

54 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 114.

55 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 116.

56 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 129.

57 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 130.

58 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 139.

59 BI 2469, Traité de Géométrie, p. 141. Cette description ne se trouve pas dans Cochet.

60 Ces termes autorisent à penser que D’Alembert avait par devant lui la lettre originale. Voir D’Alembert à Lagrange en date du 2 mars 1765, Œuvres de Lagrange, t. XIII, p. 32-35. Je remercie Irène Passeron de m’avoir signalé cette lettre.

61 Lagrange était responsable du volume III consacré aux mathématiques de l’édition latine des œuvres de Leibniz parues en 6 volumes sous la direction de Louis Dutens à Genève en 1768 (réimpression: Hildesheim, 1989).

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Pour citer cet article

Référence électronique

Jeanne Peiffer, « Le « Traité de Géométrie » de Varignon et l’apprentissage mathématique du jeune D’Alembert », Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie [En ligne], 38 | avril 2005, mis en ligne le 30 mars 2009, consulté le 26 novembre 2020. URL : http://journals.openedition.org/rde/301 ; DOI : https://doi.org/10.4000/rde.301

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Jeanne Peiffer

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