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Modélisation et registres sémiotiques : exemple d’étude de manuels de physique de terminale

Modelling and semiotic registers: a study of high-school physics textbooks for grade 12
Modellierung und semiotische Register : Untersuchung über Physiklehrbücher in der 12. Klasse
Modelización y registros semióticos : ejemplo de estudio de libros de texto de Ciencias Físicas en 2° de bachillerato
Fernand Malonga Moungabio et Daniel Beaufils
p. 293-316

Résumés

Dans le cadre d’un travail de thèse sur la relation mathématiques-physique en classe de terminale S à propos de l’introduction des équations différentielles du premier ordre, l’attention s’est portée sur la place des registres sémiotiques dans les manuels scolaires de physique, lors des étapes ou activités de modélisation physico-mathématiques. Ces registres sont en effet au premier plan, depuis la représentation de l’activité expérimentale, jusqu’au tracé des courbes issues du traitement formel du système, tant du point de vue des modes de traitement, que du point de vue des cadres de rationalité qu’ils sous-tendent implicitement. Dans cet article, après avoir resitué la question de la modélisation et rappelé la notion de registre sémiotique avant leur relation avec ce que nous avons appelé « cadre d’intelligibilité », nous présentons les éléments d’analyse (méthode et résultats) ayant porté sur différents manuels de physique de la classe de terminale S utilisés dans les établissements. Nous terminons sur un constat général montrant l’écart entre la richesse des interrelations possibles et l’exploitation qui en est faite dans l’espace (restreint, il est vrai) des manuels scolaires français.

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Texte intégral

Introduction

1Cet article trouve son origine dans un travail de thèse sur la relation entre l’enseignement des mathématiques et celui de la physique en classe de terminale S (programmes français de 2002 en vigueur) à propos de l’introduction des équations différentielles du premier ordre (Malonga, 2008a, 2008b). Dans ce travail, l’attention s’est portée sur l’analyse des manuels scolaires de mathématiques et de physique et, notamment, sur la place et le rôle des équations différentielles dans l’articulation des deux disciplines à ce niveau. L’analyse des situations de modélisation des systèmes dépendant du temps a permis de rendre compte de nombreuses difficultés quant à la mise en œuvre de la continuité didactique, pourtant évoquée dans les programmes des deux disciplines. Il en résulte aussi des difficultés inhérentes à chaque discipline. C’est en ce sens que nous nous sommes intéressés ici à une analyse des manuels de physique. Nous focalisons notre attention sur le rôle des registres sémiotiques de Duval (1993, 1995) pour tenter de cerner les écarts dans la confrontation entre le « théorique » et l’« expérimental ». L’utilisation de cet outil théorique, issu de la didactique des mathématiques, est en partie légitimée par l’omniprésence des objets mathématiques pour représenter et étudier les phénomènes physiques.

  • 1
  • 2 Méthode de calcul par intervalle des valeurs successives de la fonction inconnue selon une approxim (...)

2Le choix de cette problématique résulte d’un triple mouvement : 1) celui de l’utilisation du registre de représentation graphique en mathématiques pour l’introduction de la fonction exponentielle à partir de la notion d’approximation affine et du traitement numérique de l’équation y’ = y (avec y(0) = 1) conformément au programme de mathématiques1 ; 2) celui de la référence à l’expérience, et notamment l’obtention de courbes expérimentales sur l’écran de l’oscilloscope ou de l’ordinateur conformément au programme de physique ; 3) celui, de la place même de l’ordinateur dans l’approche numérique de l’équation différentielle (application de la méthode d’Euler2) qui permet en physique la confrontation directe aux mesures expérimentales, l’écran étant a priori « l’espace de confrontation théorie-expérience » (Beaufils 1993).

3Dans cet article nous rappelons d’abord rapidement la mise en relation forte entre la physique et les mathématiques dans le programme de physique notamment au niveau de la modélisation. Nous positionnons ensuite notre problématique par rapport aux différents champs théoriques convoqués. Puis, nous détaillons notre schéma d’analyse et nous donnons quelques exemples d’analyse de manuels.

1. Contexte : la modélisation dans les programmes de physique et de mathématiques en terminale S

4Dans les programmes de la classe de terminale S mis en place en 2002, la modélisation apparaît comme un point important dans la relation entre l’enseignement des mathématiques et celui de la physique. Voir le programme (BOEN, 2001, hors-série n° 4) et les documents d’accompagnement (MEN, 2002). Ce terme renvoie ici à la « modélisation mathématique », c’est-à-dire la possibilité de représenter le comportement d’un système physique par un système de relations mathématiques. C’est la marque d’un lien profond entre les deux disciplines, comme le souligne le programme de physique, en particulier en ce qui concerne l’introduction des équations différentielles dans la modélisation des systèmes dépendant du temps : « l’interaction physique-mathématiques est ici cruciale pour les deux disciplines. Les mathématiques ne sont pas un outil pour la physique, elles en sont constitutives ».

5En mathématiques, les équations différentielles et le calcul intégral (en analyse) sont cités, dans les textes officiels, comme étant des contextes favorables à l’étude de la modélisation :

6« L’initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles : La présence de ces dernières, bien que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance des mathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif. » (MEN, 2001, p. 26)

7Cependant, dans les manuels et dans la réalité des classes, la démarche de modélisation se fait en référence à une réalité pseudo-concrète et sur la base d’une modélisation « physique » déjà effectuée (Rodriguez, 2007 ; Malonga, 2009).

8En physique, il s’agit explicitement de mettre en œuvre l’outil mathématique « équation différentielle ». Ainsi, dans le chapitre consacré aux circuits électriques (BOEN, op. cit., p. 81), il est indiqué :

« S’interroger sur les paramètres qui influent sur la dérivée d’une grandeur physique, c’est chercher à établir une équation différentielle. La résoudre permet d’anticiper l’évolution d’un système. La mise en place d’une méthode numérique itérative permet de mieux ancrer l’idée du déterminisme et de la causalité. Dans chaque cas considéré (circuit RC, RL et LC), ce qui est appelé “résolution analytique” dans la colonne des compétences exigibles comprend : l’établissement de l’équation différentielle, la vérification qu’une solution analytique proposée la satisfait, et la détermination des constantes à partir des paramètres du circuit et des conditions initiales. On rappelle que ces compétences sont des compétences scientifiques transversales ».

9Par ailleurs, le lien avec l’expérimental est souligné : « Ainsi, au cours de leur dernière année de lycée, les élèves ont pour la première fois la possibilité de toucher du doigt le double mouvement de l’activité scientifique dans le domaine de la physique : confronter les prédictions d’un modèle théorique à des résultats expérimentaux, utiliser des résultats expérimentaux pour affiner un modèle théorique » (BOEN, 2001, hors-série n° 4, p. 74).

2. Cadres théoriques et question de recherche

2.1. Modélisation mathématique

  • 3 Des travaux portant sur les équations différentielles ont également été faits dans le cadre des pré (...)

10Les éléments rappelés ci-dessus montrent une mise en relation forte des deux disciplines physique et mathématiques, en particulier au niveau de la modélisation mathématique mettant en jeu des équations différentielles du premier ordre, ce point constituant une des nouveautés des programmes de 2002 (Malonga et al. 2008a). Cette mise en relation au niveau des contenus et démarches, sous-entend au moins une « continuité didactique » dont la concrétisation apparaît comme problématique, tant au niveau de l’interrelation explicite des disciplines qu’au niveau des praxéologies mises en œuvre (Malonga, 2008a, 2009 ; Rodriguez, 2007 ; Saglam, 2004)3.

11Plus précisément, en ce qui concerne le point de vue de la physique, les démarches proposées dans le programme relèvent donc de la modélisation expérimentale. Ce terme renvoie explicitement aux démarches et outils qui se sont développés, depuis désormais plus de vingt ans, avec l’introduction des moyens informatisés de mesure et de traitement. En référence à Trigeassou (1985, 1988), cette démarche de modélisation comporte deux mouvements, ainsi qu’il est évoqué dans les programmes : la recherche d’un « modèle de comportement » (ou descriptif) où il s’agit de représenter des données expérimentales par une relation mathématique, et la confrontation d’un modèle de connaissance (ou explicatif) à des résultats expérimentaux. Les outils « informatiques » correspondants (calculs de fonction, traitement numérique des équations différentielles, moindres carrés et optimisation) ont fait l’objet de nombreux travaux (Winther & Durey, 1989 ; Beaufils, 1993 ; Winther, 1992 ; Guillon, 1995).

  • 4 Les expressions telles que « monde réel », « réel », « réalité » sont généralement sources d’ambigu (...)

12Cette démarche peut s’inscrire dans un schéma de modélisation comme mise en relation entre le « réel » (que nous préférons dénommer ici le monde matériel4) et la théorie (figure 1).

13C’est la relation entre le champ empirique et le champ théorique (Martinand, 1992, 1998) ou celle entre « monde des objets et événements » et « monde des théories et modèles » utilisée plus tard dans les travaux du groupe GRIC-Coast (Tiberghien, 1999).

Figure 1 : Modélisation comme mise en relation de deux mondes

Figure 1 : Modélisation comme mise en relation de deux mondes

14L’utilisation des instruments actuels (oscilloscopes et ordinateurs interfacés) permet d’obtenir aisément tout à la fois la représentation des résultats expérimentaux et celle des modèles mathématiques obtenus par calcul. L’écran de l’ordinateur est ainsi apparu très tôt comme le lieu privilégié de la confrontation entre la théorie et l’expérience ou plus exactement la confrontation entre le modèle et les mesures (Durey, 1989, 1996 ; Beaufils, 1993).

2.2. Registres sémiotiques

15L’approche sémiotique de Duval conduit à distinguer les représentations mentales des représentations sémiotiques :

16« Les représentations mentales sont l’ensemble des images mentales ou des conceptions qu’un individu peut avoir sur un objet ou une situation, et sur ce qui leur est associé ». Quant aux représentations sémiotiques, ce sont « des productions constituées par l’emploi des signes appartenant à un même système de représentation (énoncé en langue naturelle, formule algébrique, graphe, figure géométrique). […] Elles semblent être le moyen dont un individu dispose pour extérioriser ses représentations mentales, c’est-à-dire pour les rendre visibles ou accessibles à autrui ». (Duval, 1995, p. 2).

17Un système sémiotique prend le nom de registre de représentation sémiotique lorsque ce système permet les activités cognitives fondamentales de la pensée : formation, traitement et conversion d’une représentation.

2.2.1. Formation

18Selon Duval, « la formation d’une représentation sémiotique est le recours à un (ou plusieurs) signe(s) pour actualiser la visée d’un objet ou pour se substituer à la visée de cet objet » (Duval, 1995 p. 37). L’activité de formation doit respecter des règles de conformité, propres au système employé, non seulement pour des raisons de communicabilité, mais pour rendre possible l’utilisation des moyens de traitement qu’offre ce système. Ces règles portent essentiellement sur :

  • « la détermination (strictement limitée, ou au contraire ouverte) d’unités élémentaires (fonctionnellement homogènes ou hétérogènes) : symboles, vocabulaire, etc. ;

  • les combinaisons admissibles d’unités élémentaires pour former des unités de niveau supérieur : règles de formation pour un système formel, grammaire pour les langues naturelles, etc. ;

  • les conditions pour qu’une représentation d’ordre supérieur soit une production pertinente et complète : règles canoniques propres à un genre littéraire ou à un type de production dans un registre ». (op. cit., p. 38)

2.2.2. Le traitement

  • 5 C’est cette relation (registre) qui est retenue dans les programmes et manuels scolaires de mathéma (...)

19Le traitement est une activité qui conduit à la transformation d’une représentation en une autre sans changer de système sémiotique. On dispose des règles d’expansion (différentes des règles de conformité) dont l’application donne une représentation de même registre que la représentation de départ. Selon Duval (1995, p. 39), le traitement est une activité qui est interne au registre de représentation ou à un système de départ. Par exemple, l’expression de la fonction exponentielle « f(x) = exp(x) » peut-être considérée comme le résultat du traitement de la relation5 « f’ = f avec f(0) = 1 ». C’est le registre symbolique qui est convoqué ici.

2.2.3. La conversion

20La conversion est une transformation d’une représentation en une représentation d’un autre registre. Contrairement au traitement, la conversion est une activité qui est externe par rapport au registre de la représentation de départ. Par exemple, la transformation d’un tableau de valeurs numériques (données expérimentales) en un graphique, ou d’une équation différentielle en un champ de vecteurs ou un champ de tangentes.

21Cette activité exige de disposer de règles de conversion vers un autre système de représentation qui propose d’autres significations. Duval (1995, p. 43) considère que les règles de conversion ne sont pas les mêmes selon le sens dans lequel le changement de registre est effectué.

22Son modèle s’articule autour de la relation entre un objet et ses représentations. Duval considère qu’en mathématiques, l’apprentissage se trouve au cœur d’une activité de reconnaissance d’au moins deux représentations quelconques d’un même objet. Il distingue deux catégories d’objets : d’une part « des objets accessibles : soit directement par une perception non instrumentée, ou en recueillant des données par le prélèvement d’échantillons, etc., soit par des instruments qui accroissent le champ de perception (télescope, microscope) ou qui permettent de recueillir des données autrement inaccessibles (spectromètres) » ; d’autre part « des objets inaccessibles (en dehors de représentations relevant uniquement d’une activité sémiotique) ». C’est dans cette deuxième catégorie d’objets que Duval situe les objets mathématiques (Duval, 2005, p. 74).

23On peut considérer que l’activité de modélisation des phénomènes physiques conduit à mettre en œuvre ces deux catégories d’objets. Diverses représentations sont utilisées pour transformer des objets relevant, soit du domaine de la physique (théorique ou expérimentale), soit des mathématiques. Pour une telle activité, nous qualifions la démarche cognitive sous-tendue de « physico-mathématique ». En effet, la transformation des représentations sémiotiques (dont la conversion et le traitement sont les processus cognitifs fondamentaux) est légitimée par l’utilisation simultanée des connaissances de la physique et des mathématiques.

24De plus les objets mathématiques représentés ne gardent pas leur statut mathématique. C’est le cas des représentations graphiques, qui font à la fois référence à la théorie de la physique, (elles traduisent l’évolution temporelle d’une grandeur) et à celle des mathématiques, (elles sont considérées comme des objets mathématiques : on y trace des tangentes ou on y calcule certaines caractéristiques).

2.2.4. Les registres identifiés dans les manuels scolaires

25Dans notre travail sur l’analyse des manuels de physique de terminale Scientifique, nous avons cherché à identifier les registres mobilisés afin d’examiner les différentes articulations mises en jeu, en particulier au niveau de l’articulation « expérimental-théorie ».

26La première étape a porté sur le repérage des nombreuses représentations présentes dans les manuels de physique. Au sens de Duval, nous avons alors relevé les registres :

  • numérique (RN) : ce sont les tableaux de valeurs, ou valeurs isolées, qu’elles soient expérimentales ou calculées ;

  • symbolique, formel (RS) : ce sont les expressions mathématiques ou physico-mathématiques ;

  • graphique (RG) : ce sont les courbes, qui en physique peuvent être expérimentales, théoriques, mais aussi mixtes (superposition des deux).

27Nous avons été amenés à relever un autre type de représentation que nous avons qualifié de registre d’illustration (RI), à défaut d’autre terme plus approprié et bien qu’un peu différent des registres traditionnels : c’est le registre de représentation de certains schémas et photographies. Les schémas, se retrouvent dans les manuels de physique et de mathématiques et, bien que hautement symboliques (cas des schémas de circuits électriques notamment), nous les avons mis dans ce registre – de façon à ne pas multiplier les rubriques – et réservé le registre « symbolique » aux relations physico-mathématiques. Quant aux photographies de dispositifs expérimentaux, qui apparaissent dans les manuels de physique notamment, elles sont implicitement censées constituer une représentation intelligible de l’expérience évoquée et pouvoir être le support d’activité de schématisation ; à ce titre, elles ont donc bien leur place dans ce registre.

2.3. Cadres d’intelligibilité

28Un des objectifs de l’enseignement de la physique est de favoriser la construction d’un cadre d’intelligibilité pour faire accéder l’élève au type de connaissances qui, aux yeux des physiciens, rendent le monde intelligible, c’est-à-dire à la capacité à mettre en relation le monde matériel et le monde des théories et des modèles. On retrouve cette partition dans le schéma de Malafosse (Malafosse et al., 2000) dont la position épistémologique repose sur l’affirmation d’un « espace de réalité » et dont le positionnement didactique se caractérise par la mise en relation de cadres de rationalité (Lerouge, 2000) et de registres sémiotiques.

29De fait, une grande partie de l’activité de l’élève ou de l’étudiant est occupée par la lecture, l’obtention ou le traitement de représentations sémiotiques (courbes, valeurs numériques, expressions mathématiques, schémas, dessins). On doit donc considérer que celui-ci est amené à manipuler, concrètement parlant, des objets d’un « monde des signes ». (Beaufils, 2000, 2009).

30La problématique des représentations conduit donc à prendre en considération des questions liées aux relations et transitions entre représentations, cadres de rationalité et registres sémiotiques.

31Dans une étude effectuée sur les appliquettes (Beaufils et al., 2003) nous avons considéré d’une part un cadre de rationalité que nous avons qualifié de familier/culturel (Malafosse et al., 2001b), d’autre part deux cadres de rationalité de la physique : un cadre de physique « expérimentale » (avec l’image de l’activité d’observation ou d’expérimentation avec des instruments) et un cadre de physique « théorique » (où ce sont les lois et modèles qui sont en jeu, avec les traitements mathématiques correspondants). En termes de relation avec les représentations, la convocation du cadre familier est favorisée par des représentations réalistes ou imagées de phénomènes ou situations de la vie courante, tandis que celle du deuxième et du troisième cadres le sont par des représentations imagées ou schématiques de dispositifs expérimentaux, complétées par des représentations graphiques ou numériques, d’une part, et par des représentations fortement codifiées incluant schémas standardisés, courbes, expressions formelles, etc., d’autre part.

  • 6 La transition physique-mathématique (PM) qui apparaît au niveau de la traduction mathématique des m (...)

32Les questions relatives aux registres sémiotiques apparaissent ainsi cruciales puisque, au niveau même de la démarche de modélisation, il y a passage d’une représentation d’une situation concrète à une représentation mathématique formelle, ceci impliquant un changement de cadre et donc, au niveau d’une activité d’élèves, des étapes de transition6 (Malonga, 2008a, 2009) (figure 2).

Figure 2 : Les étapes de transition dans la modélisation mathématique

Figure 2 : Les étapes de transition dans la modélisation mathématique
  • 7 Par exemple, il n’y a pas de sens à rechercher dans les incertitudes sur un tracé théorique.

33La confrontation modèle-mesure impose par nature, à un niveau plus fin, la différentiation des objets au niveau des représentations. Lorsque sont présentés des « résultats » expérimentaux, il convient – même si c’est implicite – de donner l’indication de l’origine expérimentale : photographie d’un écran d’oscilloscope reconnaissable, copie d’écran d’un tracé d’acquisition échantillonnée montrant les « points » expérimentaux (et, éventuellement les fluctuations porteuses de l’information sur les incertitudes). À l’inverse, un tracé « théorique », issu d’un calcul sur modèle, apparaîtra sous la forme d’une courbe continue et sans irrégularités. En termes de registre, ceci a également son sens, puisque la nature des données conditionne celle des traitements qui peuvent être effectués7. Ceci correspond, bien sûr, à la distinction « théorique/expérimental » du point de vue des cadres de rationalité. On voit donc que, éventuellement à l’insu des auteurs ou des éditeurs, les techniques ou les modes de représentation adoptés, sont porteurs de sens.

2.4. Orientation de la recherche

34Les manuels scolaires constituent un lieu privilégié de présentation de connaissances et de propositions d’activités (travaux pratiques, exercices traditionnels, études de documents) exploitant toutes les ressources de publication écrite : textes, expressions symboliques (relations mathématiques entre grandeurs physiques), tableaux numériques, schémas en couleurs, photographies. Les ouvrages apparaissent donc comme un lieu de concrétisation matérielle, explicite, et pour une durée notable, des programmes et instructions (à la différence de l’activité de l’enseignant qui reste personnelle et peut varier d’une séance à l’autre). De plus, des choix éditoriaux gouvernent le contenu des ouvrages (ou de la collection) et ceux-ci ont été pensés et explicités (à l’inverse des choix spontanés de l’enseignant).

35Nous nous sommes ainsi intéressés à la façon dont les représentations multiples sont utilisées dans les manuels scolaires de physique, et plus précisément, à leur prise en compte comme registres sémiotiques, tant par les traitements de l’information qui y sont associés, que par les mises en relation, a priori essentielles, dans les démarches de modélisation mathématiques de résultats expérimentaux.

36Pour pouvoir rendre compte de cette analyse, nous avons été amenés à élaborer un schéma générique, reposant sur les registres identifiés dans les manuels scolaires et sur une démarche-type de modélisation expérimentale.

3. L’outil d’analyse : schéma générique des registres et de leurs mises en relation

37En application des éléments théoriques présentés, un premier schéma type de relations inter-registres peut être adopté (figure 3).

Figure 3 : Premier schéma de mise en relation des registres dans les manuels de physique

Figure 3 : Premier schéma de mise en relation des registres dans les manuels de physique

38La mise en relation des différents registres ci-dessus correspond à un certain nombre d’actions également bien répertoriées :

  • (RI) → (RN) : relevé de mesures sur un dispositif (photographié ou schématisé).

  • (RI) → (RS) : élaboration d’un modèle physico-mathématique s’appuyant sur la base d’une schématisation.

  • (RN) → (RG) : tracé des points expérimentaux (sens déduction) ou théoriques (obtenus à partir de la méthode d’Euler).

  • (RG) → (RN) : lecture sur un graphique (déduction).

  • (RS) → (RG) : tracé d’une courbe selon un modèle (sens déduction).

  • (RG) → (RS) : inférence d’un modèle depuis une courbe expérimentale.

  • (RS) → (RN) : calcul de valeur à partir d’un modèle.

  • (RN) → (RS) : inférence d’un modèle à partir de données numériques.

  • (RI) → (RG) : illustration directe sous forme graphique d’un résultat expérimental.

39Remarques

  • 8 C’est le cas de la loi d’Ohm, notamment, sujet d’un travail interdidactique mathématiques-physique (...)

40Les passages RN → RS et RG → RS se rencontrent en particulier dans des cas de données expérimentales pouvant être modélisées par une relation de proportionnalité par une fonction affine8.

41Le passage RI → RG correspond généralement au passage à une phénoménographie, où les phénomènes sont définis, en quelque sorte, par la représentation graphique obtenue, situation qui s’est développée avec l’informatisation des expériences (Beaufils, 1999, 2009).

3.1. Le schéma outil complet

42La mise en relation des registres sémiotiques doit représenter la démarche de modélisation, d’une part dans les relations entre les registres ci-dessus, mais également à un niveau plus fin résultant de la distinction du champ théorique et du champ expérimental. Le schéma ainsi complété conduit à la figure 4 ci-dessous.

Figure 4 : Schéma des registres avec structure fine et parcours de modélisation

Figure 4 : Schéma des registres avec structure fine et parcours de modélisation

43Les flèches (pleines) désignent le parcours qui peut être représenté dans les manuels de la manière suivante : Il part de l’illustration d’un dispositif expérimental, qui donne un résultat sous forme graphique. Un schéma est d’abord élaboré. Celui-ci conduit à une mise en équation, qui permet un traitement formel, dont l’aboutissement est un tracé graphique. Ce tracé, placé dans le même espace de représentation que les données expérimentales, permet une première confrontation semi-quantitative.

44Sur un plan plus quantitatif, l’activité conduit à un autre jeu de flèches (en pointillé) : le dispositif expérimental conduit, soit directement, soit par l’intermédiaire d’une phénoménographie à une (ou plusieurs) valeur(s) numérique(s), tandis que la schématisation/modélisation conduit à des valeurs numériques « théoriques » des grandeurs en jeu, qui peuvent alors être confrontées aux valeurs expérimentales.

4. Exemples d’analyse de manuels de physique de terminale S

  • 9 Association en série d’une résistance et d’un condensateur.
  • 10 Hatier (Micromega, 2002), Nathan (Tomasino, 2002 ; Sirius 2006), Hachette (Barde M. et al., 2002, c (...)

45Dans cette partie, nous présentons quelques éléments d’analyse de manuels scolaires de physique de terminale S utilisés dans les lycées. Les exemples sont tirés du chapitre consacré à l’étude de la « réponse d’un dipôle RC9 à un échelon de tension » qui correspond – selon le programme – à la première apparition de l’équation différentielle du premier ordre dans la modélisation d’un système dépendant du temps. Nous avons analysé sept manuels de physique parus chez cinq éditeurs français10.

  • 11 La question de l’introduction de ce nouveau type d’équation fonctionnelle a fait l’objet d’une anal (...)

46La structure généralement adoptée dans les manuels repose sur la présentation d’une expérience, généralement sous forme d’une fiche d’activité en début de chapitre, qui contient la description du protocole, une photographie du montage électrique et des copies d’écran (oscilloscope ou ordinateur) qui montrent une ou plusieurs courbes (tension aux bornes du condensateur (uC) ainsi que, éventuellement, intensité (i) du courant dans le circuit au cours de la charge). Dans un second temps, la schématisation du circuit et la traduction sous forme de relations algébriques conduisent à l’équation différentielle qui, elle-même, permet de trouver l’expression de la loi uC (t) de charge du condensateur11.

4.1. Premier exemple d’analyse : partie « cours »12

  • 12 Barde M. et al. (2002), Physique terminale S, Paris, Hachette, coll. Hélios, p. 117-118.

47Le chapitre débute par une partie « expérimentale » introduite par la question posée en titre « Quelle est la réponse d’un circuit RC à un échelon de tension ». Il s’agit d’une sorte de « fiche TP » (avec schéma expérimental, cf. figure 5), complétée par une photographie ou une copie d’écran du résultat obtenu (figure 6). Un jeu de questions, portant en partie sur les éléments présentés, termine cette partie.

Fig. 5 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 4 »)

Fig. 5 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 4 »)

Fig. 6 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 5 »)

Fig. 6 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 5 »)
  • 13 Asymptotes, tangentes à l’origine, pointillés de projections.

48La partie « cours » qui suit, reprend alors la situation expérimentale dans une partie intitulée « réponse d’un circuit RC à un échelon de tension ». Le schéma expérimental est alors repris et complété par deux graphiques représentant l’évolution de la tension aux bornes du condensateur (figure 7) et celle de l’intensité du courant de charge (figure 8), dont le statut apparaît d’emblée ambigu. Les courbes sont présentées dans le texte comme des traces expérimentales obtenues lors de l’activité, mais le type de représentation est celui de tracés « théoriques » : courbes continues, tracées sur papier millimétré et complétées par les traits constructions13 pour la détermination de la constante de temps. Ces représentations apparaissent bien comme des registres sémiotiques puisqu’elles sont le lieu d’un traitement spécifique (obtention de la valeur de la constante de temps) et d’une conversion (la donnée de la courbe devrait permettre normalement de dire s’il s’agit de la charge ou de la décharge du condensateur et partant, on pourrait trouver le type d’équation différentielle associée).

49La référence à l’activité expérimentale apparaît donc comme essentiellement rhétorique, ce qui est confirmé ensuite puisque l’aboutissement de la modélisation ne conduira à aucun retour à l’expérience.

Fig. 7 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 16 »)

Fig. 7 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 16 »)

Fig. 8 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 17 »)

Fig. 8 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 17 »)

50L’analyse théorique (modélisation par équation différentielle et solution analytique) est effectuée ensuite, sur la base d’un nouveau schéma « expérimental » (appelé « doc. 18 ») correspondant à la partie « charge » uniquement (schéma de la figure 5, mais seulement la branche 1). L’application de la loi d’additivité des tensions conduit alors à l’établissement de l’équation différentielle. On a ici un passage du registre (RI) (cf. figures 3 et 4) au registre symbolique (RS) : E = uDA + uAB , dans lequel un premier traitement physico-mathématique (prise en compte des lois relatives aux composants du circuit) conduit à l’expression E = τ .du/dt + u . Suit alors un traitement purement mathématique conduisant à la solution particulière représentant l’évolution de la tension u = E(1 − e-t/τ) et à celle de la charge q = q0(1 – e-t/τ) , puis à celle relative à l’intensité du courant i = i0e-t/τ .

51L’ensemble de cette partie de chapitre met ainsi en relation les différents registres repérés. La représentation de cet ensemble dans notre diagramme générique conduit à l’instanciation ci-dessous.

52On constate tout d’abord que les relations se trouvent entre les registres d’illustration, formelles et graphiques et qu’elles sont unidirectionnelles. Les schémas expérimentaux et théoriques du circuit ne sont pas mis en relation, de même pour les courbes « expérimentales » et théoriques.

Figure 9 : Diagramme des registres en relation dans la partie cours du manuel scolaire

Figure 9 : Diagramme des registres en relation dans la partie cours du manuel scolaire

53Commentaires sur ce schéma

54Flèche n° 1 : nous avons considéré qu’il y avait passage du schéma représentatif du circuit à des courbes expérimentales, mais, ainsi que nous l’avons indiqué, ces courbes sont ambiguës et ne sont pas celles données dans la partie expérimentale.

55Flèche n° 2 : cette activité de conversion n’apparaît que par la référence « (doc. 18) » figurant dans une phrase introductive.

56Flèches n° 3 et 4 : en fait, le lien vers les courbes est quasiment absent. La flèche n° 4 ne concerne que q(t) et est seulement évoquée par la phrase : « ces équations horaires vérifient bien les conditions extrêmales (voir doc. 16 et 19) » Autrement dit, les explications, reliant la forme de l’expression de la charge et le graphique représentatif, sont absentes.

57On note qu’aucune traduction numérique n’est effectuée. Les courbes permettent de représenter différentes « valeurs » pour le temps caractéristique ou de demi-charge, mais ceci reste en fait dans le registre formel, puisqu’il s’agit d’expressions génériques du type « i = 0,37 i0 à t = τ ».

4.2. Deuxième exemple d’analyse : exercice résolu14

  • 14 Durandeau J.-P. (2006), Physique terminale S, Paris, Hachette, coll. Hachette éducation, p. 145.
  • 15 Voir solution en annexe 1.

58Nous reproduisons ci-dessous l’énoncé d’un exercice corrigé, c’est-à-dire un exemple type de résolution15.

Fig. 10 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Durandeau), 2006, p. 145 (« énoncé de l’exercice »)

Fig. 10 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Durandeau), 2006, p. 145 (« énoncé de l’exercice »)

59Le texte de l’énoncé donne une description des éléments du circuit. Le schéma (RI) d’un circuit et la courbe de charge (RG) accompagnent le texte. Des expressions mathématiques (RS) – modélisation du phénomène – sont données ou à trouver. Différents registres de représentation sont donc d’emblée convoqués pour la résolution de cet exercice et leur mise en relation peut être traduite par le diagramme ci-dessous (figure 11).

Figure 11 : Diagramme établi en tenant compte de la solution proposée par le manuel

Figure 11 : Diagramme établi en tenant compte de la solution proposée par le manuel

60Flèche 1 : il s’agit de la phase de transcription des informations implicites (propriétés des composants schématisés) données par le schéma, avec prise en compte des notations et choix d’orientation. Ceci conduit à l’équation différentielle (RS).

61Flèche 2 : la question 2 relève d’une activité de traitement dans le registre symbolique (RS). Elle conduit à l’établissement d’une solution particulière de l’équation différentielle obtenue. Mais la correspondance entre la fonction obtenue et la courbe donnée est supposée.

62Flèche 3 : il s’agit uniquement de la prise en compte de la valeur de E pour la détermination de la valeur de u à 63 %. Il s’agit ici d’une étape de calcul préparatoire à la réponse suivante, étape qui n’est pas précisée dans l’énoncé. C’est à l’élève de savoir qu’il faut faire ce calcul.

63Flèche 4 : représente la détermination approximative de la constante de temps τ par un aller-retour numérique-graphique-numérique. On note cependant que cette mise en relation n’est pas explicitée dans le texte, qui ne reprécise pas qu’il faut se référer au graphique. En ce qui concerne le graphique lui-même, on note également son statut ambigu : son allure est clairement « théorique » et n’est mentionné qu’après la donnée de la forme mathématique du modèle. On peut donc y voir la représentation du modèle lui-même. Mais, dans ce cas, comment sont déterminées les valeurs des paramètres, puisqu’elles font l’objet des questions ?

64Flèche 5 : détermination théorique de la valeur de  à partir de l’expression et des valeurs de R et C. Au niveau de l’exercice, ceci correspond à la dernière question et se résume à une application numérique à partir des données. La particularité est qu’ici, l’application numérique est à effectuer sur une relation, qui n’est pas donnée dans l’énoncé, mais qui est établie au cours du traitement dans le registre formel. Il y a donc un aller-retour supplémentaire à effectuer.

65Pour la résolution de cet exercice, on remarque que plusieurs registres sont convoqués, mais leur mise en relation n’est pas toujours explicitée. La donnée d’un schéma dans l’exercice ne joue pas immédiatement un rôle pour l’établissement de l’équation différentielle, même si des précisions sur les conventions et les orientations sont demandées à la fin de la question 1.

Synthèse et conclusion

  • 16 Voir un exemple d’exercice « hors méthode d’Euler » en annexe 2.

66Ce type d’analyse a été effectué sur 7 ouvrages de physique de terminale, et sur différents domaines concernant la mise en œuvre d’une équation différentielle : circuits R, L mais également dans la partie « mécanique » du programme, qui propose une modélisation de ce type lors de l’étude de la chute freinée dans un fluide16. Les analyses et les résultats concernant les registres graphiques sont identiques, la différence résidant, dans ce chapitre, dans l’introduction de la méthode d’Euler (Malonga et al., 2008b), ce qui complexifie la partie traitement qui n’est plus seulement dans le registre formel classique.

  • 17 Voir quelques suggestions dans Malonga et al. 2008a.

67Notre analyse montre à la fois l’importance et la richesse des jeux de représentations au niveau de la modélisation expérimentale, tant du point de vue de la démarche elle-même et de la compréhension des lois et modèles17, que du point de vue des guidages qui peuvent être exploités dans les activités de résolution d’exercice par les élèves : illustration (RI) (souvent le schéma représentant l’évolution du phénomène), symbolique (RS) (équation différentielle et sa solution), graphique (RG) (courbe de la fonction solution), numérique (RN) (valeurs numériques de la grandeur ou de la constante de temps).

68Mais cet aspect n’est pas exploité dans les manuels scolaires que nous avons examinés, ce qui peut remettre en question, selon nous, la démarche elle-même. Malgré une réalisation expérimentale préalablement rapportée, il y a peu d’exploitation des courbes expérimentales, ni en termes mathématiques, ni en termes de physique. La modélisation se fait uniquement dans le domaine théorique, à partir d’un schéma venant spécifier les notations, les orientations, etc. Dans le même esprit, de nombreuses courbes dites « expérimentales » sont représentées en fait comme des tracés théoriques, ce qui peut rendre caduque la confrontation entre le modèle et les mesures. Enfin, la confrontation entre le modèle et les tracés expérimentaux est souvent absente.

  • 18 Une telle approche était déjà en œuvre dans les programmes de 1995 au niveau du chapitre sur les os (...)

69Tout se passe comme si la modélisation était uniquement dans le registre formel avec, comme seule finalité, l’obtention de la relation physico-mathématique donnant la loi de variation exponentielle de la grandeur. Cette surdétermination de la composante mathématique est peut-être due à l’accent porté dans les programmes eux-mêmes, d’une part sur la notion d’équation différentielle et la fonction exponentielle (en liaison externe avec le programme des mathématiques), d’autre part, sur la mise en évidence d’une loi d’évolution générale18.

70Ce constat apparaît encore mieux au niveau des exercices, où l’essentiel de l’information et de son traitement réside généralement dans le registre formel : établissement d’une équation, vérification de la solution, identification de paramètres, etc. Il y a généralement très peu de traitement dans le registre des illustrations qui est bien celui des « données » du problème, mais aussi très peu de traitement dans le registre des représentations graphiques, alors qu’il est par ailleurs fortement présent. Les activités se limitent, la plupart du temps, à la lecture d’une valeur particulière sur un graphique qui est donné (valeur qui est, en général, celle de la constante de temps) comportant parfois la tangente à l’origine.

  • 19 Cf. Malonga et al., 2008b.
  • 20 Une étude exploratoire a été menée au niveau d’une première année de licence qui montre l’impact (o (...)

71Ce travail a été réalisé dans le cadre d’une recherche centrée sur les équations différentielles. Mais la problématique générale, de continuité didactique mathématiques-physique, et l’analyse du jeu – parfois implicite –entre les registres sémiotiques, les cadres d’intelligibilité, les praxéologies différentes des mathématiques et de la physique, mérite d’être étendue à d’autres points tout aussi cruciaux, tels la modélisation par fonction (qu’il s’agisse de fonctions linéaires, exponentielles ou paraboliques), la notion de dérivée et son application aux vitesses et autres variations de grandeurs (taux d’accroissement, valeur de la dérivée en un point, fonction dérivée, interprétation graphique), le principe de la méthode d’Euler (discrétisation, calculs de suite, convergence)19. De même, le cadre restreint des programmes de terminale S des programmes français actuels peut-il être étendu à d’autres niveaux d’enseignement20 et à des ouvrages étrangers.

72Cet élargissement permettrait d’approfondir les approches théorique et méthodologique que nous avons adoptées – notamment dans la mise en relation des registres et des cadres d’intelligibilité – et ainsi de mettre à l’épreuve l’outil de représentation que nous avons élaboré.

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Annexe

Annexe 1 : solution de l’exercice analysé au § 5.2.

Il s’agit de la solution telle qu’elle est présentée dans l’ouvrage.

Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Durandeau), 2006, p. 145

Annexe 2 : exercice de mécanique

L’exemple ci-dessous est caractéristique d’un certain nombre d’exercices d’application où la référence à l’expérience et/ou au dispositif expérimental est totalement implicite. Le registre d’illustration tel que nous l’avons considéré n’apparaît alors plus. La donnée est d’emblée une phénoménographie (l’évolution asymptotique de la vitesse), mais la représentation choisie est déjà celle d’un traitement en cours puisque la tangente à l’origine est tracée (d’où le qualificatif « expérimental » mis entre guillemets dans le diagramme ci-dessous). De plus, l’allure de la courbe (continue et sans irrégularités) entretient la confusion avec un tracé théorique.

Le travail porte sur l’analyse de cette phénoménographie (constante de temps correspondant – méthode enseignée – à l’intersection de la tangente à l’origine et de l’asymptote, et valeur limite), puis sur l’établissement et le traitement de l’équation différentielle. Aucune comparaison des valeurs « expérimentales » et théoriques n’est demandée (mais sans aucun doute à faire dans le cadre du contrat didactique), ni entre la courbe et l’expression analytique. L’exercice apparaît ainsi comme purement mathématique.

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Notes

1

D’après les commentaires de programme de mathématiques de terminale S et le document d’accompagnement dudit programme, l’introduction de l’équation différentielle de type y’ = y doit se faire en lien avec l’enseignement de la physique.

2 Méthode de calcul par intervalle des valeurs successives de la fonction inconnue selon une approximation au premier ordre consistant à considérer la valeur de la dérivée donnée par l’équation différentielle en un point donné comme le taux de variation de la fonction sur l’intervalle choisi.

3 Des travaux portant sur les équations différentielles ont également été faits dans le cadre des précédents programmes de physique et mathématiques (Arslan 2005 ; Saglam 2004).

4 Les expressions telles que « monde réel », « réel », « réalité » sont généralement sources d’ambiguïté, puisque, bien évidemment, le monde « réel » du physicien est fortement dépendant de ses connaissances théoriques ; de plus, comme nous le verrons par la suite, le réel n’est pas que du matériel !

5 C’est cette relation (registre) qui est retenue dans les programmes et manuels scolaires de mathématiques pour définir la fonction exponentielle.

6 La transition physique-mathématique (PM) qui apparaît au niveau de la traduction mathématique des modèles physiques et la transition mathématique-physique (MP) qui doit permettre d’interpréter le résultat mathématique et de répondre normalement à la question de départ posée dans le cadre de la physique.

7 Par exemple, il n’y a pas de sens à rechercher dans les incertitudes sur un tracé théorique.

8 C’est le cas de la loi d’Ohm, notamment, sujet d’un travail interdidactique mathématiques-physique (Malafosse et al., op. cit., 2000, 2001b).

9 Association en série d’une résistance et d’un condensateur.

10 Hatier (Micromega, 2002), Nathan (Tomasino, 2002 ; Sirius 2006), Hachette (Barde M. et al., 2002, coll. Hélios ; Durandeau/Mauhourat, 2002), Belin (Parisi, 2006), Bordas (Galiléo, 2002).

11 La question de l’introduction de ce nouveau type d’équation fonctionnelle a fait l’objet d’une analyse dans ces mêmes manuels (Malonga et al., 2008a).

12 Barde M. et al. (2002), Physique terminale S, Paris, Hachette, coll. Hélios, p. 117-118.

13 Asymptotes, tangentes à l’origine, pointillés de projections.

14 Durandeau J.-P. (2006), Physique terminale S, Paris, Hachette, coll. Hachette éducation, p. 145.

15 Voir solution en annexe 1.

16 Voir un exemple d’exercice « hors méthode d’Euler » en annexe 2.

17 Voir quelques suggestions dans Malonga et al. 2008a.

18 Une telle approche était déjà en œuvre dans les programmes de 1995 au niveau du chapitre sur les oscillateurs.

19 Cf. Malonga et al., 2008b.

20 Une étude exploratoire a été menée au niveau d’une première année de licence qui montre l’impact (ou le non-impact suivant les cas) de ce qui a été fait en classe de terminale (cf. Cabot & Beaufils, 2009).

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Table des illustrations

Titre Figure 1 : Modélisation comme mise en relation de deux mondes
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Titre Figure 2 : Les étapes de transition dans la modélisation mathématique
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Titre Figure 3 : Premier schéma de mise en relation des registres dans les manuels de physique
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Titre Figure 4 : Schéma des registres avec structure fine et parcours de modélisation
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Titre Fig. 5 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 4 »)
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Titre Fig. 6 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 17 (« doc. 5 »)
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Titre Fig. 7 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 16 »)
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Titre Fig. 8 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Hélios), 2002, p. 117 (« doc. 17 »)
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Titre Figure 9 : Diagramme des registres en relation dans la partie cours du manuel scolaire
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Titre Fig. 10 : Extrait de Physique terminale S, © Hachette (Durandeau), 2006, p. 145 (« énoncé de l’exercice »)
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Titre Figure 11 : Diagramme établi en tenant compte de la solution proposée par le manuel
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Pour citer cet article

Référence papier

Fernand Malonga Moungabio et Daniel Beaufils, « Modélisation et registres sémiotiques : exemple d’étude de manuels de physique de terminale », RDST, 1 | 2010, 293-316.

Référence électronique

Fernand Malonga Moungabio et Daniel Beaufils, « Modélisation et registres sémiotiques : exemple d’étude de manuels de physique de terminale », RDST [En ligne], 1 | 2010, mis en ligne le 15 septembre 2012, consulté le 03 août 2020. URL : http://journals.openedition.org/rdst/243 ; DOI : https://doi.org/10.4000/rdst.243

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