1La présente recherche a pour objet d’analyser les raisonnements d’élèves du secteur technique au Québec à l’égard des lois de Kirchhoff sur les courants et les tensions. Ainsi, dans la première section nous présenterons un bref état des travaux sur les raisonnements d’élèves qui se réfèrent aux concepts d’intensité et de tension électriques. Dans la deuxième section, nous décrirons la méthode de recherche, qui utilise le « questionnaire papier-crayon » et les entretiens individuels, ainsi que les caractéristiques de la population cible. La construction du questionnaire écrit de l’expérimentation fera l’objet de la troisième section et la quatrième section sera consacrée à l’analyse des raisonnements d’élèves d’après les données du questionnaire écrit. Enfin, le questionnaire de l’entrevue et son analyse seront présentés à la cinquième section qui sera suivie de nos conclusions.

1. Revue des recherches sur les raisonnements d’élèves en électrocinétique

2Depuis les années soixante-dix, de nombreuses recherches effectuées auprès d’élèves de 8 à 22 ans ont identifié de multiples difficultés conceptuelles concernant la compréhension des concepts d’intensité et de tension électriques. Ces recherches ont réussi à mettre en évidence, dans le cas de l’étude du fonctionnement de circuits électriques simples, le recours par les élèves âgés de 8 à 20 ans à plusieurs formes de raisonnements erronés, comparativement à ceux élaborés dans le cadre de la théorie des circuits électriques (Tiberghien, 1983). Les plus répandus sont : le raisonnement à « courant unipolaire » (Tiberghien & Delacote, 1976 ; Benhamida, 1980 ; Osborne, 1981 ; Closset, 1983 ; von Rhöneck, 1983), le raisonnement à « courants antagonistes » (Tiberghien & Delacote, 1976 ; Osborne, 1983 ; Shipstone, 1984), le raisonnement « circulatoire avec épuisement du courant » (Fredette & Lochhead, 1980 ; Shipstone, 1984 ; Maichle, 1991), le raisonnement « local » (Shipstone, 1984) ; le raisonnement à « courant constant » (Missonnier & Closset, 2004) ; le raisonnement « séquentiel » (Shipstone, 1984 ; Closset & Viennot, 1984 ; Closset, 1989) et le raisonnement s’appuyant sur la cohabitation de plusieurs courants, indépendamment les uns des autres dans un même conducteur (Lavoie et al., 1991).

3L’analyse des raisonnements des élèves montre que plusieurs ont conservé des représentations « naïves » des notions d’intensité et de tension malgré un enseignement formel. Les représentations qui perdurent, en dépit d’un enseignement échelonné sur plusieurs années, sont : une intensité de courant nulle implique une tension nulle (Cohen et al., 1983 ; von Rhöneck, 1983 ; Millar & Beh, 1993 ; Millar & King, 1993 ; Métioui et al., 1995) ; une substantialisation du potentiel électrique (Benseghir & Closset, 1993) ; l’existence d’un courant statique dans les fils électriques en circuit ouvert (Closset, 1983 ; Eylon & Ganiel, 1990 ; Benseghir & Closset, 1993).

4La plupart de ces travaux ont porté sur les raisonnements d’élèves du secondaire concernant le fonctionnement de circuits électriques simples. Quant à l’étude de circuits électriques complexes, qui font appel à des concepts plus élaborés, tels les théorèmes de superposition de Thévenin et de Norton, nous n’avons pas trouvé trace de recherches à ce sujet. Sur le plan de la théorie, la présente recherche aborde des situations plus complexes que dans les travaux cités. Ainsi, tout en s’inscrivant dans une continuité, elle espère apporter une contribution originale sur le plan didactique. En plus, elle analyse le raisonnement d’élèves du secteur technique, qui semble avoir fait l’objet de peu d’études (Gillet, 1980, 1981 ; Baril, 1993 ; Levasseur, 1996 ; Fontaine & Métioui, 1989 ; Lavoie et al., 1991 ; Métioui et al., 1995). Les lignes qui suivent présentent une analyse des raisonnements d’élèves, relatifs au fonctionnement des circuits électriques dans les cours de base du secteur des techniques de génie électrique au Québec.

2. Méthodologie et population cible

3. Construction du questionnaire papier-crayon

6Les problèmes retenus pour analyser les raisonnements des élèves font directement appel aux principes de base des lois de Kirchhoff. Leur résolution nécessite l’acquisition des concepts d’intensité et de tension électriques. Les élèves devaient en effet comprendre ces lois pour résoudre les problèmes. Notons que les lois de Kirchhoff revêtent une grande importance dans le cadre de ce programme, puisque leur assimilation est nécessaire pour dégager une vision claire et précise du fonctionnement d’un circuit électrique ou électronique. Soulignons qu’elles sont les deux seules lois universelles de la théorie des circuits : en les combinant avec les relations intensité-tension spécifiques à chacun des composants, on peut résoudre tous les problèmes de la théorie des circuits. En pratique, l’habileté à appliquer ces lois intervient explicitement ou implicitement dans la plupart des situations de dépannage ou de conception. Nous avons ainsi construit trois problèmes : chacun exploite une situation importante pour le technicien.

3.1. Construction du problème 1

7Dans le premier problème (schéma électrique présenté à l’annexe A), il s’agit de calculer la tension V_a de la source de tension. Les symboles utilisés sont définis dans le questionnaire et les noms des nœuds N_a et N_b (indiqués par les lettres a et b sur le schéma électrique du problème 1), ainsi que la flèche pour l’intensité I₁ n’apparaissent pas sur le schéma soumis à l’élève : il devra donc nommer les nœuds et l’intensité avant de formuler une solution au problème.

8On choisit la borne négative de la pile comme masse ; la tension V_a de la pile devient alors le potentiel du nœud N_a. L’application de la loi de Kirchhoff sur les courants (LKC) à l’embranchement permet de calculer I₁ avec pour résultat I₁ = – 5 mA. Rappelons que cette loi stipule que la somme algébrique des intensités instantanées qui entrent dans une surface fermée est égale à la somme algébrique des intensités qui en sortent. L’application de la loi d’Ohm sur les résistances de 100 Ω permet d’obtenir respectivement :

Va – Vb = 100 Ω x 10 mA = 1,0 V et Vb = 100 Ω x (– 5 mA) = – 0,5 V.

9Il suffit donc d’additionner les deux précédentes équations pour trouver la réponse : V_a = 0,5 V.

10On peut également utiliser un support visuel (flèche ou autre symbole) pour indiquer les tensions sur le schéma et manipuler les tensions au lieu des potentiels. Une autre démarche valable consiste à remplacer la source de courant et la résistance de 100 Ω en parallèle par une source de tension avec une résistance en série (théorème de conversion Thévenin-Norton), mais dans ce cas précis, le problème ne s’en trouve pas simplifié pour autant.

3.2. Construction du problème 2

11Le second problème (annexe A) est directement applicable aux circuits utilisant un amplificateur opérationnel. Le composant X étant de nature non spécifiée (une boîte noire), il s’agit de calculer la tension V_cb à ses bornes, sachant que le voltmètre idéal lit une tension nulle. Les intensités I₁ et I₂ restent à nommer par l’élève. Pour résoudre ce problème, on applique d’abord la LKC : l’intensité du courant étant négligeable dans un voltmètre idéal, elle est identique dans les deux résistances, soit I₁ = I₂. On choisit un nœud quelconque pour la masse puisque le voltmètre lit une tension nulle (V_d = V_b).

12La loi d’Ohm sur la résistance de 1 kΩ donne I₁ = (V_a – V_d) / 1 kΩ = 12 mA. Réappliquer cette même loi sur la résistance de 10 kΩ avec cette même intensité de 12 mA permet de trouver :

Vd – Vc = 10 kΩ x 12 mA = 120 V, d’où Vc – Vb = – 120 V.

13Comme pour le problème précédent, l’élève pouvait utiliser des flèches en guise de support visuel pour représenter les tensions. En effet l’application de la loi d’Ohm exige, entre autres, le respect du sens de déplacement des charges électriques.

3.3. Construction du problème 3

14Le troisième problème (annexe A) se rapporte à un diviseur de tension, probablement le circuit le plus utilisé en électronique et dont l’assimilation est la plus importante pour un technicien. Cette question fait appel à des situations intuitives, et permet de vérifier si l’élève peut appuyer ces situations sur un raisonnement logique et les exprimer de manière cohérente. Il s’agit de déterminer si la tension V_ab est plus près de 12 V ou de 5 V, sachant que R₁ est beaucoup plus faible que R₂, et que rien n’est branché à la borne N_a. On demande de faire le raisonnement sans calculer V_ab.

15Le cheminement suivant est approprié : puisque rien n’est branché à la borne N_a, la LKC permet de conclure que les intensités dans R₁ et R₂ sont égales. La loi d’Ohm appliquée à R₁ et R₂, couplée au fait que R₁ est beaucoup plus faible que R₂ permet de conclure que la tension aux bornes de R₁ est beaucoup plus petite en valeur absolue que la tension aux bornes de R₂. Par la loi de Kirchhoff sur les tensions (LKT), nous savons que cette tension aux bornes de R₁ est la différence entre V_ab et 12 V tandis que celle aux bornes de R₂ est la différence entre V_ab et 5 V, d’où la conclusion que V_ab est plus près de 12 V que de 5 V (la différence étant plus faible en valeur absolue). Rappelons que la LKT précise que la somme algébrique des tensions entre les paires successives de nœuds de cette suite est égale à la tension entre le dernier nœud et le premier (la tension totale). Un nœud est soit une seule borne non raccordée, soit un seul conducteur avec les deux bornes qu’il relie ou un ensemble de conducteurs et de bornes intereliés (Brassard et al., 1996, p. 94). Un nœud correspond donc à un potentiel unique.

16L’objectif principal est de vérifier si les élèves invoquent correctement la LKC, la loi d’Ohm et la LKT, les trois étant requises pour résoudre ce problème. Le raisonnement indiqué ici admet plusieurs variantes.

17Ce questionnaire a été validé suite à sa présentation à une vingtaine d’étudiants inscrits en première année (génie électrique) à l’école de technologie supérieure. Cette école reçoit les diplômés en technologie de génie électrique, qui souhaitent continuer leurs études pour l’obtention d’un diplôme d’ingénieur d’application. Aussi, on a demandé aux professeurs, qui enseignaient aux élèves qui ont participé à notre expérimentation, de commenter le questionnaire, entre autres tout ce qui a trait à la formulation des questions. À ce propos, ils nous ont précisé que toutes les notions requises pour résoudre les problèmes étaient couvertes dans le cadre des cours du tronc commun portant sur les circuits électriques. Ils nous ont aussi fait savoir, qu’en théorie, leurs élèves sont supposés pouvoir résoudre les problèmes proposés, malgré la nature inhabituelle des questions formulées. D’ailleurs, ils ont fait preuve d’une grande ouverture d’esprit en encourageant leurs élèves à participer à notre expérimentation, puisque la distribution du questionnaire était sur une base volontaire. En outre, ils ont accepté d’en superviser la distribution. Nous leur avions également donné comme consigne de fournir des explications aux élèves qui souhaitaient se voir préciser les questions, sans toutefois influencer leurs réponses.

4. Analyse des raisonnements des élèves

18L’analyse des raisonnements des élèves s’est déroulée en deux étapes. La première a débuté par une catégorisation des réponses, en distinguant les réponses correctes et celles qui sont incorrectes. Pour qualifier les réponses de correctes ou d’incorrectes, nous les comparons à celles illustrées plus haut. Ensuite, nous avons interprété l’ensemble des réponses identifiées dans les catégories afin de caractériser les modes des raisonnements les plus répandus.

4.1. Catégorisation des réponses et analyse des raisonnements des élèves relativement au problème 1

19Une première analyse des données nous a permis de relever cinq catégories de réponses (présentées au tableau 1) ; Quelques réponses typiques, qui illustrent les raisonnements de l’élève, sont reproduites intégralement pour chacune de ces catégories.

20Les catégories relevées montrent les difficultés conceptuelles qu’éprouvent les élèves à raisonner adéquatement, alors que seulement 4 % d’entre eux ont réussi à appliquer la LKC. Ainsi, 58 % des élèves ont une représentation erronée de la source de courant. Leur raisonnement s’appuyait sur les éléments suivants : une source de courant ne correspond pas à un composant, en dépit du fait que tous les symboles utilisés étaient explicités dans le questionnaire, et ils l’assimilent à un ampèremètre (30 %) ; la source de courant ajoute au courant qui existait déjà dans sa branche, en provenance des autres sources (28 %). Finalement, 28 % des élèves ont supprimé la source de courant et ont ramené le circuit à la source de tension montée en série avec les deux résistances tandis que 10 % ont ignoré la source de courant, tout en considérant les deux résistances montées en parallèle. Une comparaison entre les raisonnements des élèves et ceux élaborés dans le cadre de la théorie des circuits électriques est présentée au tableau 2.

Tableau 1. Catégories extraites du problème 1 et propos d’élèves.

Catégorie	Interprétation		%	(c1, c2, c3)*
1	La source de courant étant équivalente à un ampèremètre, elle ne peut donc pas indiquer un courant plus grand que celui débité par la source de tension : raisonnement incorrect.		30	(29 %, 36 %, 38 %)
« Je ne comprends pas, car il passe 15 mA dans une branche quand il en entre 10 mA dans le nœud. » (E131-1) « Impossible, la source émet 10 mA et l’ampèremètre indique 15 mA, donc il ne peut pas avoir 15 mA si la source ne donne pas ça. » (E1-2) « J’ai bien peur que l’ampèremètre va brûler, branché de cette manière. » (E78-3)
2		La source de courant ajoute son courant à celui qui était déjà présent dans cette branche et les deux résistances sont placées en série ou en parallèle : raisonnement incorrect.	28	(24 %, 22 %, 20 %)
« Va = VR1 + VR2 = 10 mA x 100 Ω + 15 mA x 100 Ω = 100 Ω x (10 mA + 15 mA) = 100 Ω x 25 mA ; Va = 1 V + 1,5 V = 2,5 V » (E20-1) « V = R x I = 200 Ω x 25 mA = 5 V. La source de courant fait augmenter le courant initial de 15 mA, donc le courant sera égal à 25 mA. J’ai deux résistances en série, donc la résistance est égale à la somme des deux. » (E60-2) « VR1 = 10 mA x 100 Ω = 1 V (chute de tension de 1 V). VR2 = 15 mA x 100 Ω = 1,5 V ; Va = 1 V + 1,5 V ; Va = 2,5 V ; It = 10 mA + 15 mA = 0,025 A ; R total = (R1 x R2) / (R1 + R2). » (E120-3)
3		Le circuit est constitué de deux résistances placées en série et la source de courant n’a aucune fonction : raisonnement incorrect.	28	(30 %, 26 %, 23 %)
« Deux résistances de 100 Ω en série = 200 Ω de résistance équivalentes. E = R x I = 200 Ω x 0,01 A ; Va = 2 V ; la source de 15 mA est comme un circuit ouvert. » (E110-1) « Va = 10 mA x 200 Ω = 2 V. La tension de la source ne varie pas avec la présence d’une source courant. On fait comme si elle n’existait pas. E = R. I » (E30-2) « Va = I. R(t) ; Va = 10 mA x 200 Ω = 2 V. La tension Va est équivalente à la somme des chutes de potentiel du circuit. » (E151-3)
4		Les deux résistances sont placées en parallèle avec la source de tension et chacune est traversée par un courant de 10 mA, donc la source de courant n’a aucune fonction : raisonnement incorrect.	10	(12 %, 10 %, 11 %)
« VR1 = 10 mA. 100 Ω = 1 V = Va. » (E114-1) « VR1 = VR2 = Va = 10 mA x 100 Ω = 1 V. » (E17-2) « E = R x I = 100 Ω x 10 mA = 1 V. Le courant de 10 mA traverse [la résistance de] 100 Ω, donc il est facile de trouver la tension. » (E153-3)
5		Dans un embranchement, la somme des courants entrant doit être égale à la somme des courants sortant : raisonnement correct.	4	(5 %, 6 %, 8 %)
« 100 Ω x 10 mA = 1 V et 100 Ω x (– 5 mA) = – 0,5 V, donc Va = 0,5 V. » (E80-1) « En un point entre les entrées et les sorties d’un courant = 0 A. Donc, il circule – 5 mA dans R1 ; 100 Ω x (– 5 mA) = – 0,5 V et 100 Ω x 10 mA = 1V donc : Va = 1 V – 0,5 V = 0,5 V. » (E167-2) « V1 = R x I = 100 Ω x 0,01 A = 1V ; V2 = R x (I1 + I2) = 100 Ω (10 mA – 15 mA) = – 0,5 V ; Va = V1 + V2 ; Va = 0,5 V. » (E168-3)

(c₁, c₂, c₃) sont respectivement les pourcentages du collégial 1, 2 et 3.

Tableau 2. Comparaison des raisonnements des élèves et des experts (problème 1).4.2. Catégorisation des réponses et analyse des raisonnements des élèves relativement au problème 2

Raisonnement d’élèves	Raisonnement d’experts
La source de courant n’affecte pas le circuit, elle agit comme un appareil de mesure.	La source de courant impose le courant dans la branche où elle est située.
Une source de courant ajoute son courant à celui qui était déjà présent dans cette branche, produit par une source de tension.
La tension est déterminée, pour un composant, par son contact avec une seule borne d’une pile.	Deux composants en parallèle (ayant leurs bornes branchées respectivement aux mêmes nœuds) ont la même tension.
Dans un circuit, le courant le plus élevé est nécessairement celui de la pile et il correspond au courant total. De plus, la tension de la pile équivaut au produit de la résistance totale et du plus fort courant.	Dans un circuit, le courant le plus élevé n’est pas nécessairement celui de la pile sauf dans certains cas particuliers, par exemple si ce circuit n’est formé que de résistances et d’une seule pile.
Les courants sont les attributs des composants et la LKC n’est pas nécessairement respectée.	Les courants sont les attributs des branches du circuit et la LKC est une loi fondamentale ; elle est toujours respectée dans le cadre de la théorie des circuits.
Dans une démarche de superposition, les courants et les tensions partiels sont réels ; ils correspondent à un phénomène physique mesurable.	Le théorème de superposition fait intervenir des courants et des tensions partiels purement fictifs : ce ne sont que des artifices mathématiques de calcul.
Puisque dans une démarche de superposition, les sources de courant sont remplacées par des circuits ouverts, elles peuvent être ignorées pour le calcul des valeurs réelles.	Dans une démarche de superposition, on ne considère qu’une seule source à la fois. Les valeurs des courants et des tensions réels correspondent à la somme des valeurs partielles (et fictives) calculées avec chaque source fonctionnant séparément.
Dans un circuit, le courant est associé à une maille.	Le courant est défini dans un conducteur et par extension, il s’applique à toute la branche.
Le courant fourni par la pile correspond au « courant total » et la multiplication de celui-ci par la somme des résistances de la boucle associée à cette pile équivaut à la tension de cette dernière.	Dans un circuit, pour une boucle donnée, la somme des différences de potentiel est nulle. Si cette boucle comprend une pile, la somme des autres différences de potentiel est égale à celle de cette pile. Cependant, le courant dans chacun des composants de cette boucle n’est pas nécessairement le même.
Dans une boucle, on n’a pas besoin de tenir compte des signes des tensions.	Les tensions sont polarisées ; on doit nécessairement en faire la somme algébrique (respecter le signe) lorsqu’on applique la LKT.

4.2. Catégorisation des réponses et analyse des raisonnements des élèves relativement au problème 2

21Dans le cas de ce problème, on a relevé six catégories de réponses (tableau 3).

Tableau 3. Catégories extraites du problème 2

Catégorie	Interprétation	%	(c1, c2, c3)
1	La tension aux bornes de la boîte noire X est nulle puisque la tension lue par le voltmètre est nulle : raisonnement incorrect.	16	(12 %, 18 %, 22 %)
« S’il n’y en a pas de tension aux bornes du voltmètre, la tension doit donc être nulle aux bornes de la boîte noire. » (E123-1) « Si le voltmètre voit 0 V, il n’y aura pas de tension aux bornes de la boîte X. » (E141-2) « Vcb = 0 V, s’il n’y a pas de tension au voltmètre à ce point, il n’y en a nulle part. » (E153-3)
2	Substitue la boîte noire X par une source tension : raisonnement incorrect.	25	(20 %, 22 %, 18 %)
« Vcb = – 12 V, les deux sources sont en opposition. » (E162-1) « Vcb = – 12 V, puisque le voltmètre indique 0 V et que la tension des composantes doit donner la tension de la ligne. » (E142-2) « Pour qu’il n’y ait aucune tension à ce point, il faut que ce soit une source de 12 V en sens inverse. » (E83-3)
3	La tension lue par le voltmètre est nulle, ce qui implique qu’aucun courant ne passe dans le circuit et par conséquent la tension aux bornes de la boîte X est nulle : raisonnement incorrect.	24	(30 %, 16 %, 18 %)
« Le circuit est ouvert à l’endroit de la boîte puisque la tension lue par le voltmètre est nulle. Donc, Vcb = 0 V. » (E40-1) « Vcb = 0 V, si le voltmètre indique 0 V, cela veut dire qu’il ne passe pas de courant dans le circuit. » (E10-2) « Il n’y a pas de courant qui passe dans la boîte X car la tension lue par le voltmètre est nulle. Par la loi d’Ohm on sait que quand il n’y a pas de courant il n’y a pas de tension. » (E112-3)
4	Considère le composant inconnu comme une résistance dont il faut connaître la valeur pour pouvoir déterminer la tension à ses bornes : raisonnement incorrect.	22	(20 %, 24 %, 20 %)
« D’après moi, ça ne se peut pas. Si le voltmètre ne lit rien et qu’il est en parallèle avec Vcb, et en plus on ne connaît pas la valeur de la résistance de la boîte X. » (E7-1) « I = E / (R1 + R2 + R3) = 12 V / (11 K ? + X) ; je ne suis pas capable de continuer. » (E44-2) « On ne connaît la résistance de la boîte noire. » (E109-3)
5	Si le voltmètre lit une tension nulle, le circuit devient série et en ignorant la boîte noire on peut calculer le courant dans le circuit. Ensuite, il suffit de calculer les tensions aux bornes de chaque résistance en appliquant la loi d’Ohm. Finalement, on déduit la tension aux bornes de la boîte en soustrayant les tensions calculées de la tension de la pile. Ce raisonnement est circulaire : ces élèves traitent le composant X comme un conducteur et démontrent ainsi que la tension à ses bornes est nulle (aux arrondis près) : raisonnement incorrect.	5	(10, 5, 6)
Catégorie	Interprétation	%	(c1, c2, c3)
« Si V = 0 x V, le circuit devient série. Donc, le courant sera le même partout. Rt = 1 kΩ + 10 kΩ ; Rt = 11 kΩ ; V10K = 12 V. 10 kΩ / 11 kΩ = 10,9 V et V1K = 12 V x 1 kΩ / 11 kΩ = 1,09 V ; Vcb = 12 V – 10,9 V – 1,09 ; Vcb = 0,01 V. » (E127-1) « I = (12 V / 11 kΩ) = 1,09 mA ; V10K = 10,9 V et V1K = 1,09 V ; Vcb = 0,01 V. » (E154-2) « Rt= R1 + R2= 11 kΩ; I= E / R= 12 V / 11 kΩ= 1,09 mA; V1K= I x R= 1,09 mA. 1 kΩ= 1,09 V; V10K= I x R= 1,09 mA x 10 kΩ= 10,9 V; Vcb= 12 V – 10,9 V – 1,09 V= 0,01 V. » (E169-3)
6	Appliquent la loi d’Ohm sur la résistance de 1 kΩ et réappliquent cette même loi sur la résistance de 10 kΩ avec le courant calculé : raisonnement correct.	11	(5, 15, 16)
« I= 12 V / 1 K= 0,012 A; Vcb= 10 K x 0,012= 120 V. » (E5-1) « 12 V x 10 K= 1 K. Vcb; Vcb= 120 V. » (E27-2) « 12 V / 1 K= 0,012 A; Vcb= 0,012 A x 10 K= 120 V. » ( E49-3)

c₁, c₂, c₃ sont respectivement les pourcentages du collégial 1, 2 et 3.

22Les catégories identifiées démontrent que la majorité éprouve des difficultés à manipuler les différences de potentiel et à appliquer adéquatement la loi des tensions de Kirchhoff. Seulement 11 % des élèves ont abordé le problème correctement, hormis un problème de signe pour quelques-uns.

23Tel que discuté plus haut, ce problème se résolvait par l’utilisation des lois de Kirchhoff et d’Ohm. Cependant, un grand nombre des élèves des catégories 1 et 2 (soit près de la moitié de ceux qui répondent) confond le potentiel d’une borne d’un composant et la différence de potentiel aux bornes du même composant. Leurs représentations d’intensité, de potentiel et de différence de potentiel sont donc erronées. Plusieurs n’ont pu poursuivre leurs raisonnements après avoir assimilé le composant inconnu à une résistance (22 %). Ainsi, suite à leurs raisonnements, un circuit doit être constitué exclusivement de sources de tension et de résistances pour pouvoir appliquer la loi d’Ohm. C’est aussi le cas des élèves ayant assimilé la boîte noire à une source de tension (25 %). D’autres confondent intensité et tension en assimilant par exemple le voltmètre à un conducteur de résistance nulle à cause de la tension nulle à ses bornes (24 %). Ainsi, leurs démonstrations s’appuient sur des représentations erronées, par exemple qu’une intensité nulle implique une tension nulle, qu’une tension nulle correspond à un court-circuit et qu’une boîte noire est nécessairement résistive. Notons que ces représentations sont aussi répandues chez des élèves qui poursuivent des études postsecondaires au secteur général, comme nous l’avons souligné dans la section portant sur l’état de la question. Le tableau 4 compare les raisonnements des élèves et ceux des experts concernant le problème 2.

Tableau 4. Comparaison des raisonnements des élèves et des experts (problème 2)

Raisonnements d’élèves	Raisonnements d’experts
Un composant inconnu peut être traité comme une résistance.	La résistance est une fonction très particulière ; il en existe plusieurs autres.
Si la différence de potentiel aux extrémités d’une branche est nulle, alors la tension aux bornes de chacun des composants est nécessairement nulle.	La différence de potentiel aux extrémités d’une branche égale la somme algébrique des tensions de chacun des composants de cette branche. Compte tenu des signes, leur somme peut s’annuler sans pour autant que chacune d’elles soit nulle.
Si la différence de potentiel aux bornes d’un composant est nulle, alors le courant est également nul.	La condition simultanée de différence de potentiel nulle et de courant nul n’est réalisée que pour certains composants (la résistance étant l’un de ces cas particuliers).
Deux piles identiques et en opposition sur une branche annulent le courant ainsi que tous les potentiels de cette branche.	Les tensions produites par deux piles identiques et en opposition sur une branche s’annulent, mais le courant de la branche et les potentiels ne s’annulent pas nécessairement.
La tension aux bornes d’un composant peut être obtenue à partir du potentiel d’une seule de ses bornes.	La tension aux bornes d’un composant est la différence de potentiel entre ses deux bornes.
Deux courants de même valeur s’annulent en se rencontrant dans un embranchement, et à ce point, le potentiel est nul.	Deux courants entrant dans un embranchement s’additionnent selon la LKC et on ne peut en tirer de conclusion immédiate concernant le potentiel.

4.3. Catégorisation des réponses et analyse du raisonnement des élèves relativement au problème 3

24Dans le cas de ce dernier problème, nous avons relevé trois catégories de réponses (tableau 5).

25Ce problème ressemble au précédent, sauf qu’il est formulé de façon qualitative, « la résistance R₁ est beaucoup plus faible que R₂ », et n’offre que deux possibilités de réponses, soit 12 V ou 5 V. Du simple fait de ce choix, on retrouve plusieurs réponses correctes, mais pour la majorité, elles sont justifiées sur la base de connaissances non conformes à celles avancées dans le cadre de la théorie des circuits électriques (44 %). Les élèves de la catégorie 2 (22 %) n’ont pas tenu compte du fait qu’aucun composant n’est branché sur la borne N_a et par conséquent, les intensités dans R₁ et R₂ sont égales. Quant aux élèves de la catégorie 1 (22 %), ils n’ont pas tenu compte du fait qu’une source de tension fixe la tension entre deux nœuds d’un circuit et qu’on ne peut tirer de conclusion immédiate concernant les autres tensions. Le tableau 6 compare les raisonnements des élèves et ceux établis dans le cadre de la théorie des circuits électriques du problème 3.

Tableau 5. Catégories extraites du problème 3

Catégorie	Interprétation	%	(c1, c2, c3)
1	La tension mesurée en tout point d’un circuit contenant deux piles branchées en opposition correspond à leur différence de tension : raisonnement incorrect.	26	(22 %, 27 %, 23 %)
« Elle est plus près de 5 V car les 12 V l’emportent sur 5 V et que 12 V – 5 V = 7 V, ce qui est plus près de 5 que de 12. » (E4-1) « Deux tensions positives se soustraient, la plus forte l’emportant. E = 12 V – 5 V = 7 V. Donc la tension est plus près de 5 V. » (E74-2) « Vab est plus près de 5 V parce que la somme des tensions aux bornes de la résistance R2 est de 7 V (12 V – 5 V). » (E92-3)
2	Implicitement, ces élèves ont supposé qu’il y a quelque chose de branché sur la borne (a) puisque d’après leur raisonnement, deux courants différents circulent dans les deux résistances (la plus faible (R1) est traversée par un plus grand courant car elle offre moins de résistance au passage des charges et vice versa) : interprétation erronée du circuit présenté.	44	(50 %, 35 %, 47 %)
« La tension sera plus près de 12 V. Si la R1 est plus faible, il va passer plus de courant que dans R2. » (E3 1) « Plus près de 12 V, plus la résistance est petite, plus le courant est fort. » (E60-2) « Vab va être plus près de 12 V, car le courant sera plus élevé dans R1. » (E78-3)
3	Considère, le même courant circule dans les deux résistances. En appliquant la règle du diviseur de tension : raisonnement correct.	30	(28 %, 38 %, 30 %)
« Vab est plus près de 12 V parce qu’en faisant les niveaux de tension : Vab = – R1 x I = 12 V. Si R1 est faible, alors Vab se rapproche de 12 V ; Vab = – R2 x I = 5 V. » (E5-1) « Plus près de 12, car la chute de potentiel aux bornes de R1 va être beaucoup plus faible que la chute aux bornes de R2 et que Vab est le résultat de 12 V – VR1 ou 5 V + VR2. » (E52-2) « Si R1 est faible  faible chute de tension  près de 12 V. » (E169-3)

(c₁, c₂, c₃) sont respectivement les pourcentages du collégial 1, 2 et 3.

Tableau 6. Comparaison des raisonnements des élèves et des experts (problème 3)

Raisonnement d’élèves	Raisonnement d’experts
Deux piles en opposition sur une branche « se combattent » et la tension mesurée en tout point correspond à leur différence.	La pile (source de tension) fixe la tension entre deux nœuds d’un circuit. On ne peut tirer de conclusion immédiate concernant les autres tensions.
Les tensions circulent à travers les résistances et elles se dégradent en cours de route.	Le potentiel électrique est un attribut du nœud ; il ne circule pas.
Sur une branche, plusieurs courants existent simultanément et possèdent des valeurs qui correspondent à celles des composants.	La branche supporte un courant unique à un temps donné. Sa valeur dépend de l’interaction de cette branche avec le reste du circuit.
Les tensions sur une branche se rapprochent toujours de la pile la plus forte, car cette dernière l’emporte sur les autres.	Le potentiel appartient au nœud ; sa valeur dépend du point de référence choisi (masse) et des interactions entre les composants du circuit. Les tensions sont des différences de potentiel.

5. Construction du protocole de l’entretien

26Afin de mieux cerner les raisonnements des élèves lorsqu’ils appliquent la LKC et la LKT, nous les avons mobilisés, cette fois-ci, sur deux problèmes (annexe B). Le premier problème consiste à analyser un circuit simple en termes d’intensité (LKC) et le second à l’analyser en termes de tension (LKT). Le problème 1 comporte deux questions se rapportant au même circuit et fait intervenir la LKC appliquée à une surface fermée : il s’agit de déterminer une intensité à partir de deux autres connues. La première question vise le sens du courant et la seconde sa valeur numérique. On considère une surface fermée qui englobe tous les composants de ce circuit. La LKC stipule que l’intensité qui entre dans la résistance de 8 Ω par le point B s’additionne à l’intensité de 1 A pour donner 2 A ; il s’agit donc d’un courant d’une intensité de 1 A. Autrement dit, un courant d’intensité de 1 A sort de la masse et se déplace dans la résistance de 8 Ω de B vers A.

27Quant au problème 2, il comprend deux questions se rapportant à la LKT dans un circuit où deux piles s’additionnent sur une boucle. On demande d’abord de calculer la tension totale, puis d’évaluer l’effet d’ajouter une troisième pile (annexe B, problème 2b).

28À la première question (2a), une application directe de la LKT nous donne immédiatement la réponse, soit V_ab = – 4 V + 10 V = 6 V. À la deuxième, la LKT s’applique toujours de la même manière et par conséquent, nous conservons V_ab = 6 V. Dans la mesure où les deux premières piles sont de véritables sources de tension, la troisième ne les perturbe en rien.

6. Analyse des données de l’entretien

29L’entretien a été mené par un des deux chercheurs de la présente étude, qui connaît bien les techniques reliées à ce type d’intervention. Précisons qu’il n’y a eu aucune interruption inattendue lors du déroulement de l’entretien, comme par exemple des demandes d’éclaircissement ou d’autres indices d’un manque de compréhension de la part des élèves. Le questionnaire a été administré en entrevues semi-dirigées, afin de permettre à l’élève de s’exprimer davantage. Nous n’avons retenu aucun critère pour choisir les élèves, qui ont participé de façon volontaire. Comme dans le cas du questionnaire papier-crayon, nous avons appliqué le critère de saturation des réponses, décrit précédemment, pour décider du nombre d’élèves à retenir.

6.1. Analyse du premier problème

30Les difficultés conceptuelles, déjà identifiées lors de notre analyse du questionnaire-papier crayon, se sont manifestées au cours des entretiens. En plus, nous avons pu discerner une nouvelle représentation erronée, suite à l’analyse du premier problème. En effet, dans le cas de l’application de la LKC, 75 % des élèves du collégial 1 ont indiqué une orientation incorrecte du sens du courant traversant la résistance de 8 Ω et, selon leur raisonnement, le courant ne peut provenir d’une masse puisque dans un circuit électrique, les charges se déplacent toujours du composant vers la masse. Voici en quels termes quelques-uns ont justifié leurs raisonnements :

Bien, je me fie toujours au sens conventionnel de l’électronique. Du plus vers le moins. Donc, j’imagine que si on part du plus, on fait le tour et on revient vers la masse. (C_3-1)

Parce qu’il [le courant] s’en va vers la masse. (C_7-1)

Parce qu’il ne peut pas y avoir un courant qui vient de la masse. (C_12-1)

Par ailleurs, 55 % et 62 % respectivement des collégials 2 et 3 ont exprimé le même raisonnement :

Le courant ne peut pas entrer de la masse […] ce n’est pas une source. (C_13-2)

Le courant ne peut pas voyager par là. Il va de la plus et il va voyager ainsi comme ça, puis il ne pourra pas revenir à la source, il va aller à la masse. (C_24-3)

31Les élèves C_5-1, C_8-1, C_11-1, C_18-2 et C_25-3 ont des difficultés à analyser la situation présentée et avouent leur incapacité à solutionner le problème :

Je ne le sais pas celui-là. (C_5-1)

Il faut que ça fournisse 3 A là, vu qu’il en rentre juste 1. Il faut que ça pousse dans ce sens-là pour sortir 3 là […] Je ne sais pas si j’ai raison, là. (C_18-2)

J’ignore le sens. (C_25-3)

32Finalement, les élèves C_10-1, C_16-2, C_11-1, C_17-2, C_21-2, C_22-3 et C_28-3 ont donné une réponse correcte. Mais lorsque nous leur avons demandé d’expliquer un courant qui circule de la masse à l’élément (la résistance), seuls C_10-1, C_22-3 et C_28-3 ont réussi à argumenter leur réponse en affirmant :

Parce que le point A doit être plus négatif. (C_10-1)

Ça se peut si le potentiel est plus bas de l’autre côté. (C_22-3)

C’est parce que tu as une pile avec une borne négative, c’est lui qui tire le courant. (C_28-3)

33Selon l’élève C_22-1 le courant se déplace de la masse à la résistance car c’est un courant négatif.

34Voici comment les élèves C_16-2 et C_17-2 ont compris que leur réponse n’était pas juste :

D’après moi, je dois m’être trompé. Ça serait plutôt de A vers B. (C_16-2)

Ah ! C’est vrai. Je ne le sais pas. […] la pile est de 10 volts, elle n’est pas de moins dix (– 10). Donc, le courant doit aller comme ça. (C_17-2)

35Ces difficultés concernant le sens du déplacement des charges peuvent expliquer les problèmes rencontrés par les élèves pour déterminer l’intensité du courant traversant la résistance de 8 Ω demandée à la question 2. En effet, aucun élève n’a constaté qu’un courant d’une intensité de 1 A doit traverser cette résistance. Par exemple, C_1-1, C_2-1, C_9-1 et C_12-1 se sont référés à la règle du diviseur de tension ou d’intensité, sans pouvoir les appliquer adéquatement. Par ailleurs, une majorité a précisé n’avoir aucune idée sur la question (C_5-1, C_8-1, C_11-1, C_23-3 et C_25-3) et d’autres ont tenté d’appliquer la loi d’Ohm aux bornes de la résistance (C_4-1, C_6-1, C_13-2, C_15-2, C_16-2, C_20-2, C_21-2, C_28-3 et C_29-3) :

Je détermine mon voltage que j’ai aux points A et B. Puis je divise ça par sa résistance. (C_6-1)

C’est encore avec la loi d’Ohm, mais je suis embêté de le faire. (C_15-2)

Je prendrai moins 10 volts, encore la loi d’Ohm. (C_28-3)

36Finalement, le discours des autres élèves est construit à l’aide de représentations floues. Les données ci-dessous en présentent quelques caractéristiques :

C’est un circuit série, donc le courant va être égal partout. […] Si on divise le 10 volts par la somme des résistances, ça va nous donner encore un ampérage qui va être égal partout parce que c’est un circuit série. (C_3-1)

Je prendrai la résistance totale. […] Là, je regarderai le courant qui passe, au total là. […] Puis après ça, je diviserai la tension par chaque résistance. (C_17-2)

Je vais trouver la chute de tension ici, à la 5 ohms […] Ensuite ici, on a une source de 10 volts, donc je vais pouvoir trouver la chute de tension ici, au moins aux bornes de la 5 ohms qui est parallèle. […] Après avoir trouvé les chutes de tension, je suis capable de trouver les courants qui vont circuler dans la 5 ohms et dans la 10 ohms. […] Si j’ai le courant, bien je vais pouvoir savoir le courant qui va passer dans la 8 ohms. (C_22-3)

37En résumé, aucun n’a réussi à justifier sa réponse concernant le sens du courant. Seulement 17 %, 22 % et 25 % des collégials 1, 2 et 3 respectivement ont indiqué le sens correct du courant, sans appuyer leur réponse sur des arguments valables. Il est surprenant de constater qu’aucun des 29 élèves interrogés n’a pu déterminer la valeur numérique de l’intensité. Leurs raisonnements s’appuient sur les éléments suivants : le courant électrique circule toujours vers la masse ; un courant ne peut sortir de la masse que si les potentiels sont négatifs ; la LKC ne s’applique qu’à un nœud (pas à une surface fermée) ; pour calculer l’intensité du courant, il faut connaître la résistance totale du circuit ; on ne peut tirer de conclusion valable à partir de données fragmentaires ; il faut connaître le fonctionnement de tous les composants du circuit et savoir ce qui est branché aux entrées et aux sorties. Ils pensent aussi que le calcul des intensités nécessite l’application de règles, telle celle du diviseur de courant ou de théorèmes, comme celui de Thévenin ou de superposition. Par exemple autour d’un nœud, le courant se partage suivant la valeur des composants branchés à ce nœud ; pour trouver l’intensité traversant une résistance, il faut préalablement trouver la tension à ses bornes.

6.2. Analyse de la deuxième situation

38Les résultats précédents démontrent que la majorité des élèves accepte difficilement que le courant puisse provenir de la masse. Pour la majorité les questions 3 et 4 ne peuvent pas se résoudre en appliquant la LKT. Par exemple, les élèves C_1-1, C_3-1, C_5-1, C_12-1 et C_17-2 se sont référés au théorème de Thévenin en avançant les explications suivantes :

Tu vas faire le théorème de Thévenin. (C_1-1)

Ça revient au théorème de Thévenin, […], c’est-à-dire court-circuiter la source. (C_3-1)

C’est 10 volts moins 4 volts. […] C’est l’équivalent Thévenin. […] on remplace les sources par un bout de fil. […] Là, ça donnerai 0 […] parce que ça donnerait un court-circuit. (C_5-1)

On va y aller par le théorème de Thévenin ? […] Ça se trouve à être exactement 10 volts. (C_12-1)

Le théorème de Thévenin […] Je commencerai par enlever, à court-circuiter une des piles. Puis après ça, je regarderai la résistance équivalente. (C_17-2)

39Les élèves C_6-1, C_7-1, C_13-2, C_16-2 et C_28-3 ont réussi à présenter une réponse juste à la question 3, mais n’ont pas su interpréter correctement la dernière question. Dans le tableau 7, on présente leurs propos relativement aux questions 3 et 4.

Tableau 7. Propos d’élèves ayant avancé une réponse correcte (question 3) et une réponse erronée (question 4)

Question 3	Question 4
C6-1 « Je vais simplifier mon circuit pour pouvoir avoir juste une source de tension, parce que là, il y en a 2 […] ça serait de 6 volts […] je les soustrais. »	« Il va changer, ça c’est sûr. […] Il va baisser, le voltage […] parce que sa source est contraire à l’autre. »
C7-1 « Ça serait les 2 sources soustraites à cause des sens qui sont contraires. »	« Bien là, ce n’est plus pareil là […] ça, je ne le sais pas. »
C13-2 « Moi, je dis qu’elle serait de 6 volts, parce que c’est E1 moins E2. »	« De 24 volts, probablement pour moi. »
C16-2 « Il va être de 6, parce que ce potentiel-là moins le potentiel de E2, ça fait 6 volts. »	« D’après moi, tu calcules le potentiel aux bornes de la 3 ohms avec un potentiel de 20. »
C28-3 « J’ai une pile E2 qui est en sens inverse, donc je ferais 10 volts moins 4 volts qui donne 6 volts aux points AB. »	« Ça va compliquer les affaires. […] c’est que tu as plusieurs circuits, ce n’est pas évident à calculer. »

40Un pourcentage très faible des élèves interrogés a donné des réponses correctes aux questions 3 et 4 en s’appuyant sur un raisonnement cohérent. Il s’agit des élèves C_11-1 et C_8-1 (16 %) du collégial 1 et C_24-3 et C_23-3 (25 %) du collégial 3. Les autres ont fourni des réponses floues et certains se sont même référés à la théorie des boucles, malheureusement sans pouvoir expliciter leur raisonnement, comme illustré au tableau 8.

Tableau 8. Propos d’élèves ayant avancé des réponses floues

Question 3	Question 4
C9-1 « Ça va être le même courant qui traverse la résistance de 5 ohms. »	« Je dirais que oui. […] Il va y avoir plus de voltage. »
C18-2 « Je me rappelle, on faisait une sorte de, avec des matrices là, des boucles là qu’ils appellent ça. »	« Disons que ça ferait 3 équations. »
C29-3 « Bien là, je ferais 2 boucles de courant. Pour trouver le courant total qui passe dans la résistance, dans les résistances entre les points A et B. […] Ensuite, je trouverai facilement, avec la loi d’Ohm, la tension Vab. »	« Bien là, je vais avoir 3 boucles de courant. […] Il va falloir que je fasse des matrices pour trouver le courant total. »

41Ainsi, à la question 3, 33 % et 44 % des collégials 1 et 2 respectivement ont donné une réponse exacte, suivie de justifications confuses. Par contre, nous avons constaté que 75 % des élèves du collégial 3, ont fourni une réponse adéquate.

42Quant à la question 4, aucun n’a pu avancer de raisonnement « correct ». Notons cependant que 17 % des élèves du collégial 1 ont avancé intuitivement une réponse juste, mais sans s’appuyer sur la LKT. De même, 37 % des élèves du collégial 3 ont fourni une réponse juste en s’appuyant sur un raisonnement confus. Une analyse de leur discours permet d’observer que leurs raisonnements s’appuient sur les éléments suivants : pour calculer une différence de potentiel, il faut nécessairement tenir compte de tous les composants du circuit ; pour calculer une différence de potentiel sur un circuit possédant plusieurs sources, il faut utiliser des théorèmes comme celui de Thévenin ou de superposition ; la résolution d’un circuit passe nécessairement par le calcul d’une « résistance équivalente » ; les tensions sur une boucle sont nécessairement modifiées par le branchement d’un composant supplémentaire sur l’un des nœuds de cette boucle ; les composants sont en parallèle ou en série s’ils sont dessinés de façon parallèle ou colinéaire.

Conclusion

43Les résultats du questionnaire papier-crayon et des entretiens individuels montrent que l’application des lois de Kirchhoff, qui expriment le comportement fondamental des intensités et des tensions, pose à la majorité des élèves interrogés des difficultés majeures. L’enseignement reçu est conforme à l’approche traditionnelle, centrée sur l’étude des composants, en particulier celui de la résistance. Les théorèmes (superposition, etc.) et les méthodes de résolution de circuits (analyse par mailles, etc.) jouent un rôle de premier plan dans cette approche. Au lieu d’aborder directement le problème en partant du circuit original, la majorité des élèves utilise des théorèmes ou des méthodes évoluées et abstraites (théorème de superposition, analyse par mailles). Ces techniques de calcul, en plus d’être spécifiques aux circuits linéaires, se révèlent d’une utilité limitée dans la plupart des problèmes pratiques. En particulier pour les problèmes abordés dans cet article, l’application successive des lois de Kirchhoff et de la loi d’Ohm aurait permis un cheminement élégant. Nous avons constaté que la majorité des élèves invoque implicitement ou explicitement le théorème de superposition lorsque le circuit comporte plus d’une source. Ainsi, ils cherchent à ramener tout circuit au cas plus familier d’une source de tension unique et de quelques résistances. Ce théorème est intéressant sur le plan technique, mais problématique du point de vue pédagogique à cause des tensions et des courants fictifs auxquels il fait appel. Or, nous avons vu que les élèves confondent facilement les courants réels et les courants partiels (fictifs). En effet, dans une recherche complémentaire (Lavoie, et al., 1991), nous avons montré que les élèves du collégial technique iront jusqu’à visualiser plusieurs courants circulant indépendamment dans un même conducteur : c’est le modèle de l’autoroute. De façon analogue, l’analyse par mailles laisse croire que le courant est l’attribut d’une maille. L’utilisation précoce de ces théorèmes et de ces méthodes favorise l’émergence de raisonnements erronés. À cet égard, Rohrer (1990) propose, avec raison, d’éliminer certaines techniques de résolutions de circuits dans la formation des ingénieurs aux États-Unis.

44Les lois de Kirchhoff sont plus fondamentales et plus pertinentes comme fondements didactiques que la loi d’Ohm et le théorème de superposition, car elles font ressortir nettement les attributs critiques des concepts d’intensité et de tension. Quoique d’une importance pratique considérable, la loi d’Ohm ne représente qu’un cas particulier, celui du comportement des composants linéaires. Lui réserver une place centrale dans la théorie des circuits électriques, sans s’attarder entre autres sur les limites de son application, peut s’avérer fort problématique car elle relie dans une relation de proportionnalité les concepts d’intensité et de tension qui, par ailleurs, sont nettement différents ; elle ne permet donc pas de distinguer clairement les attributs critiques de chacun d’eux. En ce qui concerne le théorème de superposition et l’analyse par mailles, nous soutenons qu’ils favorisent le développement de plusieurs difficultés conceptuelles telles qu’identifiées dans cette recherche. Notre étude montre que les élèves confondent les courants réels et les courants fictifs, la source de courant et le circuit ouvert, la source de tension et le court-circuit. Ces confusions correspondent aux manipulations des variables et des composantes lors de l’application de ces techniques de calcul. Tous les problèmes de circuits électriques peuvent se résoudre par l’application successive des lois de Kirchhoff et des caractéristiques intensité-tension des composants (loi d’Ohm et autres). Nous avons constaté que les élèves n’en sont pas conscients et qu’ils considèrent des artifices mathématiques de calcul comme plus utiles et plus fondamentaux que les lois de Kirchhoff. Un enseignement de la théorie des circuits qui insisterait sur ces lois fondamentales, tout en reportant l’utilisation des théorèmes et des méthodes mathématiques de résolution de circuits, favoriserait sans doute un meilleur développement des concepts d’intensité et de tension. Aussi, un enseignement de la théorie des circuits qui ne rend pas compte du raisonnement des élèves ne peut les amener à construire des représentations conformes aux représentations scientifiques.