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Dossier

Le problème d’arithmétique dans la culture primaire : entre conception d’un modèle d’apprentissage et enjeux éducatifs et sociaux d’une formation mathématique, quelques étapes dans la trajectoire d’un objet emblématique d’une culture scolaire

Marie-Pierre Galisson

Résumé

Les besoins en mathématiques de la société, l’influence des instances qui les déterminent, jouent un rôle notable dans la production d’une culture mathématique primaire qui rend compte de la légitimité culturelle de l’école. Notre objectif premier est de caractériser quelques étapes dans l’évolution historique d’un objet emblématique de cette culture, le problème d’arithmétique, d’identifier les conceptions de l’apprentissage et de la formation mathématiques dans lesquelles il s’insère en termes de moteur. Notre étude porte donc sur une analyse de textes officiels (programmes), de discours de pédagogues, de mathématiciens et s’inscrit dans le cadre de l’anthropologie didactique des savoirs : nous tentons de mettre en évidence sur la période qui débute en 1882 des conditions et contraintes qui déterminent la nature et les fonctions des problèmes d’arithmétique à l’école primaire. Notre objectif second consiste encore à mettre en évidence parmi ces conditions et contraintes celles qui contribuent à nous fournir des outils d’intelligibilité pour comprendre la situation actuelle.

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Texte intégral

1. Introduction

  • 2 Cycle des apprentissages fondamentaux : GS, CP, CE1.
  • 3 Cycle des approfondissements : CE2, CM1, CM2.

1Les programmes de mathématiques de l’école primaire en vigueur depuis la rentrée 2008-2009, comme ceux qui ont précédé, en 2007-2008 et en 2002, mettent en évidence le rôle essentiel de la résolution de problèmes dans l’activité mathématique de l’élève ; les programmes actuels marquent cependant une rupture avec une conception du rôle du problème qui prévalait depuis les programmes de 1985. La construction des connaissances, « élaborées comme réponses efficaces à des problèmes […] identifiées, puis étudiées dans le but d’être utilisables pour résoudre de nouveaux problèmes » (cycle 22 programmes 2002 et 2007), n’est plus mentionnée ; si les concepteurs des nouveaux programmes précisent que la résolution de problèmes est présente à tous les stades de l’apprentissage et dans tous les domaines, Nombres et calcul, Géométrie, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données, qu’elle « fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations » (cycle 2), « permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement » (cycle 33), ils éludent encore une de ses fonctions : « chercher et produire une solution originale dans un problème de recherche » (cycle 3 programme 2002).

2Les législateurs ne transforment pas les enjeux de la formation mathématique à l’école primaire, pérennes depuis les années 80, à savoir « développer le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision, aider à agir dans la vie quotidienne, préparer à la poursuite d’études au collège ». En modifiant la typologie des problèmes liée à leurs fonctions, ils remettent pourtant en question un modèle d’apprentissage par la résolution de problèmes qui s’est développé après la tourmente de la réformes des « maths modernes ». La résolution de problèmes, objet d’études, mais aussi outil pour apprendre (construire des connaissances, les consolider, les réinvestir), pour chercher (produire un raisonnement, argumenter…) constituait depuis les années 80 un levier moteur de tout apprentissage mathématique. La résolution de problèmes ne conserve dans les textes officiels du 19 juin 2008 qu’un statut d’objet d’études et d’outil aux pouvoirs bien plus limités (approfondissement des connaissances, renforcement de la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, développement de la rigueur et du raisonnement).

3Se donner des outils pour comprendre cette évolution qui soulève la question du sens et de la valeur du problème dans la formation mathématique à l’école primaire nous invite à nous inscrire dans le cadre de l’anthropologie des savoirs (Chevallard, 1991), dans sa composante écologique (Artaud, 1997), à questionner son histoire dans l’institution primaire. Pourquoi et comment vivent les problèmes et la résolution de problème à l’école primaire ? Quelles sont leurs fonctions ? Comment ont émergé, résistent leur légitimité culturelle (au sein de la société et au sein de l’école), leur légitimité et leur pertinence épistémologiques (dans la communauté des mathématiciens) ?

4Mais la question première est la suivante : pourquoi et comment faire des mathématiques à l’école ?

1.1. Problèmes et mathématiques

5Les programmes, en révélant la bivalence du « problème scolaire », dressent une caractérisation de cette mathématique scolaire. Le problème est un objet d’enseignement et d’apprentissage qui répond à des fonctions sociales, économiques (une formation du citoyen) ; par le biais de ses fonctions didactiques, éducatives, il constitue une « niche » pour des objets de savoir mathématiques, enjeux d’un apprentissage ; il assure à ceux-ci des conditions de viabilité. Il renvoie à l’évidence de l’acquisition d’une culture mathématique pour tous. Pourquoi cette évidence ?

  • 4 A partir de 1795.

6Des besoins en savoir qui relèvent d’abord d’un registre politique et des conditions épistémologiques favorables en déterminent l’origine. Depuis les premiers plans d’éducation pour le peuple (1792), des connaissances mathématiques (en l’occurrence les règles de l’arithmétique) sont désignées comme indispensables à la formation du citoyen. Un traité d’arithmétique classique du XVIIIe siècle, le traité de Bézout, constitue le texte d’exposition du savoir constitué (reconstruit selon l’ordre des intelligibles) dont procèdera en 1882, au terme d’un processus de transpositions, le texte du savoir scolaire primaire. L’ouvrage possède les qualités d’un traité transposable à destination de l’institution primaire : il s’adresse aux commençants, il renferme toutes les connaissances et les techniques utiles à l’application des pratiques sociales, à savoir les connaissances relatives aux nombres et au système métrique4, les opérations, les règles de trois, d’escompte, de mélange… Les problèmes concrets, liés à la vie courante, sont désignés, dès l’origine, comme objets d’études. Les savoirs élémentaires du traité sont toujours objets d’enseignement à l’école primaire. Cette condition justifie notre choix de cibler notre étude sur les problèmes d’arithmétique.

7Comment apprendre des mathématiques ? Une condition nécessaire apparaît bien avant que ne soit constitué un système d’enseignement pour le peuple. Elle réside dans le fait que l’organisation des savoirs mathématiques dans un traité ne permet pas en général au lecteur de construire, de s’approprier ces savoirs : l’absence de la démarche d’invention qui a conduit à établir les résultats est un obstacle à un apprentissage structuré. A l’adresse du lecteur autodidacte, le mathématicien A.C. Clairaut déclarait déjà en 1741 dans ses « Eléments de géométrie » : « Il m’a paru plus à propos (au lieu de suivre la voie déductive) d’occuper continuellement mes lecteurs à résoudre des problèmes, c’est-à-dire à chercher le moyen de faire quelque opération ou de découvrir quelque vérité inconnue… En suivant cette voie, les commençants aperçoivent à chaque pas qu’on leur fait faire, la raison qui détermine l’Inventeur, et par-là, ils peuvent acquérir plus facilement l’esprit d’invention ».

8C’est donc en résolvant des problèmes qu’on apprend des mathématiques. Cette conception de l’apprentissage fait résonance avec une conception a priori commune aux mathématiciens et aux didacticiens d’aujourd’hui : apprendre des mathématiques, c’est « faire » des mathématiques. Sous le plume d’Y. Chevallard, cette caractérisation des mathématiques, activité humaine dont le moteur est la résolution de problèmes se traduit ainsi : « Les mathématiques sont moins un ensemble de connaissances (à acquérir) ou un corpus d’énoncés (à apprendre) qu’une activité spécifique dont les éléments essentiels sont des problèmes que l’on s’essaie à résoudre et qui sont en quelque sorte le moteur de l’activité mathématique, et des outils (concepts, méthodes, techniques) dont la construction elle-même est un problème mathématique et qui seront mis en fonctionnement pour résoudre des problèmes. » (Chevallard, 1981)

9La reconnaissance de besoins en savoirs mathématiques et l’existence d’un traité d’arithmétique « savant » mais appliqué aux opérations pratiques et accessible aux commençants confèrent historiquement une légitimité culturelle et épistémologique au problème et à sa résolution. Son inscription dans les pratiques scolaires résulte toutefois d’un processus spécifique régulé par des contraintes inhérentes à la forme scolaire, à la sensibilité de celle-ci à l’environnement sociétal.

1.2. Le problème scolaire et le sens dans la construction des savoirs

10Les programmes primaires de 2002 illustrent dans leur caractérisation des problèmes scolaires une des phases de ce processus. Ils promeuvent, en cohérence avec les finalités officielles d’une école primaire, propédeutique du collège, un certain modèle d’apprentissage des mathématiques scolaires par la résolution de problème. Ce modèle, qui s’inscrit pour s’adapter à une théorie de l’école jusqu’alors en vigueur dans le cadre du socio-constructivisme, s’appuie sur un principe fondamental, épistémologiquement et historiquement étayé : « Le véritable moteur de la construction et de l’appropriation des savoirs est le sens qui n’est alimenté et activé qu’à la faveur de questions que se posent ou peuvent se poser les élèves à partir de problèmes reconnus authentiques par eux, ni évidents, ni trop complexes, qui est optimisé en fonction de l’enjeu introduit par ces questions, aiguisé par le défi qu’éventuellement elles contiennent et par les réponses qui ont pu être proposées a priori par les élèves. L’histoire nous livre d’ailleurs que c’est dans ces conditions que la connaissance scientifique a pu se développer. » (Gras, 1997)

11Comme l’évolution actuelle des programmes semble l’annoncer, l’application de ce principe dépend de conditions qui relèvent à la fois des savoirs à apprendre, d’une théorie de l’école qui renvoie aux instances qui la déterminent et des institutions. Dans ces institutions, il faut comprendre l’école, ses acteurs, les élèves qui doivent apprendre et les maîtres qui doivent les enseigner ; quant aux « problèmes reconnus authentiques » par les élèves, leur pertinence résulte de choix qui relèvent d’instances diverses (le projet de Condorcet d’instaurer une société nationale des arts et des sciences chargée de contrôler la qualité de l’enseignement, ses objets, ses méthodes est resté lettre morte jusqu’à ce jour).

12En caractérisant certaines des conditions et contraintes qui déterminent les savoirs à apprendre, définissent une théorie de l’école dont procède une conception de l’apprentissage, en identifiant les instances sociales qui influent sur ces conditions et contraintes, nous pensons pouvoir exhiber des indicateurs, outils d’intelligibilité, pour comprendre l’émergence et le devenir de ce principe fondamental. Cette hypothèse nous invite à élargir notre quête sur la période qui commence avec la 3ème République (l’édifice primaire est alors en phase d’achèvement) et à circonscrire notre étude au domaine de l’arithmétique puisque son étude est déjà « naturalisée » à l’école primaire en 1882. Cette approche écologique et historique qui, à partir de la nature et des fonctions du problème d’arithmétique primaire, nous permet d’accéder aux conditions qui déterminent plus largement le sens du problème dans l’élaboration et l’appropriation des savoirs mathématiques, poursuit donc deux objectifs : caractériser des évolutions, identifier des outils d’intelligibilité pour comprendre celles-ci.

2. Eléments pour un cadre d’analyse

13Pour appréhender les conditions et contraintes qui déterminent ce qu’est un problème d’arithmétique scolaire, les modifications qui l’affectent, les enjeux auxquels il doit répondre, pour identifier les instances qui génèrent ces conditions et contraintes, leur cohérence faible ou forte à travers leurs influences respectives, notre analyse porte sur un ensemble de documents comportant des textes officiels, des rapports de la haute administration, des discours de pédagogues, de mathématiciens, de didacticiens, extraits de revues pédagogiques. Ces textes ne révèlent pas une réalité mais des finalités officielles (des prescriptions) ou des principes défendus par des courants reconnus pour leur influence sur la politique éducative d’une période donnée ; ils n’en reflètent pas moins une image de la légitimité culturelle et épistémologique du problème d’arithmétique dans la culture primaire. Notre étude est découpée en trois périodes : la 3ème République, la 5ème République, la période actuelle. Nous avons ci-dessous tenté de schématiser notre grille d’analyse.

Figure 1 - Schéma de la grille d’analyse

Figure 1 - Schéma de la grille d’analyse

14Les besoins en savoirs déterminés par la société relèvent des institutions représentatives de celle-ci. Ces institutions règlent encore, en fonction des besoins en savoirs, les principes qui fondent une théorie de l’école en termes d’enjeux sociaux et éducatifs. La viabilité de l’institution « école » est liée à des conditions et des contraintes qui, en fonction des instances qui les génèrent, sont institutionnelles (obligation scolaire, certification, temps scolaire, méthode et organisation pédagogiques), épistémologiques (transposition didactique, légitimité et pertinence des savoirs enseignés), pédagogiques et didactiques (théorie de l’apprentissage, formation des maîtres, organisations mathématiques et didactiques, temps didactique). Nous supposons que ce sont ces diverses contraintes et conditions qui rendent compte de la nature du « problème » et de ses fonctions éducatives, utilitaires ou sociales.

3. La 3e République : le problème d’arithmétique, vecteur d’un processus d’acculturation

15Le premier texte officiel qui inscrit les « problèmes » dans un plan d’études pour les élèves de l’école primaire est le programme de « Calcul et d’arithmétique » de 1882. Il indique : « Petits problèmes oraux et écrits, portant sur les sujets les plus usuels ; exercices de raisonnement sur les problèmes et les opérations exécutées » au cours élémentaire, « Problèmes d’application. Solutions raisonnées » au cours moyen, « Méthode de réduction à l’unité appliquée à la résolution des problèmes d’intérêt d’escompte, de partage, de moyennes… » au cours supérieur ; tous ces éléments révèlent l’existence d’une discipline déjà constituée, en grande partie stable jusque dans les années 60 (période classique).

16Les finalités officielles reflètent une politique éducative cohérente avec les enjeux déterminés aux niveaux des institutions sociales.

17Une analyse comparée des deux éditions du Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire de F. Buisson permet d’esquisser à travers deux articles une conception du problème d’arithmétique primaire qui ne se modifiera guère tout au cours de la période classique.

18La première édition du dictionnaire (1878-1887) comporte un article intitulé « Problèmes », signé par P. Leyssenne, Inspecteur Général qui rédige de nombreux manuels à destination du primaire. Le nouveau Dictionnaire de pédagogie et d’instruction primaire est publié en 1911. Carlo Bourlet, mathématicien, promoteur de la réforme de l’enseignement des sciences au lycée (1902), auteur d’une conférence sur « La pénétration réciproque des mathématiques pures et des mathématiques appliquées dans l’enseignement secondaires » signe l’article « Mathématiques ».

3.1. Vers une unité du savoir qui n’élude pas une tension entre éducatif et utilitaire

19La présence d’un article novateur intitulé « Mathématiques », coïncidant avec la disparition d’un réseau d’articles relatifs aux usages pratiques de l’arithmétique (actions, comptabilité…), met en exergue l’unité du savoir mathématique et marque le rapprochement en termes pédagogiques entre le primaire et le premier cycle du secondaire (T. Assude et H. Gispert, 2003). C. Bourlet désamorce dans son préambule la polémique entre pratique et théorie, utilitaire et éducatif, voire primaire et secondaire ; il évoque le double but d’un enseignement mathématique conforme aux finalités d’une politique éducative qui promeut des humanités modernes, scientifiques contribuant à l’instauration d’une unification nationale, au progrès économique, à la stabilisation de l’ordre social. Educatifs et utilitaires, les problèmes s’ouvrent à d’autres domaines que l’arithmétique, domaines du secondaire, la géométrie, l’algèbre. Toutefois l’auteur reproduit textuellement les propos de P. Leyssenne sur le caractère pratique de l’arithmétique primaire et sur la nature des bons problèmes, leurs fonctions, l’art de les choisir et d’en régler la résolution.

« L’arithmétique devant contribuer, même à l’école primaire, à l’éducation générale de l’esprit, tout exercice qui force l’enfant à réfléchir, à chercher, à comparer, à déduire, à juger, semble à ce titre du domaine de l’enseignement primaire. C’est là, il nous semble, une grave illusion. »

20Si ce discours semble disqualifier la conception d’une discipline incomparable pour l’intelligence, apte à développer les facultés de réflexion (telle que la revendiquent d’autres rédacteurs), il renvoie surtout aux contraintes temporelles, institutionnelles et sociales qu’explicitent officiellement l’arrêté du 27 juillet 1882 relatif aux objets et méthodes de l’éducation intellectuelle à l’école primaire : un nombre limité de connaissances, faute de temps, des connaissances appropriées aux futurs besoins professionnels des élèves et au développement « de bonnes habitudes d’esprit ».

3.2. Des rapports entre problèmes pratiques et mathématiques étudiées

21Conformément à l’orthodoxie primaire, les problèmes tels que les caractérisent Leyssenne ou Bourlet sont donc pratiques : ils portent sur le système métrique, sur les règles de trois, sur les problèmes d’intérêt, d’escompte, de rente, sur les actions et les obligations, sur les assurances, les partages proportionnels, les questions « si variées du tant pour cent ». Ils motivent l’étude des notions, des techniques et théories constitutives d’un texte de savoir, directement inspiré par le traité « savant » du XVIIIe siècle, Les éléments d’arithmétique de Bézout ou plus précisément par sa transposition à destination du secondaire. En 1808, le Baron Reynaud adaptait le traité en introduisant notamment une nouvelle règle, la « méthode de réduction à l’unité » qui évitait le recours à la théorie des proportions pour résoudre les problèmes de proportionnalité ; il étendait, tant à destination du primaire qu’à destination du premier cycle du secondaire, le champ des solutions des problèmes de l’Arithmétique à l’aide des seules combinaisons des quatre règles (des problèmes d’habillage classique [problèmes d’ouvriers, de bassins qui se vident, d’héritage…] mais adaptés aussi au développement des pratiques sociales [caisse d’épargne, rentes sur l’Etat]).

22Leyssenne comme Bourlet confirment la pertinence épistémologique d’un texte de savoir qui réglait les programmes homologues d’O. Gréard : la méthode concentrique introduite par celui-ci en 1868 dans les écoles du département de la Seine pilote une organisation du savoir arithmétique formant un tout structuré et complet sur une année, approfondie en fonction du niveau.

23Mais les deux auteurs montrent plus encore : le caractère « primaire » des mathématiques enseignées ne réside pas dans un mode de résolution de problèmes qui en sacrifierait la dimension éducative au profit des seuls mécanismes et techniques. Leyssenne déplorait déjà l’absence du raisonnement, le recours abusif à des méthodes, la prééminence des techniques opératoires. Il promouvait le recours à des notions plus théoriques et relevant à ce titre de l’ordre secondaire (notion de rapport empruntée à la théorie des proportions), l’usage de l’outil algébrique… Bourlet renforce les recommandations de Leyssenne : en particulier, les notions d’algèbre doivent relever de la culture primaire parce qu’elles sont utiles au travailleur éclairé, parce qu’elles contribuent à son émancipation. Il peut écrire : « Et, enfin, […], y a-t-il aujourd’hui un ouvrier qui quelque jour n’ait pas occasion d’appliquer une formule ? ». A travers les modes de résolution des problèmes pratiques se dévoilent des « mathématiques appliquées », utiles au citoyen et au travailleur, qui remettent en question (en termes de raisonnement) la dualité entre deux ordres de savoir primaire/secondaire.

3.3. Un élargissement du champ des fonctions du problème

24Sans dissiper les tensions entre éducatif et pratique, cette étude met en lumière la fonction formatrice du problème tant pour l’élève que pour le maître. Le problème se caractérise comme le support privilégié d’une matière à enseigner constituée en « discipline », c’est-à-dire régulatrice des conduites des sujets de l’institution, élèves et maîtres.

25Il participe encore de la rénovation pédagogique mise en œuvre par la 3ème République avec la généralisation de la méthode intuitive et pratique introduite par O. Gréard.

26Disqualifiant l’exposition dogmatique et la mémorisation préliminaire des concepts abstraits, les problèmes « enfantins » introduisent les notions, sollicitent des manipulations, empruntent à « la leçon de chose » (observation de vignettes évoquant des situations familières), puis se conjuguent au questionnaire (restitution de la leçon) et donnent lieu à des applications directes (impliquant calcul mental ou écrit avec des nombres abstraits ou concrets). Enfin, ils mobilisent un « raisonnement » impliquant la compréhension d’un énoncé lié à une pratique sociale, la maîtrise des opérations. Ils règlent le temps d’un apprentissage qui s’inscrit dans un quadrillage temporel piloté par la méthode concentrique. Ils conservent leur rôle prédominant en termes de certifications (et de promotion sociale) : à côté des questions théoriques (de cours), la résolution des problèmes d’arithmétique appliquée à la vie pratique s’est constituée en épreuve sommative ou prédictive (le certificat d’études primaires, les brevets).

3.4. Des effets produits par un processus d’acculturation

27L’interprétation des effets produits par cette formation peut révoquer leur dimension éducative. A. Harlé, didacticien des mathématiques, montre que les applications à des problèmes de vie courante révèlent une formation pratique à vocation utilitaire dont la finalité est politique et sociale, sans rapport avec la réalité d’une activité mathématique. Il souligne » Mais leur finalité ne s’arrête pas là ! Ils sont aussi des agents d’intégration sociale à un monde d’adultes déterminés par la mise en scène de contextes particuliers » (Harlé, 1984). Son constat est sévère : les récits des énoncés peuvent susciter l’incompréhension résultant d’un décalage entre la vie de l’élève, le contexte du problème et la situation mathématique ; ils induisent un recours abusif à la mémoire pour retenir les problèmes-types et plus encore ils entraînent la dénaturation des notions mathématiques (non commutativité de la multiplication, apprentissage de problèmes-types en place de la proportionnalité).

28Ce point de vue n’est pas consensuel. L’historien P. Cabanel évoque l’existence d’un apprentissage pour l’élève qui se décline sur quatre plans « le raisonnement, l’opération de calcul elle-même, le fonctionnement de la caisse d’épargne, qui sera très probablement la « banque de sa vie d’adulte (mais non celle des bacheliers) ; le devoir même de l’épargne. » (Cabanel, 2002) Des sociologues confirment l’impact de l’idéologie véhiculée par les problèmes sur l’émergence d’une raison calculatrice, sur la transformation des structures socio-économiques (Vincent, 1980).

29En conclusion, les problèmes d’arithmétique « pratique » contribuent d’une part à la préservation et à la stabilisation d’un curriculum classique, d’autre part à légitimer culturellement une institution qui produit un savoir, transforme un environnement sociétal. Les effets (discutables certes) d’un apprentissage par les problèmes sont tangibles : ils se traduisent au travers d’un nouveau rapport à la raison, au monde du travail… Mais ces effets ne sont plus conformes, à partir des années 1950, aux nouveaux besoins en savoir de la société.

4. La 5e République : des « situations » mathématisables de la réforme des « maths modernes » au retour des problèmes dits « quotidiens »

30Les conditions et les contraintes qui assurent la viabilité du problème d’arithmétique primaire sont modifiées à tous les niveaux de détermination. Au niveau de la société, les besoins en savoirs engendrés par le développement économique international impliquent la généralisation d’un enseignement scientifique accessible au plus grand nombre, ils entraînent la suppression de la dualité entre les deux ordres primaire et secondaire, une réorganisation du système d’enseignement liée à l’allongement de la scolarité obligatoire. Institutionnellement, ces besoins conduisent à l’émergence de nouvelles structures, les Instituts de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM), qui contribuent à l’émergence d’une science nouvelle, la didactique des mathématiques.

31Au niveau des mathématiciens, des scientifiques, des pédagogues, des professeurs de mathématiques, une réforme des contenus et des méthodes rapprochant le savoir enseigné du savoir « savant » est une nécessité car un principe est admis : la « mathématique » joue un rôle éminent dans toute formation scientifique. Sa pertinence culturelle, appuyée par les politiques, conjugue l’utile et l’éducatif comme le prétend avec force « La Charte de Chambéry » élaborée en 1968 par l’Association des Professeurs de Mathématique de l’Enseignement Public (APMEP). Les promoteurs de la réforme dans l’enseignement primaire comptent parmi leur rang certains Inspecteurs généraux, l’ensemble des pédagogues (par exemple N. Picard, collaboratrice du département de la recherche pédagogique de l’IPN), les professeurs d’écoles normales. Ils s’appuient sur les travaux de la commission « Recherche et Réforme » de L’APMEP et de la commission ministérielle Lichnérowicz qui rendent compte de la mutualisation des apports de la recherche mathématique, psychologique, pédagogique, des expériences en classe conduites par des chercheurs.

4.1. Nouvelle conception de l’école et formation mathématique primaire

32Les prises de position de N. Picard illustrent les convictions partagées d’une communauté qui promeut une nouvelle théorie de l’école. Celle-ci démontre dans le compte rendu d’une expérience, publié dans le Courrier de La revue Pédagogique (1966), la pertinence éducative, psychologique et épistémologique d’un enseignement de la mathématique contemporaine à l’école élémentaire : la réflexion sur la mathématique elle-même doit prévaloir sur l’acquisition de techniques pour certaines périmées, la mathématique doit permettre de combler les inégalités sociales, contribuer à intégrer dans la société contemporaine les enfants issus « des milieux sous-développés » (les milieux des travailleurs manuels). La reconnaissance des structures et l’acquisition d’un langage mathématique, dont les élèves vont découvrir eux-mêmes la syntaxe au travers d’expériences, est la finalité première de l’enseignement élémentaire.

33En effet, c’est sur la mutualisation féconde des apports de la recherche en mathématiques et en psychologie qu’est fondé un théorème d’existence, le processus de mathématisation chez les enfants : « A partir des concepts d’ensembles, de relations, ils peuvent découvrir ce qu’est un opérateur et comment l’on s’en sert, découvrir la structure de groupe à partir de groupes finis, utiliser des fonctions numériques et non numériques, tout cela avant dix ou onze ans ».

34J. Piaget montre en effet que le développement intellectuel de l’enfant procède par des étapes caractérisées par des structures qui entretiendraient des rapports analogiques avec les structures mathématiques ; il souligne aussi la nécessité d’une gradation dans les étapes vers l’axiomatisation, l’importance d’un travail sur des structures concrètes (Piaget, 1967).

35Emerge une nouvelle pédagogie active, une pédagogie qui prend en compte le rôle prioritaire d’une formation mathématique « liée au développement des structures mentales, par rapport à une acquisition des connaissances qui ne serait pas le fruit d’une construction progressive des connaissances » (Commission R.R. de l’APMEP, 1968).

36Possible, son enjeu est accessible à tous comme l’affirme Z.P. Dienès : « La compréhension mathématique universelle peut s’obtenir à condition d’y mettre le prix » (Dienès, 1967). Celle-ci procède d’un principe inspiré par l’école « bourbakiste » : l’appropriation d’un nouveau langage qui confère à la mathématique son unité.

« L’emploi précoce et familier d’une formalisation efficace m’a paru être une des clés de l’enseignement de l’algèbre, de l’arithmétique et de la logique. Il m’a semblé que l’on pouvait là gagner plusieurs années si l’on arrivait à comprendre comment pouvait s’opérer l’acquisition d’un langage formel, la création d’une syntaxe, l’accroissement ou la reprise d’un répertoire. » (G. Brousseau, 1972)

4.2. Situations et « processus de mathématisation induit »

37La circulaire du 2 janvier 1970 peut affirmer qu’il ne s’agit plus « de préparer les élèves à la vie active et professionnelle en leur faisant acquérir des techniques de résolution de problèmes catalogués […] mais bien de leur assurer une approche correcte et une compréhension réelle des notions mathématiques ». Le programme annexé est un allégement de celui de 1945 : les notions numériques sont préservées, rassemblées sous l’intitulé « Eléments de mathématiques », géométrie et mesures relèvent des activités d’éveil.

38Si le terme « problème » résiste dans les « Commentaires du programme », il est associé étroitement au terme « situation ». Le choix des « situations » dépend désormais de la créativité du maître. Une initiation à la vie courante n’est pas écartée, elle doit être liée aux intérêts des enfants. Les « situations retenues » ont pour fonctions, soit de motiver l’introduction de notions nouvelles, soit de permettre l’application de propriétés ou de relations préalablement étudiées. Les problèmes sur le système métrique, les problèmes de proportionnalité s’éclipsent, survivent dans la rubrique des fonctions numériques.

39Les problèmes pratiques ne motivent plus une organisation et une étude réglée du savoir » mathématique » : la construction des notions, les structures ensemblistes et algébriques qui leur sont constitutives doivent générer des situations mathématiques pertinentes parce qu’illustrations concrètes de ces structures.

40Résoudre un problème, pour l’élève, c’est passer d’« une situation à un schéma mathématique » pour en déduire les informations cherchées, réciproquement imaginer une situation à partir d’un schéma. Entrer dans la réalité mathématique, c’est découvrir comme le mathématicien.

41Peut-on identifier l’ensemble des déterminants qui ont miné la genèse d’un tel processus de conceptualisation, pensé scientifiquement comme accessible à tout individu ? Non, la précipitation des politiques et par conséquent la non formation des maîtres et l’absence de traités mathématiques de référence (accessibles), l’accès d’un plus grand nombre aux études secondaires, la prise en compte des facteurs sociaux et économiques que cet accès impose, la pertinence même du principe que « faire des mathématiques, c’est en faire comme si on était un peu mathématicien » peuvent être évoqués… Peut-on en dire plus ? Sinon, sur les dérives qui en résultent !

42Pour l’élève, faire des mathématiques, c’est acquérir un lexique ensembliste, utiliser des schémas (diagramme de Venn, tableaux, arbres). Les schémas, outils pour abstraire les structures, deviennent objets d’étude, l’apprentissage du lexique est détaché de sa syntaxe ; le formalisme prédomine aux dépens du sens.

4.3. Vers une nouvelle conception de la mathématisation

  • 5 Contenus de formation à l’école élémentaire, cycle moyen, CNDP (1980).

43Les programmes qui suivent (1977, 1978, 1980) se défont progressivement d’un environnement théorique « ensembliste ». Demeure l’exigence d’une formation mathématique qui privilégie le sens des notions et l’usage des situations. La recherche en didactique des mathématiques se développe : la théorie des situations de G. Brousseau qui modélise la construction des connaissances en termes de dialectique (action, formulation, validation), les travaux du groupe ERMEL de l’INRP nourrissent des expériences qui diffusent, influent sur les programmes. L’introduction d’une typologie des « situations-problèmes »5 catégorisées selon leurs fonctions (l’approche et la construction de nouveaux outils mathématiques, le réinvestissement des acquis antérieurs et la perception de leurs limites d’utilisation [situation de contre-exemple] ; le moyen de permettre à l’élève de « mettre en œuvre son pouvoir créatif et affiner la rigueur et la sûreté de son raisonnement ») en atteste.

44Simultanément les programmes insistent sur le rôle des techniques opératoires pour la résolution de problèmes. En 1980, les instructions précisent encore qu’un apprentissage spécifique, d’ordre méthodologique, est nécessaire pour améliorer les capacités des élèves à résoudre des problèmes. La prise en compte des interférences entre langage naturel et langage mathématique, la nécessité de valider une procédure, de communiquer une solution en ne se satisfaisant plus d’un schéma renvoient encore à la mise en œuvre d’une « pédagogie par objectifs » qui doit favoriser le développement des capacités, des attitudes, des traits de personnalité de l’élève.

45La disparition du terme « situation-problèmes », la réintroduction du terme « problème », le retour des problèmes relevant de la proportionnalité, de la « règle de trois » illustrent dans les programmes de 1985, une Contre-Réforme « empiriste » (pour certains). Les programmes insistent sur la nécessité des apprentissages de base et donc sur l’organisation d’un texte de savoir qui renoue avec celui des traités classiques, ils préservent toutefois l’existence d’une notion « théorique » unificatrice, les fonctions numériques. Par ailleurs, la typologie des problèmes se calque sur la classification des instructions de 1980.

46Dans l’esprit des concepteurs de ce programme, la nouvelle pédagogie « active » ne disqualifie pas totalement le modèle « heuristique » qui identifiait l’activité mathématique de l’élève à celle du mathématicien ; le modèle heuristique est associé à un modèle plus traditionnel dans lequel reprennent place des activités permettant le travail et la maîtrise des techniques qui peuvent être appliquées mécaniquement.

47En conclusion, en posant le principe que l’école primaire a pour objet d’« acquérir un mode de pensée mathématique universelle pour disposer d’un pouvoir sur le monde », une communauté plurielle d’inspecteurs généraux, de mathématiciens, de didacticiens transforment le sens et la valeur de la notion de problèmes. Prédomine la fonction éducative d’une formation « structuraliste ». Les contenus mathématiques demeurent mais perdent leur fonction « utilitaire ». La disparition du certificat d’études primaires en 1989 entérine la suppression d’une formation dont l’enjeu était de normaliser les conduites du citoyen.

48Amorcée dans les années 80, sans rupture en termes d’enjeux éducatifs et de conception de l’apprentissage, l’évolution des rapports officiels entre problèmes et formation mathématique est marquée par l’influence des didacticiens, mathématiciens, pédagogues, chercheurs en éducation dont rendent compte notamment les programmes de 2002.

5. Perspectives actuelles

49Les programmes de 2002 confortent l’hypothèse socio-constructiviste d’une formation mathématique par la résolution de problèmes. Les méthodologies inspirées par les méthodes heuristiques des mathématiciens, objets d’expérimentation au sein de l’école, ont donné lieu à des publications de chercheurs diffusées dans la communauté des acteurs de l’institution primaire. Ainsi en est-il de la méthode heuristique exposée par le mathématicien G. Polya « Comment poser et résoudre des problèmes » (Polya, 1965) ; tout en révélant ses limites, elle montre l’importance d’une culture du problème (la fréquentation de nombreux problèmes) permettant de résoudre ceux-ci en ayant recours à l’analogie. Ainsi en est-il encore de la méthode de découverte, pragmatique, développée par I. Lakatos « Preuves et réfutations » (Lakatos, 1984) : la conceptualisation peut se développer dans la confrontation des preuves et des réfutations de conjectures qu’il faut dès lors modifier. De nombreux ouvrages, dont notamment ceux de l’INRP, légitiment la fonction des problèmes pour chercher. Introduits explicitement dans les programmes de 1995, les problèmes pour chercher font l’objet d’une présentation détaillée dans le document d’accompagnement des programmes de 2002. Leur fonction première est de permettre « le développement des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver » : les problèmes doivent être conçus pour solliciter une véritable activité de recherche, que ce soit en mettant en œuvre de « façon raisonnée » des procédures non expertes car non accessibles, ou que ce soit en transférant des connaissances et des techniques dans un domaine non exploré.

50Il est implicite dans les programmes officiels, mais explicite dans les documents d’accompagnement des programmes et les manuels « reconnus par l’institution de formation des maîtres » que la présence des problèmes pour apprendre, déclinés selon leurs fonctions, repose sur la pertinence épistémologique et didactique de théories issues de la didactique des mathématiques et du champ des sciences cognitives ; pour ne citer que les plus emblématiques (parce que leur héritage est revendiqué par nombre d’auteurs de manuels), la théorie des situations didactiques de G. Brousseau, la théorie des champs conceptuels de G. Vergnaud, l’approche psycho-cognitive de R. Brissiaud donnent leur sens aux problèmes pour apprendre.

51En intégrant la prise en compte de la durée dans les processus d’apprentissage et le principe que la dimension éducative de l’enseignement a pour objet le développement de l’élève dans sa globalité, les programmes s’inscrivent dans une organisation pédagogique en cycles, se déclinent en termes de compétences. Le champ des notions étudiées dans les programmes antérieurs à 1970 et par conséquent celui des applications à la vie courante glissent en partie sur ceux du collège.

52Subordonnée à de nouvelles conditions pédagogiques, temporelles, cette conception de l’apprentissage transforme les rapports au temps du savoir : l’absence d’un quadrillage temporel et pédagogique réglé entraîne la disparition de conduites et pratiques prédéterminées, d’une répartition programmée des enjeux de savoir primaire (techniques opératoires, techniques de résolution de problème).

Quelques hypothèses sur la « rupture actuelle »

53Notre grille d’analyse peut, nous semble-t-il, éclairer certains éléments (non exhaustifs) liés aux modifications actuelles. L’Etat, l’Inspection Générale qui lui sert de courroie de transmission doivent tenir compte d’une nouvelle définition des savoirs élaborée à un niveau international, imposée par ailleurs par une nouvelle culture de l’évaluation : la définition du socle commun de connaissances (B.O. n° 29, 20 juillet 2006) prend appui sur les propositions du parlement européen en termes de « compétences-clés pour l’éducation et l’apprentissage tout au long de la vie », mais réfère encore aux évaluations internationales, notamment au programme international pour le suivi des acquis des élèves (PISA). La présence dans ces évaluations de problèmes pratiques (peu fréquentés par les élèves français et donc modérément réussis), nécessitant l’application des techniques de calcul élémentaire mais aussi la capacité à modéliser une certaine réalité, remet en question le curriculum de 2002 : l’accent sur la maîtrise des techniques et la restauration d’un temps d’apprentissage réglé en résultent dans les programmes de 2008.

54Dans un contexte un peu analogue, la réforme des maths modernes déclencha le développement des recherches sur les processus de conceptualisation des élèves. Une perspective s’esquisse déjà : les recherches sur le développement de l’apprentissage à la modélisation et de l’apprentissage par la modélisation sont déjà bien engagées au niveau international.

55Plus localement, il n’est pas inutile de s’interroger sur les interprétations dans les classes qu’ont pu suggérer les problèmes des programmes de 2002. Reprenant à son compte certaines analyses de l’Inspection Générale (une vision brouillée tant pour les élèves que pour les maîtres de ce qu’est la résolution de problèmes), A. Mercier met en évidence certaines ambiguïtés relatives à l’activité mathématique des élèves et les dérives qu’elles entraînent. Faire des mathématiques à l’école recouvre si on se réfère au programme de 2002 deux acceptions : apprendre des notions, des techniques, des outils pour résoudre des problèmes ; développer ses capacités à chercher… Cette distinction reflète l’existence de deux courants dans la communauté des didacticiens et mathématiciens qui ne mettent pas le même sens dans ce que signifie « faire des vraies mathématiques » à l’école. Ce clivage n’aurait guère d’importance au niveau de l’institution si la mise en œuvre effective des problèmes pour chercher, imposée officiellement, conduisait à des « résultats socialement garantis, démontrés en principe et dont il est possible de rendre compte » (Mercier, 2007) et n’en restait à des recherches erratiques que ni le maître, ni à plus forte raison l’élève ne peuvent instituer comme pratiques collectives reconnues.

56A. Mercier établit un parallèle : sous la 3ème République, les maîtres disposaient des outils théoriques pour comprendre les enjeux des problèmes proposés aux élèves ; les dérives observées doivent inciter les chercheurs à faire en sorte que les maîtres disposent du même privilège. C’est notamment l’objet des recherches menées par ce didacticien.

57Nous conclurons en mettant en perspective l’un des aspects sur lequel R. Gras met l’accent quand il caractérise le sens conféré au savoir à travers la résolution de problèmes : les problèmes doivent être reconnus comme authentiques par les élèves (et nous rajouterons) par les enseignants. Quelle authenticité ? Les programmes depuis la réforme des Maths Modernes ont écarté (légitimement) les pseudo-problèmes concrets à fonction purement utilitaire. Un présupposé demeure depuis : ce sont les concepts mathématiques eux-mêmes qui doivent motiver l’intérêt des élèves dans l’activité de résolution de problèmes ; les évolutions observées montrent qu’elles sont pilotées par des réponses à la question « Comment faire des mathématiques ? » et non pas à la question « Pourquoi en faire ? ». Si la contribution de la formation mathématique à une éducation citoyenne est inscrite dans les programmes, un champ de questions, de problèmes motivés non seulement par leur pertinence mathématique, mais aussi sociale, économique, politique et accessible aux élèves reste à configurer : un domaine des mathématiques appliquées pour l’école primaire. Une opportunité réside dans la mise en œuvre du socle commun de connaissances : décliné non seulement selon des compétences mais aussi selon les problèmes qui sollicitent ces compétences, impliquant une participation d’instances non réduites comme jusqu’à présent aux mathématiciens, didacticiens et pédagogues, il permettrait que soit élargi le caractère outil des savoirs (outil pour faire des mathématiques, outil pour comprendre le monde).

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« Qu’apprend-on à l’école élémentaire » (2008), SCEREN.

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Notes

2 Cycle des apprentissages fondamentaux : GS, CP, CE1.

3 Cycle des approfondissements : CE2, CM1, CM2.

4 A partir de 1795.

5 Contenus de formation à l’école élémentaire, cycle moyen, CNDP (1980).

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Table des illustrations

Titre Figure 1 - Schéma de la grille d’analyse
URL http://journals.openedition.org/ree/docannexe/image/4083/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 52k
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Pour citer cet article

Référence électronique

Marie-Pierre Galisson, « Le problème d’arithmétique dans la culture primaire : entre conception d’un modèle d’apprentissage et enjeux éducatifs et sociaux d’une formation mathématique, quelques étapes dans la trajectoire d’un objet emblématique d’une culture scolaire »Recherches en éducation [En ligne], 6 | 2009, mis en ligne le 01 janvier 2009, consulté le 28 juillet 2021. URL : http://journals.openedition.org/ree/4083 ; DOI : https://doi.org/10.4000/ree.4083

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Auteur

Marie-Pierre Galisson

Université d’Artois, DIDIREM

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Droits d’auteur

Licence Creative Commons
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