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Una teoría conjuntista de la derogación: sistemas y conjuntos

A set-theoretical account of repeal: Systems and sets
Sebastián Agüero-SanJuan

Abstracts

In the tradition of legal theory, the theoretical account of normative changes, which was offered by Carlos Alchourrón and Eugenio Bulygin, is probably the most influential. One of its distinctive features is the use of various concepts from set theory to explain legal systems. However, previous attempts to determine the role of the essential elements of set theory in explaining legal systems have been insufficient. This article therefore aims to remedy the inadequacy by explaining these elements, providing them with the content of an axiomatic set theory, and showing their role in the theoretical account of normative change in general and repeal, in particular.

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Full text

1 Introducción

  • 1 Algunas de las distintas reconstrucciones teóricas están en los trabajos de Kelsen (1962), Mazzares (...)

1Es posible rastrear el origen de la derogación desde el derecho romano hasta la actualidad sin apreciar grandes controversias en su uso como mecanismo de cambio normativo. Sin embargo, su dilatada historia y extendido consenso no han resultado suficientes para encontrar acuerdos en torno a su teorización. Son los autores que persiguen explicarla, quienes desacuerdan al momento de cómo conceptualizar esta institución.1

2En nuestra tradición iusfilosófica, en materia de dinámica de sistemas jurídicos, en general, y sobre derogación, en particular, probablemente, la propuesta teórica más influyente es la elaborada por Carlos Alchourrón y Eugenio Bulygin. Uno de sus rasgos característicos está en el uso de diversos conceptos propios de la teoría de conjuntos para explicar los sistemas normativos y su carácter dinámico. Por ejemplo, las nociones de conjunto, familia de conjuntos, identidad de conjunto, orden y orden parcial (estricto, transitivo y simétrico), pertenencia, identidad o criterios de identificación del conjunto, solución maximal o minimal y función selectiva o selección minimal.

  • 2 Una excepción a esto está en Ratti (2013 y 2019).

3Sin embargo, resulta interesante constatar que existen múltiples elementos de la teoría de conjuntos que aún no han sido utilizados para explicar la reconstrucción teórica de los sistemas normativos.2 El porqué de esta situación puede tener diversas razones, las cuales van desde las desventajas filosóficas de la teoría de conjuntos, sugeridas por Alchourrón (1987), hasta la relevancia adquirida por las bases de creencias en una teoría de cambio de creencias, destacadas por Navarro y Rodríguez (2014: 219), pasando por el rumbo que tomaron las investigaciones teórico-jurídicas durante la década de los noventa y los años sucesivos. En cualquier caso, más allá de las razones de esta situación, si la citada teoría de los sistemas jurídicos utiliza elementos de una teoría de conjuntos para explicar el carácter dinámico del derecho ¿por qué no intentar determinar cuál puede ser el rol de la teoría de conjuntos en la explicación de los sistemas jurídicos?

4En este trabajo sugiero comenzar a responder dicha pregunta a través del estudio de la reconstrucción dinámica del derecho, en general, y la derogación, en particular. Por lo mismo, la propuesta es solo un primer paso dirigido a complementar la teoría de los sistemas jurídicos propuesta por Alchourrón y Bulygin a partir de sus propias bases conceptuales, las cuales están influenciadas por una teoría de conjuntos.

5Para alcanzar el objetivo, el trabajo se distribuye en los siguientes tres apartados. El apartado 2 presenta la derogación dentro de una teoría dinámica de los sistemas jurídicos de Alchourrón y Bulygin, con especial explicitación de los elementos de una teoría de conjuntos. El apartado 3 explica los elementos básicos de la teoría de conjuntos utilizados en la explicación del cambio normativo mostrando cómo este tipo de análisis contribuye a explicar la teorización en materia de derogación. Finalmente, el apartado 4 recapitula los principales aportes del trabajo a modo de conclusión.

2 La derogación y la dinámica de los sistemas jurídicos

6Transcurridos prácticamente cincuenta años desde la publicación de las primeras propuestas teóricas en torno al carácter dinámico del derecho, el balance que se puede hacer es sumamente provechoso. Se ha producido una próspera simbiosis entre los trabajos de Alchourrón y Bulygin y un amplio conjunto de propuestas de revisión, ajuste y perfeccionamiento proveniente desde distintos sectores iusfilosóficos.

  • 3 Con la vastedad aludo a un amplísimo conjunto de autores y autoras que han dedicado una parte de su (...)

7Por lo mismo, resulta imposible abordar en este trabajo todo lo que se ha escrito, pero sí es factible presentar esquemáticamente algunos de los principales hitos de la propuesta teórica con base en dos consideraciones.3 Por un lado, presentar las ideas de Alchourrón y Bulygin destacando aquellas nociones que son propias de una teoría de conjuntos y, por otro lado, mostrar la citada simbiosis a través de alusiones a las propuestas de distintas autores y autoras. Lo dicho lo haré centrándome, primero, en la distinción entre sistema y orden jurídico (2.1) y, segundo, en el concepto de derogación (2.2).

2.1 Sistema y orden jurídicos

8Si bien Normative Systems es un libro dedicado fundamentalmente al análisis de los sistemas jurídicos estáticos, Alchourrón y Bulygin (1974[1971]: 32, 37, 86, 92 y 103), en algunas de sus páginas desarrollan los primeros elementos de su teoría del cambio normativo. Allí caracterizan al sistema normativo como un sistema deductivo (axiomático), es decir, como un conjunto de enunciados que contiene todas sus consecuencias lógicas. El sistema es normativo porque contiene al menos un enunciado normativo. Un enunciado es normativo cuando correlaciona casos con soluciones normativas y estas últimas son las posibles respuestas a cuál es el estatus normativo de ciertas acciones o conductas. Dichas soluciones se clasifican en dos categorías: (i) obligatorio, prohibido y facultativo son consideradas como “soluciones maximales”; (ii) permitido y no facultativo se denominan como “soluciones minimales”. Como la noción de sistema descansa en la noción de consecuencia lógica y esta última depende de la existencia de reglas de inferencia, necesariamente, también las reglas de inferencia integran el sistema.

9A partir de lo anterior, Alchourrón y Bulygin (1974[1971]: 137-140) sugieren que el sistema normativo cambia cuando cambian sus consecuencias normativas, sea por un cambio en la base o en las reglas de inferencia. Por ende, si no se afecta el contenido del sistema normativo tampoco se afecta su identidad, como ante una reformulación que solo modifica la presentación del sistema manteniendo la equivalencia de su base normativa. En ambos casos, el término “cambio” alude a la generación de un sistema distinto del anterior, i.e., cambio significa sustitución de un sistema por otro y no modificación dentro del sistema.

10El sistema tiene su base axiomática integrada por un conjunto finito de enunciados normativos a partir de los cuales se derivan los otros enunciados del sistema (consecuencias) con base en las reglas de inferencia. En el libro Normative Systems, las reglas de inferencia están constituidas por las reglas lógicas, porque Alchourrón y Bulygin (1974[1971]: 87, 119 y 143) adhieren a la denominada descripción del “sistema normal”. A su vez, los enunciados de la base axiomática se identifican mediante los criterios de identificación usados por los juristas. Estos criterios contextuales establecen los requisitos que debe cumplir un enunciado para ser derecho válido y comprenden dos tipos de reglas. Las reglas de admisión que determinan las fuentes de derecho (legislación, jurisprudencia, costumbre, etc.) y las reglas de rechazo que establecen las formas (i.e. derogación, desuso, etc.) en que un enunciado pierde su validez.

  • 4 Idénticas consideraciones en Alchourrón y Bulygin (1976). Como es ampliamente conocido, la distinci (...)

11Al poco tiempo y como un segundo paso, a partir de las sólidas bases de Normative Systems, los autores precisan algunas nociones.4 Primero, diferencian entre normas explícitamente formuladas y normas derivadas de ellas. Segundo, consideran que el carácter dinámico del derecho deriva de actos de promulgación y derogación de normas. Tercero, proponen capturar dicho carácter dinámico mediante la diferenciación entre sistema jurídico, entendido como un conjunto de normas, y orden jurídico, entendido como una secuencia de sistema jurídicos. La identidad del primero depende de sus elementos; mientras que la identidad del segundo se determina por los criterios utilizados para la identificación de los sistemas que integran su secuencia. De esta manera, la dinámica jurídica se presenta mediante distintos sistemas jurídicos (en adelante Sj) que pertenecen a un orden jurídico (en adelante Oj). Los Sj se suceden en el tiempo y son generados a partir de actos de promulgación y/o derogación, y de esta manera se conforma el Oj (Alchourrón y Bulygin 1977[1975]: 300-302).

12En este contexto, el Sj se presenta como Cn(A) donde A simboliza un “conjunto de normas formuladas”, las cuales son entendidas como su base axiomática, y Cn todas sus consecuencias lógicas, las cuales son aludidas como normas derivadas. Así, para determinar los efectos de los actos de promulgación y derogación en un Sj se debe considerar, principalmente, tres posibilidades: promulgación de nueva norma, derogación de norma formulada y derogación de norma derivada:

  • 5 Alchourrón y Bulygin (1979: 67-71) sugieren también que la autoridad al momento de promulgar una nu (...)

13(a) Si la autoridad promulga la norma N2, el sistema resultante se constituye por “la suma de tres conjuntos”: las consecuencias de la base axiomática A, las consecuencias de N2 y las consecuencias de {A+N2}, es decir, {Cn(A+N2}.5

14(b) Si la autoridad deroga N2, el sistema resultante se constituye por la “sustracción de tres conjuntos”: la norma N2, las normas derivadas de N2 y las normas para cuya derivación N2 es necesaria.

  • 6 También, ver Alchourrón y Bulygin (1976). En relación con este punto Kristan (2017: 67 y ss) ha sug (...)

15(c) Si la autoridad deroga N4 que se deriva de N2 y N3, el sistema resultante está lógicamente indeterminado, porque no existen criterios lógicos para decidir qué norma sustraer entre aquellas que posibilitan su derivación. Si bien el sistema resultante no debe contener N4, las normas derivadas de N4 y las normas para cuya derivación N4 es necesaria, no es claro si debe sustraer la norma N2 o la norma N3, ya que ambas posibilitan su derivación (Alchourrón y Bulygin 1977[1975]: 302-306).6

  • 7 Más adelante Navarro (2005: 184) complementaria este estándar de racionalidad con consecuencias prá (...)
  • 8 Posteriormente, esta precisión (solo aquellos conjuntos de normas a los cuales pertenece, al menos, (...)

16Un tercer paso en este proceso de precisión y desarrollo de una concepción dinámica del derecho se produce a los pocos años del segundo. A partir de la noción de afirmación racional se sostiene que, al prescribir expresamente una norma, se prescriben implícitamente todas las consecuencias lógicas de las normas expresamente prescritas.7 Así, son formuladas las normas que son objeto de un acto expreso de promulgación y derivadas las normas que son consecuencias lógicas de las primeras. Esta distinción permite reflejar en un sistema normativo la distinción entre axiomas y teoremas propia de los sistemas deductivos axiomáticos, ya que los primeros se corresponderían con las normas formuladas y los segundos con las derivadas. Así, un sistema axiomático normativo tiene, al menos, un axioma normativo, es decir, una norma-sentido formulada (Alchourrón y Bulygin 1979: 44-45 y 58-59).8

  • 9 Bulygin (1982: 66) lo dice con claridad más adelante: «It seems natural to asume that a norm, once (...)

17Entendidas como entidades abstractas, la existencia de las normas se reformula en términos temporales a través de la noción de pertenencia a un sistema. Un sistema dinámico (como Oj) está sujeto a cambios a lo largo del tiempo a través de actos de promulgación y derogación de normas. De manera que, si su contenido es distinto en cada momento temporal, la existencia de las normas puede ser definida en términos de su pertenencia a un sistema. A cada momento temporal corresponde un acto de promulgación y/o derogación, de modo que, en cada momento se presenta un Sj distinto. Dichos actos generan nuevos Sj que integran la “secuencia de conjuntos” que forma el Oj cuya identidad descansa en los “criterios de identificación” de las normas que pertenecen a cada Sj en cada momento. Estos criterios constan de reglas de introducción que determinan cuándo una norma pertenece al sistema, junto con reglas de eliminación que determinan cuando una norma deja de pertenecer al sistema (Alchourrón y Bulygin 1979: 57-60).9

18En relación con las reglas de introducción los autores presentan tres “criterios de pertenencia de las normas a un Sj”: (i) pertenencia directa en el caso de las normas soberanas; (ii) validez en el caso de las normas formuladas; y (iii) deducibilidad en el caso de las normas derivadas (Alchourrón y Bulygin 1979: 61-66).

  • 10 A partir de lo anterior, los comentadores de Alchourrón y Bulygin han señalado que un Sj es un conj (...)

19El primer criterio alude al hecho de que todo sistema contiene normas que no son válidas ni inválidas, sino más bien definidas por, o determinadas a través de, enumeración. El segundo refiere a que, en un Sj determinado, una norma es válida si hay al menos otra norma perteneciente al mismo sistema en conformidad con la cual es válida. Y el tercer criterio contiene la noción de promulgación implícita. Por ende, en razón de su carácter, la identidad del Oj descansa en las normas supremas o soberanas.10 En cambio, las reglas de eliminación serán presentadas en el apartado siguiente (2.2) relativo a la derogación.

20Un cuarto paso en la reconstrucción teórica se establece explicitando la relevancia de las relaciones entre las normas que integran el Sj, principalmente, en dos aspectos: ordenación y aplicabilidad.

21Fue al comenzar la década de los ochenta, cuando Alchourrón enfatizó el carácter jerárquico de los Sj (Alchourrón 1982: 56-68). Las fuentes del derecho no solo proporcionan normas sino también criterios jerárquicos para determinar la importancia relativa de las normas que forman parte de los Sj. Se amplía así el ámbito de elementos que componen un Sj, porque se incluyen una serie de relaciones que determinan el peso específico de cada elemento. Por ejemplo, el criterio basado en el nivel jerárquico de la autoridad que dicta la norma. De ahí que, en la reconstrucción de los Sj se deben introducir una serie de “relaciones ordenadas” que proporcionan jerarquías a sus elementos, caracterizándose los sistemas como una tupla [A, >1>n] donde el primer elemento (A) es el conjunto de normas y el resto (>1>n) las diferentes relaciones jerárquicas, siendo cada jerarquía un orden parcial estricto, transitivo y simétrico.

22Sin embargo, las relaciones jerárquicas no deben ser consideradas como normas del Sj, porque no imponen el deber de realizar o no una determinada acción, más bien su función es selectiva respecto de los elementos que integran un Sj, i.e., en ciertas circunstancias, producen el desplazamiento de un elemento por otro. Y la eficacia de la relación jerárquica en la selección normativa está condicionada por la existencia de normas que prescriben cómo manipular otras normas del sistema cuando hay relaciones jerárquicas entre ellas. Por lo mismo, se debe reconocer la existencia de un segundo nivel normativo vinculado con la utilización de las relaciones jerárquicas, el cual puede definir su importancia y desempeño en las distintas disciplinas jurídicas (Alchourrón 1982: 57-58).

23En el mismo periodo, dadas las importantes consecuencias teóricas, Bulygin (1982: 65-66) enfatiza dos sentidos descriptivos de validez: como pertenencia y como aplicabilidad. Un sentido descriptivo alude a la pertenencia de una norma a un Sj, de modo que, afirmar “p es válido” constituye una proposición descriptiva acerca de la relación diádica entre una norma y un sistema determinado. Y el otro sentido descriptivo refiere a que una norma debe ser aplicada en conformidad con otra norma, de manera que, sostener “p es válido” es afirmar la existencia de una prescripción de acuerdo a la cual la norma en cuestión debe ser aplicada a un cierto caso (relación tríadica).

24Así, a partir de la distinción entre Sj y Oj, es posible diferenciar entre todo el tiempo durante el cual una norma pertenece a los distintos Sj de un Oj y la secuencia de todos los momentos temporales en los que la norma es aplicable a algún caso. El primero se denomina tiempo externo y la segunda tiempo interno de las normas. Al ser el tiempo externo una función de pertenencia y el tiempo interno una función de aplicabilidad, ambos tiempos son independientes entre sí. Por ende, no es necesaria su coincidencia y las normas que una autoridad normativa aplica a un caso en un momento determinado pueden no pertenecer al sistema correspondiente a ese momento (Bulygin 1982: 67-68).

25De esta manera, el Sj presente al tiempo de resolver el caso (SjP) cobra preponderancia, porque las normas que resuelven el caso son determinadas por los criterios de aplicabilidad que pertenecen a él. Dentro del SjP, el juez debe identificar tanto los criterios que señalan qué normas son aplicables a un caso concreto como los criterios de aplicabilidad que señalan qué criterios (de aplicabilidad) deben ser aplicados. Estos criterios identifican los momentos temporales a los que corresponden los sistemas que deben ser tomados en cuenta y a partir de ellos permiten comparar sus normas pertenecientes para determinar cuál resulta aplicable (Bulygin 1982: 70-71).

26Finalmente, a comienzos de los años noventa, ocurre un quinto paso en la reconstrucción a través de un esquema definicional, cuando Bulygin postula (de manera canónica) el criterio de identidad de un Oj. Este se formula a través de cinco reglas genéricas que determina la estructura de un Oj, a saber:

  • 11 Un desarrollo de estas ideas en el libro de Moreso y Navarro (1993).

(1) El conjunto de normas [N1, N2…N3] es el sistema originario (primera constitución) de Oi; (2) Si una norma Nj es válida en un sistema St que pertenece a Oi, y Nj faculta a la autoridad x a promulgar la norma Nk y x promulga en el momento t la norma Nk, entonces Nk es válida en el sistema St+1 (es decir, en el sistema correspondiente al momento siguiente a t) y St+1 pertenece a Oi; (3) Si una norma Nj es válida en un sistema St que pertenece a Oi, y Nj faculta a la autoridad x a derogar la norma Nk que es válida en St y x deroga Nk en el momento t, entonces Nk no es válida en el sistema St+1 (correspondiente al momento siguiente a t) que pertenece a Oi; (4) Las normas válidas en un sistema St que pertenece a Oi que no han sido derogadas en el momento t, son válidas en el sistema St+1 de Oi (que corresponde al momento siguiente a t); y (5) Todas las consecuencias lógicas de las normas válidas en un sistema St, que pertenece a Oi también son válidas en St(Bulygin 1991: 263-264).11

  • 12 La reconstrucción sistémica obtiene mayor precisión si se distingue entre Oj y orden estatal (Oe), (...)

27Esta manera de concebir la noción de Oj representa solo aquel uso de la expresión que hace depender la identidad del orden en la legalidad del cambio entre los sistemas que a él pertenecen. En otras palabras, la identidad del Oj, definida a partir de un Sj0, depende de la identidad del procedimiento de generación y eliminación de normas, esto es, de la legalidad del cambio de un sistema a otro a lo largo del tiempo. Si bien no cualquier modificación ilegal de normas produce un cambio de Oj, únicamente puede producir tal efecto la alteración ilegal de las normas de la Constitución originaria que regulan el procedimiento de sucesión de Sj, es decir, la alteración ilegal de las normas independientes de un Sj produce un cambio de orden, por ser ellas las que componen su primera Constitución. En concreto, la infracción de las normas de competencias que regulan la promulgación, la derogación y la reforma dentro del Oj es aquello que produce un cambio de orden (Bulygin 1991: 265).12

2.2 Derogación13

  • 13 Si bien tomo como eje de la explicación a Alchourrón y Bulygin (1979), es posible encontrar explica (...)

28Los criterios de identificación de un sistema se componen de reglas de introducción y reglas de eliminación, porque para determinar las normas que integran un Sj en un momento determinado se debe saber cuáles son las normas supremas, cuáles han sido promulgadas y cuáles han sido derogadas. Se habla de derogación porque es el medio más utilizado para eliminar normas, aunque no es el único, y ella se describe como un proceso realizado por la autoridad normativa competente que se integra por dos actividades: el acto de rechazo y la operación de eliminación (Alchourrón y Bulygin 1979: 60 y 73-78).

29Acto de rechazo. Es un acto lingüístico expresado a través de formulaciones lingüísticas mediante el cual la autoridad competente manifiesta su voluntad de que cierto(s) contenido(s) normativo(s) no sea(n) parte de los sistemas sucesivos. Cabe destacar, que el acto de rechazo es conceptualmente independiente de la derogación, porque ambos se pueden presentar sin el otro, v.gr., en el rechazo (anticipado) de una norma inexistente, o bien, en la derogación de una formulación normativa (Alchourrón y Bulygin, 1979: 74-84; 1981; 1984a).

30El acto de rechazo abarca tanto la norma expresamente rechazada como todas las otras normas que implican a esta última. De ahí que se rechace implícitamente todos los conjuntos de normas que implican a la norma rechazada o de los que ella es consecuencia. El conjunto rechazado está formado por todos los conjuntos de normas que implican a alguna de las normas expresamente rechazadas; mientras que, “el conjunto de los conjuntos” rechazados en un sistema es el conjunto de todos los subconjuntos de los enunciados formulados del sistema que son rechazados. En ambos casos, siempre lo rechazado por una autoridad normativa competente es un conjunto de conjuntos, es decir, una familia de conjuntos. Consecuentemente, la derogación se cumple al eliminar todos los conjuntos de normas que implican a alguna de las normas del conjunto rechazado, i.e., un conjunto es rechazado cuando implica a alguna de las normas expresamente rechazadas. De otro modo, solo cambiaría el estatus de la norma rechazada de expresamente formulado en el Sj1 a derivada en el Sj2 (Alchourrón y Bulygin 1979: 74-78 y 85-88; 1976; 1981).

31Operación de eliminación. De acuerdo con Alchourrón y Bulygin, la derogación se satisface con la eliminación de todos los conjuntos rechazados. Si bien para eliminar un conjunto es suficiente con eliminar una de sus normas, al ser un caso especial de eliminación de conjuntos, la derogación de un conjunto requiere la eliminación de todas sus normas, no solo una o algunas de ellas (Alchourrón y Bulygin 1979: 88).

32De ahí que la regla de eliminación debe satisfacer un criterio de adecuación integrado por dos condiciones: (i) debe eliminarse por lo menos una norma de cada conjunto rechazado; y (ii) solo deben eliminarse la normas estrictamente necesarias para satisfacer la primera condición (derogación minimal) (Alchourrón y Bulygin 1979: 88).

33Para seguir el criterio de adecuación se deben eliminar todos los conjuntos rechazados mínimos. Estos son los conjuntos en que ninguno de sus elementos puede ser eliminado sin que el conjunto deje de ser rechazado, porque todas sus normas son necesarias para la implicación de la norma expresamente rechazada y cuando una de ellas es eliminada esta implicación ya no se da (Alchourrón y Bulygin 1979: 89-90).

34De esta manera, según Alchourrón y Bulygin, la derogación puede ser entendida como:

  • 14 En algunos casos es posible remover solo una norma de cada conjunto rechazado para satisfacer el cr (...)

[U]na derogación en α en base a π donde α es el conjunto de todas las normas formuladas del sistema y π el conjunto de las normas expresamente rechazadas: [una derogación] es el conjunto formado tomando por lo menos una norma de cada conjunto rechazado de α [...] [N]os interesa encontrar la derogación minimal, es decir, satisfacer la segunda condición del criterio de adecuación […] [P]ara dar cuenta de esta dificultad [conjuntos superpuestos] tenemos que definir la derogación minimal como una derogación tal que ninguna de sus partes propias es una derogación. En otras palabras, si un conjunto de normas que es una derogación (en α en base a π) es tal que no se le puede restar ningún elemento (ninguna norma) sin que el resultado deje de ser una derogación, ese conjunto es una derogación minimal (Alchourrón y Bulygin 1979: 90-92).14

35A partir de lo anterior, la regla de eliminación se define como la realización de una derogación minimal, i.e., deben eliminarse todas las normas que pertenecen a una derogación minimal, cuando una norma o conjunto de normas pertenecientes a un sistema son rechazadas a través de una derogación. Por lo mismo, es que un acto de derogación requiere la eliminación de la totalidad de los contenidos de alguna selección minimal desde el sistema. Se deben remover desde el sistema todos los elementos del conjunto rechazado mínimo y nada más, asegurando así el cumplimiento del criterio de adecuación y el establecimiento de una derogación minimal (Alchourrón y Bulygin 1979: 94).

  • 15 A modo de recordatorio, las nociones de la teoría de conjuntos explicitadas con entrecomillado son: (...)

36Si bien la reconstrucción podría continuar en relación con las distintas maneras de realizar una derogación minimal y la indeterminación lógica del sistema, para efectos de este trabajo el propósito ya ha sido cumplido. Por un lado, se han explicitado las principales nociones de la teoría de conjuntos utilizadas en el contexto de una teoría de la dinámica de los Sj y, por otro lado, se ha destacado el hecho de que dentro de esta teorización la derogación constituye un tipo de relación entre conjuntos: “derogación en α (el sistema) en base a π (conjunto de normas expresamente rechazado)”. Por consiguiente, ahora es posible esbozar una explicación de dicha relación (derogatoria) en el contexto de una teoría (axiomática) de conjuntos.15

3 Teoría de conjuntos

37En los ordenamientos jurídicos contemporáneos, la derogación puede ser entendida como una “relación”, ya que la derogación de una ley o norma necesita de la existencia de otra ley o norma. Por ello, cuando se afirma que “L2 deroga a L1” se está diciendo que un particular par de objetos constituye la relación de la derogación a través de su entrada en ella. Por lo tanto, como el concepto de derogación siempre pone en relación dos o más objetos, puede ser entendido como una entidad relacional o relación. De ahí que, desde un marco teórico diverso, la “explicación relacional” de Alchourrón y Bulygin no entra en tensión con una de las intuiciones jurídicas más básicas y generalmente compartidas en torno a la derogación.

  • 16 Son ejemplos de este tipo de análisis McBride (2020) y Brower (2018), entre otros.
  • 17 En esta línea, siguiendo a Ramsey (1926), para mostrar la diferencia entre los distintos análisis d (...)

38Este carácter relacional puede ser analizado desde, al menos, dos perspectivas. Por un lado, a través de los trabajos destinados al análisis de los predicados relacionales16 y, por otro lado, mediante las propuestas de una teoría de conjuntos. Si bien ambas perspectivas presentan coincidencia, de ello no se sigue que sean equivalentes. Esto, entre otras razones, porque en la actualidad la teoría de conjuntos presenta un carácter axiomático, precisamente, para sortear las dificultades de una teoría de conjuntos sustentada en propiedades (o teoría näive de conjuntos).17 De ahí que, en lo que sigue, al ser la versión estandarizada, cada vez que se alude a la teoría de conjuntos se está refiriendo a la teoría axiomática de conjuntos.

3.1 Algunas nociones básicas18

  • 18 Una didáctica introducción a la teoría de conjuntos, en Halamos (1960).

39Historia. En un sentido ordinario, un “conjunto” puede ser entendido como una colección de entidades de algún tipo e incluso se podría considerar como equivalente con las nociones de “clase”, “agrupación” o “aglomeración”. Considerado el fundador de la teoría de conjuntos como disciplina matemática, Georg Cantor sigue esta noción intuitiva para formular su principio de comprensión, según el cual: la colección de todo objeto que comparte una propiedad forma un conjunto (Suppes 1972; Hernández 1998: vii; Cunningham 2016).

40Si bien las propuestas de Cantor no trabajan desde axiomas, sirvieron para demostrar y descubrir diversos teoremas matemáticos hasta que Bertrand Russell anuncia la paradoja que llevará su nombre. Si las propuestas de Cantor aceptan que, dada una propiedad cualquiera hay un conjunto cuyos miembros son solo aquellas entidades que tienen tal propiedad, Russell pregunta por el conjunto de todas las cosas que tienen la propiedad de no ser miembros de sí mismos. La relevancia de esta paradoja está en que impulsó la búsqueda de una respuesta a la pregunta: ¿cómo es posible construir adecuadamente un conjunto? (Suppes 1972; Hernández 1998: 4; Cunningham 2016).

  • 19 En sentido estricto, sus propuestas no son axiomas sino esquemas axiomáticos, ya que permiten un ti (...)
  • 20 Es del caso recordar que hay otras axiomatizaciones de teorías de conjuntos como: (i) Neumann-Berna (...)

41En esta búsqueda se desarrolló una teoría de conjuntos circunscrita a determinados axiomas, los cuales fueron formulados por Ernest Zermelo y precisados por Abraham Fraenkel.19 Por ello en la actualidad la teoría de conjuntos es conocida como Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Esta teoría axiomática no solo evita las denominadas paradojas semánticas (v.gr., del mentiroso, el barbero y la heterológica, entre muchos otros), sino que además permite entregar profundidad y versatilidad a las investigaciones matemáticas, al punto de que la mayor parte de la matemática contemporánea puede desarrollarse dentro de ella (Suppes 1972).20

42El principal logro de este ejercicio intelectual colectivo radica en, por una parte, mostrar el nivel de precisión que es posible obtener a través de una definición exacta de las fórmulas de una teoría que se apliquen a un esquema axiomático y, por otra parte, establecer que el método axiomático es el modo más claro y preciso para dar una representación del mundo (Suppes 1972; Hernández 1998: 5).

43De este modo, las explicaciones que siguen tienen por objeto mostrar rápidamente cómo, sin determinar el concepto de conjunto ni recurrir a las nociones intuitivas de sus términos primarios o primitivos, esta teoría deduce todos los teoremas a partir de axiomas. En dichas explicaciones (i) se utilizan las letras mayúsculas para representar los conjuntos, v.gr., A, B, C… , y se emplean las letras minúsculas para simbolizar sus elementos x, y, z…; (ii) la pertenencia se representa a través de la letra épsilon ∈ y significa ser elemento de, v.gr., x∈A (x pertenece a A), y su negación significa que algo no es elemento de, v.gr., x∉A (x no pertenece a A); por último, (iii) las conectivas de la lógica proposicional de primer orden mantienen su significado habitual (∧, ∨, ⇒ y ⇔) (Hernández 1998: 10). Presento ahora algunos trazos centrales de la teoría.

44Axiomas, definiciones, operaciones y precisiones. Si bien no existe un consenso pleno al momento de formular los axiomas de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, al menos existe un acuerdo parcial en relación con los siguientes siete axiomas:

  • 21 En algunas presentaciones el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto, v.gr., ∅∈B (Cunningham (...)

(i) Axioma de existencia. Hay un conjunto que no tiene elementos.21

  • 22 Hernández (1998: 11) sugiere que este axioma no es solo una propiedad lógica de la igualdad, sino m (...)

(ii) Axioma de la extensionalidad. Dos conjuntos son iguales, si y solo si, ellos tienen los mismos elementos, i.e., si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento A.22

  • 23 Este es un esquema porque permite producir axiomas o colecciones infinitas de proposiciones y su pr (...)

(iii) Axioma esquema de la comprensión. Sea P(x) una propiedad de x. Para cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x∈B si y solo si x∈A y P(x).23

(iv) Axioma del par. Para cualquier a y b hay un conjunto C tal que x∈C, si y solo si, x=a o x=b, i.e., todo conjunto es un elemento de algún conjunto y dos conjuntos cualquiera son simultáneamente elementos de algún mismo conjunto.

(v) Axioma de la unión. Para cada conjunto S existe un conjunto U tal que x∈U, si y solo si, x∈X para algún X∈S, i.e., S es un sistema de conjunto o familia de conjuntos cuando sus elementos son conjuntos, de ahí que, la unión de familia de conjuntos S sea el conjunto de todos los x que pertenecen a algún conjunto que forma parte de la familia S.

  • 24 Se debe recordar que el conjunto vacío es miembro del conjunto potencia de cualquier conjunto y, ad (...)

(vi) Axioma del conjunto potencia. Para cualquier conjunto X existe un conjunto S tal que A∈S, si y solo si, A⊆X, esto es, dado un conjunto cualquiera es posible formar un nuevo conjunto cuyos miembros son exactamente subconjuntos de un conjunto dado y este es el conjunto S de todos los subconjuntos de X, llamado conjunto potencia X y denotado por P(X).24

  • 25 La presentación de estos siete axiomas está basada en Hernández (1998: 10-19).

(vii) Axioma de fundación (o regularidad). En cada conjunto no vacío A existe u∈A tal que u y A no tienen elementos en común (para cualquier x, si x∈A, entonces, x∉u). Por ende, se postula que ciertos conjuntos no existen, v.gr., a modo de teorema se deprende que dos conjuntos no vacíos A y B no puede concurrir simultáneamente (A∈B y B∈A) y ningún conjunto no vacío puede ser elemento de sí mismo (X ≠ ∅, X∉X).25

45Es importante recordar cuatro consideraciones propias de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. La primera consiste en que el par no ordenado de a y b es el conjunto que tiene los elementos a y b, y es denotado por {a,b}, y el par no ordenado {a,a} puede ser denotado como {a} conjunto unitario. La segunda sugiere no confundir los conjuntos de un solo elemento con el elemento en sí, ∅ ≠ {∅}, porque ∅ no tiene elementos, pero {∅} sí y, a su vez, x ≠ {x}, ya que {x} tiene un solo elemento; mientras que, x puede tener cualquier número de miembros. La tercera recuerda que las familias de conjuntos tienen por propósito enfatizar que sus elementos son conjuntos y, en consecuencia, son tratados como tales, para ello se utilizan letras mayúsculas en cursiva (v.gr., F, A, B…). Finalmente, la cuarta consideración entiende que el par ordenado es un conjunto de dos objetos en un orden específico, el cual se caracteriza por: (i) dados dos objetos a y b existe un objeto, el cual puede ser denotado por {a,b}, que está unívocamente determinado por a y b; (ii) si {a,b} y {c,d} son pares ordenados, entonces {a,b} = {c,d} si y solo si a=c y b=d; y (iii) la coordenada del par {a,b} es el elemento que pertenece a ambos conjuntos (a) y la segunda coordenada es el elemento que pertenece solo a un conjunto (b), porque el par ordenado {a,b} = ({a}, {a,b}) (Cunningham 2016; Hernández 1998: 14-15).

  • 26 No se debe confundir la con la , porque la pertenencia es transitiva, pero la contención no y, a (...)

46Además, si A y B son conjuntos algunas definiciones a considerar son: (i) subconjunto impropio, A ⊆ B o B ⊇ A cuando cada elemento A es también elemento de B;26 (ii) subconjunto propio, A ⊂ B cuando cada elemento A es también elemento de B, pero hay al menos un elemento en B que no es elemento de A; y (iii) disjuntos, A y B son disjuntos si ellos no tienen elementos en común A∩B=∅. Asimismo, tres operaciones básicas son: (i) unión, operación que une en un conjunto los elementos que pertenecen tanto a A como a B A∪B; (ii) intersección, operación que forma un conjunto con los elementos que pertenecen a A y B A∩B; y (iii) diferencia, operación que entre A y B (en ese orden) formula el conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B (A∼B); y (iv) producto cartesiano es el conjunto formado por los conjuntos A y B, tal que A×B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) si a∈A y b∈B, es decir, A×B = {(a,b) : a∈A ∧ b∈B}y, además, para cualquier A y B, A×B es un conjunto (Suppes 1972; Cunningham 2016; Hernández 1998: 16 y 30-32).

47Hasta aquí es posible vincular claramente las nociones utilizadas por Alchourrón y Bulygin con algunas nociones básicas de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Por ejemplo, la definición de Sj se condice con el axioma de la extensionalidad, al punto de tener el mismo énfasis, en el sentido de que este axioma no es solo una propiedad lógica de la igualdad entre conjuntos, sino más bien una propiedad no trivial de la pertenencia a un conjunto. Además, la conexión entre ambas propuestas se aprecia en cómo la propuesta de conjuntos rechazados se explica a partir de la noción de familia de conjuntos, la propuesta de ordenación jerárquica descansa en la noción de par ordenado y, además, es posible apreciar el uso de la misma simbología. Así también, de un modo implícito es posible asumir la compatibilidad de las propuestas de los autores argentinos con el axioma de la existencia a través del reconocimiento expreso del conjunto vacío en sus propuestas.

48Relación. Una relación puede ser definida como un conjunto de pares ordenados, es decir, la relación R es una proposición acerca de que para cada par ordenado (a,b) es posible determinar cuándo a y b están en una relación R. Si un conjunto A es una relación R cada uno de sus elementos es un par ordenado (Suppes 1972; Badesa, Jané y Jansana 1998: 42-45; Hernández 1998: 43).

49Como una relación, la derogación puede ser entendida como el conjunto de los pares ordenados (L2, L1), en que L1 es derogada por L2. La relación entre los elementos del conjunto es también un conjunto de pares ordenados de elementos de un conjunto determinado. Así, si R es una relación y se presenta L2RL1, es posible decir que L1 está relacionada con L2 por R, o bien, que la relación R se presenta entre L2 y L1.

50Al ser entendidas como conjuntos, se puede aplicar a las relaciones el axioma de extensionalidad y el producto cartesiano. Según el primero, las relaciones R y S son idénticas (son la misma) si a ellas pertenecen los mismos pares, es decir, que frente al par (L2, L1), si (L2, L1)R, si y solo si, (L2, L1)S. Por ende, se estará ante la misma relación de derogación RD cuando los mismos pares ordenados entran en ella y esta puede ser representada como R L2×L1(Badesa, Jané y Jansana 1998: 45; Hernández 1998: 44).

  • 27 Como sugiere Suppes (1972), en relaciones con más constituyentes, v.gr., en R = {(L1, L·3) (L2, L4) (...)

51Dentro de las partes de una relación se diferencia entre el dominio, el recorrido y el campo. El “dominio” de una relación R, dom(R), es el conjunto de los primeros componentes de los pares de R. El “recorrido” de R, rec(R), es el conjunto de los segundos componentes de los pares de R. El “campo” de R, campo(R), es la unión de su dominio y su recorrido, es decir, el conjunto de todos los componentes de los pares de R. Por ejemplo, L2 pertenece al dom(R), si y solo si, hay un objeto L1 tal que L2RL1; a su vez, L1 pertenece al rec(R), si y solo si hay un objeto L2 tal que L2RL1; en cambio, L1 pertenece al campo(R) si y solo si es un componente de la relación L1RL2 o L2RL1(Badesa, Jané y Jansana 1998: 46; Hernández 1998: 45).27

52A partir de una relación cualquiera, es posible obtener su “relación inversa” Я, la cual se da entre los elementos que la integran, i.e., se obtiene al invertir el orden de los miembros de todos los pares ordenados que constituyen la relación. Frente a los objetos L2RL1 su relación inversa es L1ЯL2, es decir, la relación inversa L1ЯL2 se da, si y solo si, se presenta L2RL1. De esta manera, es posible señalar que el dominio de R es el recorrido de Я y el dominio de Я es el recorrido de R. Por ejemplo, en la relación R «L2 deroga a L1», la relación inversa Я es el caso en que «L1 deroga a L2». Así, en R L2 es el dominio, pero en Я es el recorrido (Suppes 1972; Badesa, Jané y Jansana 1998: 47).

3.2 Derogación como relación28

  • 28 Una versión preliminar de las ideas aquí presentadas se encuentra en Agüero-SanJuan (2015).

53Según Alchourrón y Bulygin, la derogación constituye un caso particular de eliminación de conjuntos, sin embargo, dados los axiomas de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel resulta difícil explicar qué quiere decir eliminar un conjunto. Por ello, la noción de conjunto rechazado puede tener mayor asidero y la idea de “eliminación” aludir más bien a la identificación de los elementos rechazados que pertenecen al sistema.

  • 29 En este ejemplo, Alchourrón y Bulygin (1979) utilizan el símbolo Λ para representar el conjunto vac (...)

54Aprovechando un ejemplo propuesto por los mismos autores argentinos se pueden precisar o clarificar algunas de las nociones de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel empleados por ellos, a saber: (i) el conjunto de normas iniciales I está integrado por las normas {p, q, p≡q} y la autoridad rechaza {q}; (ii) los subconjuntos del conjunto inicial son ({p, q, p≡q}, {p, q}, {p, p≡q}, {q, p≡q}, {p≡q}, {p}, {q} y {∅}); (iii) el conjunto rechazado CR es ({p, q, p≡q}, {p, q}, {p, p≡q}, {q, p≡q}, {q}); (iv) el conjunto de derogaciones D es ({p, q, p≡q}, {p, q}, {q, p≡q}); (v) el conjunto rechazado mínimo CRM es ({p, p≡q}, {q}); y (vi) el conjunto de derogación mininal DM es ({p, q}, {q, p≡q}) (Alchourrón y Bulygin 1979: 92).29

55Al estar integrado tanto por normas formuladas como derivadas, el conjunto de los subconjuntos del conjunto inicial es una manifestación del axioma del conjunto potencia, es decir, si el conjunto inicial es I su conjunto potencia es P(I) y, en consecuencia, se debe explicitar que el símbolo ∅ alude al conjunto vacío. Además, todos los conjuntos de conjuntos (rechazados, rechazados mínimos, derogados y derogados mínimos) son familias de conjuntos, de manera que, deben ser representados a través de letras mayúsculas en cursiva (CR, D, CRM y DM).

56La derogación ejemplificada puede ser explicada a partir de tres operaciones conjuntistas. En un primer momento la derogación será el conjunto formado por los elementos que pertenecen a la intersección de los conjuntos P(I) y CR (P(I)∩CR); y luego, una vez es identificado dicho conjunto, se obtiene un conjunto diferencia, el cual contiene las normas remanentes y se forma por todos los elementos que están en P(I) y no están en CR (P(I)∼CR). De este modo, el conjunto remanente T es aquel que no tiene elementos en común con P(I) ni CR(conjunto disjunto), v.gr., {p}, {p≡q} y ∅. De esta manera, al conjunto formado por P(I)∩CR se aplican las reglas de eliminación, cuestión que modificará por razones o consideraciones jurídicas (y no conjuntistas) tanto el conjunto remanente final como el conjunto efectivamente rechazado o eliminado.

57Adicionalmente, la idea de derogación puede ser precisada a través de la noción de diferencia simétrica, operación según la cual a partir de dos conjuntos (I y CR) se forma un tercer conjunto (T) que contiene aquellos elementos que no pertenecen a ambos. Si bien en casos como el recién presentado la utilidad de la diferencia simétrica parece trivial, en otros supuestos muestra mayor utilidad, v.gr., en la “derogación anticipada”. No es posible eliminar una norma inexistente, pero si es posible rechazar anticipadamente ciertos contenidos normativos, como ocurre con las normas superiores que impiden o prohíben la promulgación de ciertas normas a las autoridades inferiores (Alchourrón y Bulygin, 1979, pp. 83-84). Así, si I (Oq, Pq, Op, Pp) y CR (Op, Op, Or, Pr), por diferencia simétrica se forma un tercer conjunto remanente T (Oq, Pq, Or, Pr).

58Si las familias de conjuntos tienen por propósito enfatizar que sus elementos son conjuntos y, en consecuencia, ser tratados como tales, la derogación tiene este carácter no por estar integrada por conjuntos de normas que implican a alguna norma del conjunto rechazado, sino más bien por ser el conjunto integrado por el conjunto de las normas iniciales I y el conjunto de las normas rechazadas CR. Ahora es posible caracterizar esquemáticamente rasgos ampliamente compartidos de ambos conjuntos que entran en la relación derogatoria RD.

59Relación de relaciones. La derogación presenta un carácter relacional entre, al menos, dos elementos {L1, L2} o conjuntos ({L1}, {L2}). Sin embargo, esta relación se presenta cuando concurren los requisitos generalmente exigidos para su ocurrencia: tiempo y jerarquía. Excluyendo el caso de la derogación anticipada, en términos generales, en los derechos contemporáneos la ocurrencia de la derogación exige una específica relación temporal o cronológica entre los objetos involucrados en ella y, al mismo tiempo, ciertas específicas relaciones jerárquicas entre sus constituyentes.

60La relación temporal se puede presentar a través de la anterioridad {LA}, posterioridad {LP}o simultaneidad {LSi} y al ser un predicado relacional configura un conjunto de pares ordenados RT ({LA, LP} {LP, LA} {LSi, LSi}). Sin embargo, según es generalmente entendida, la derogación se presenta cuando el conjunto de las normas inicial {L1} presenta un carácter anterior {L1A} y el conjunto de las normas rechazadoras un carácter posterior {L2P}. De ahí que, de los tres pares ordenados, solo se deba considerar el primero RT {L1A, L2P}.

61A su vez, la relación jerárquica se presenta mediante el carácter inferior {LI}, superior {LSu} o congénere {LC} y al ser un predicado relacional configura un conjunto de pares ordenados RJ ({LI, LSu} {LSu, LI} {LC, LC}). No obstante, de acuerdo con la manera en que habitualmente es entendida, la derogación se presenta cuando el conjunto de las normas inicial L1presenta un carácter inferior {L1I} o congénere {L1C} y el conjunto de las normas rechazadoras un carácter superior {L2Su} o congénere {L2C}. De modo que, solo se deben considerar el primer y el tercer par ordenado RJ ({L1I, L2Su} {L2C, L2C}).

62Si bien las relaciones de temporalidad y jerarquía se pueden presentar de manera independiente, para el caso de la derogación deben concurrir de un específico modo confluente. Como reiteradamente señala la literatura jurídica, el conjunto de normas inicial debe ser anterior y de igual o menor jerarquía {L1AC} {L1AI} que el conjunto de las normas rechazadoras que debe ser posterior y de igual o superior rango jerárquico {L2PC} {L2PS}.

63Al explicar estas relaciones, el axioma de la comprensión posibilita sostener que el conjunto L1 se especifica a través de las propiedades: anterior y congénere o inferior; mientras que, el conjunto L2 se especifica a través de las propiedades: posterior y congénere o superior. Y, con base en la definición de relación y sus componentes, la derogación será el conjunto formado por los pares ordenados: RD = ({L2PC, L1AC} {L2PSu, L1AI}), en donde el dom(RD) es {L2PC,L2PSu} y el rec(RD) es {L1AC,L1AI}.

64En la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel una función es una manera de asociar elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B y puede ser entendida como una relación muchos-a-uno, es decir, una relación en que cualquier elemento del dominio se relaciona con un elemento de su rango, i.e., una relación F es una función si para todo adomF hay exactamente un b tal que (a,b)F (Suppes 1972; Cunningham 2016; Hernández 1998: 50-52).

65De esta manera, a través de las funciones es posible explicar la derogación, dado que en la relación derogatoria RD {L2, L1} más de un elemento del dominio {L2} puede estar relacionado con un elemento del recorrido (L1). Esto no impide que distintos elementos del dominio puedan estar relacionados con el mismo elemento del recorrido. Esta situación permite explicar con mayor claridad cómo las normas rechazadoras se pueden relacionar con más de una norma inicial.

66Orden. Las relaciones más básicas son reflexividad, simetría y transitividad. Una relación es reflexiva si cada elemento de un conjunto A está vinculado a sí mismo por R. Una relación es simétrica en A si para cada par de objetos {a,b} se dan las relaciones aRb y bRa. Una relación es antisimétrica en A si para todo par de elementos a,b∈A, tal que aRb y bRa implica a=b. Una relación es asimétrica en A si para todo par de elementos a,b∈A, tal que aRb implica que no ocurre bRa, es decir, (a,b) y (b,a) no pueden ambos ser elementos de A. Una relación es transitiva si cada vez que un elemento a está relacionado con otro elemento b, y b está relacionado con otro elemento c; entonces, a está relacionado con c (Suppes 1972; Hernández 1998: 78-79; Badesa, Jané y Jansana 1998: 68-70; Cunningham 2016).

67Así, un orden puede ser definido como una relación con características especiales. Por ejemplo, un orden parcial es una relación R que es reflexiva, antisimétrica y transitiva; mientras que, un orden estricto es una relación solo transitiva y asimétrica. En cambio, un orden lineal o total se presenta si dos elementos cualesquiera de un conjunto A son comparables. En general, los símbolos utilizados para representar órdenes son <, ≤, >, ≥ y su lectura es, por ejemplo, a es menor que b (a<b), y a es menor o igual que b (a≤b), b es mayor que a (a>b), y b es mayor o igual que a (b≥a) (Hernández 1998: 77-78). Se podría explicar así de un modo más preciso a qué se alude con la ordenación jerárquica de las normas a través de una tupla, junto con precisar las nociones de maximal, minimal, mínimo, y máximo.

68Si frente a un orden ≤ en el conjunto A y B⊆A (cada elemento de B es elemento de A) uno de sus elementos b (b∈B) es (i) el elemento mínimo de B en el orden ≤, si para todo x∈B, tal que b≤x; (ii) el elemento minimal de B en ≤, si para todo x∈B, tal que x≤b y x ≠ b; y (iii) el elemento máximo de B en ≤, si para todo x∈B, tal que x≤b; (iv) un elemento maximal de B en ≤, si para todo x∈B, tal que b≤x y x ≠ b.

69El elemento mínimo o máximo (si existe) solo puede ser uno a diferencia de los elementos minimales y maximales, porque los primeros son comparables con todo el elemento B; mientras que, de la definición de los segundos no se sigue que deban ser comparables con cualquier elemento de B (v.gr., si un conjunto tiene dos elementos maximales estos son incomparables) (Hernández 1998: 79-80). Esta breve precisión contribuye a determinar cuál es el sentido de los adjetivos mínimos, minimales, máximos y maximales empleados por Alchourrón y Bulygin a lo largo de sus explicaciones sobre la dinámica de sistemas jurídicos, especialmente, al tiempo de explicar la actividad de eliminación.

70Seguramente es posible continuar ad infinitum con las explicaciones de fenómenos jurídicos a través de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin embargo, en este trabajo opto por detenerme aquí, dado que el objetivo de este apartado ha sido alcanzado: explicar los elementos básicos de la teoría de conjuntos utilizados en la explicación del cambio normativo mostrando cómo este tipo de análisis puede contribuir a explicar la propuesta de teorización en materia de derogación entregada por los aludidos Carlos Alchourrón y Eugenio Bulygin.

4 Conclusión

71El desarrollo del presente trabajo ha sido impulsado por la pregunta ¿cuál puede ser la utilidad y el alcance de los elementos básicos de la teoría de conjuntos en la explicación del cambio normativo? Ante esta pregunta, como un primer paso, este trabajo se propuso enriquecer y complementar la teoría de los sistemas jurídicos propuesta por Alchourrón y Bulygin a partir de sus propias bases conceptuales, las cuales son deudoras de una teoría de conjuntos, y, en este trabajo, opto por vincularlas con la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

72Con este objetivo en vista, fueron explicitadas las principales nociones de la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel utilizadas en el contexto de una teoría de la dinámica de los Sj, a saber: conjunto, familia de conjuntos, identidad de conjunto, orden y orden parcial (estricto, transitivo y simétrico), pertenencia, identidad o criterios de identificación del conjunto, solución maximal o minimal y función selectiva o selección minimal. Luego, fueron presentados algunos elementos básicos de la aludida teoría de conjuntos para con base en esta presentación explicar las propuestas de Alchourrón y Bulygin en materia de cambio normativo a la luz de sus bases conceptuales conjuntistas. A modo de ejemplificación, se buscó mostrar cómo este tipo de análisis contribuye a explicar la teorización en materia de derogación.

73Por último, si durante las primeras décadas del siglo pasado la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mostró por qué el método axiomático es el modo más claro y preciso para dar una representación del mundo, las explicaciones sobre el cambio normativo aún tienen un inmenso ámbito de acción, el cual se podría encaminar a través de un mayor diálogo con una teoría axiomática de conjuntos. Quizá, un buen comienzo sería a través de la (re)lectura y análisis del Apéndice de Normative Systems aprovechando que, quizá, no ha sido discutido en igual medida que las otras partes de la misma obra.

–Agradecimientos.– Agradezco los consejos y las recomendaciones de Tuccio Lambretta, Diego Almonacid, Camila Matamala y Francisco Pérez formuladas a versiones previas del presente trabajo, junto con la amabilidad del profesor Bastián Viscarra, quien me permitió asistir en calidad de oyente al curso “Sistemas de Conjuntos” dictado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Austral de Chile. Asimismo, este trabajo se ha visto beneficiado por los comentarios y sugerencias de quienes lo arbitraron.

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Notes

1 Algunas de las distintas reconstrucciones teóricas están en los trabajos de Kelsen (1962), Mazzarese (1981), Hilpinen (1981), Guastini (1987), Mendonca (1993), y Aguiló (1996), entre otros.

2 Una excepción a esto está en Ratti (2013 y 2019).

3 Con la vastedad aludo a un amplísimo conjunto de autores y autoras que han dedicado una parte de su obra al análisis de las propuestas de Alchourrón y Bulygin, por ejemplo, Ricardo Caracciolo, Tecla Mazzarese, Pablo Navarro, María Cristina Redondo, José Juan Moreso, Jorge Rodríguez, Juan Ruíz Manero, Juan Pablo Alonso, Daniel Mendonca, Giovanni Battista Ratti, Riccardo Guastini, Pierluigi Chiassoni, Josep Maria Vilajosana, y Fernando Atria, entre muchos otros y otras.

4 Idénticas consideraciones en Alchourrón y Bulygin (1976). Como es ampliamente conocido, la distinción entre sistema y orden jurídicos deriva de la propuesta raziana de diferenciar entre sistemas momentáneos y no momentáneos (Raz 1980).

5 Alchourrón y Bulygin (1979: 67-71) sugieren también que la autoridad al momento de promulgar una nueva norma no solo debe consideran las consecuencias de la norma que se pretende promulgar, sino también de las normas preexistentes, es decir, establecer las consecuencias de las normas existentes, de la norma proyectada y de las que se derivan de ambos conjuntos. Un interesante análisis de estas propuestas en Redondo y Navarro (1990).

6 También, ver Alchourrón y Bulygin (1976). En relación con este punto Kristan (2017: 67 y ss) ha sugerido que sería igualmente posible sustraer ambas normas.

7 Más adelante Navarro (2005: 184) complementaria este estándar de racionalidad con consecuencias prácticas: «Algunas veces los legisladores no son conscientes de las consecuencias que se siguen de sus normas, y cuando advierten ciertos efectos perjudiciales o indeseables de sus normas, no es infrecuente que deroguen o enmienden la legislación original. Esto muestra que las consecuencias lógicas –incluso aquellas que el legislador no ha previsto– también pertenecen al sistema. En caso contrario, no tendría sentido derogar o modificar las normas originales».

8 Posteriormente, esta precisión (solo aquellos conjuntos de normas a los cuales pertenece, al menos, una norma expresamente formulada, pueden ser objeto de reconstrucción en término de sistemáticos) será denominada “cláusula de adecuación”, ver Moreso y Navarro (1993: 36).

9 Bulygin (1982: 66) lo dice con claridad más adelante: «It seems natural to asume that a norm, once derogated, ceases to be a member of a system; on the opposite view all legal sytems would be full of inconsistences, because when a legislature enacts a new statute the latter is almost always incompatible with some norms which it derogates».

10 A partir de lo anterior, los comentadores de Alchourrón y Bulygin han señalado que un Sj es un conjunto de normas vinculadas a una estructura, esto es, condicionadas por relaciones específicas definidas en esos conjuntos. Estas relaciones definen la estructura del sistema y proporcionan sus “criterios de pertenencia” (legalidad y deducibilidad). Si bien ambos criterios son empleados como criterios de identificación normativa, el criterio de legalidad además estructura relaciones dinámicas entre normas y sistemas. Por ejemplo, ver Caracciolo (1994: 48), Moreso (1997b: 8), Moreso y Navarro (1998: 276), y Moreso y Vilajosana (2004: 97). Además, ellos enfatizan que, para evitar la circularidad en la determinación de los elementos que integran un sistema, resulta necesario asumir dos presupuestos: (i) la existencia de normas independientes o sobernas, ver Redondo (2017); y (ii) debilitar la relación entre existencia de normas y su formulación en un lenguaje determinado para diferenciar entre normas formuladas y derivadas, las primeras son objeto de un acto expreso de promulgación y las segundas son consecuencias lógicas de las primeras, ver Caracciolo (1988: 31), y Moreso y Navarro (1993: 35-37).

11 Un desarrollo de estas ideas en el libro de Moreso y Navarro (1993).

12 La reconstrucción sistémica obtiene mayor precisión si se distingue entre Oj y orden estatal (Oe), entendiendo este último como una sucesión de Oj. No obstante, para establecer esta distinción se debe proponer un criterio de identificación de los Oj que integran un Oe, que no solo permita identificar sus normas independientes y dependientes dentro de los Sj, sino también diferenciar si dos Sj pertenecen al mismo Oj. Cuestiones que al exceder los propósitos de este trabajo solo son enunciadas, ver Caracciolo (1988: 19-20), Vilajosana (1995: 334), Moreso (1997a: 148), y Moreso y Navarro (1998: 278).

13 Si bien tomo como eje de la explicación a Alchourrón y Bulygin (1979), es posible encontrar explicaciones equivalentes en Alchourrón y Bulygin (1981) y Alchourrón (1982), entre otros de sus trabajos y dentro de sus comentadores en Navarro (1993: 389).

14 En algunos casos es posible remover solo una norma de cada conjunto rechazado para satisfacer el criterio de adecuación (selección), sin embargo, cuando los conjuntos son superpuestos, al realizar esta actividad, se pueden eliminar todas las normas del sistema.

15 A modo de recordatorio, las nociones de la teoría de conjuntos explicitadas con entrecomillado son: conjunto, familia de conjuntos, identidad de conjunto, orden y orden parcial (estricto, transitivo y simétrico), pertenencia, identidad o criterios de identificación del conjunto, solución maximal o minimal y función selectiva o selección minimal, entre otras.

16 Son ejemplos de este tipo de análisis McBride (2020) y Brower (2018), entre otros.

17 En esta línea, siguiendo a Ramsey (1926), para mostrar la diferencia entre los distintos análisis de la relación, puede resultar ilustrativo distinguir entre las paradojas lógicas o matemáticas, por un lado, y las paradojas lingüísticas o semánticas, por el otro. Mientras que las primeras surgen de consideraciones puramente matemáticas, las segundas surgen desde el lenguaje utilizado para hablar sobre matemática o lógica.

18 Una didáctica introducción a la teoría de conjuntos, en Halamos (1960).

19 En sentido estricto, sus propuestas no son axiomas sino esquemas axiomáticos, ya que permiten un tipo de sustitución general de fórmulas, es decir, no son solo una afirmación definida sino un esquema que permite formular múltiples afirmaciones, ver Suppes (1972).

20 Es del caso recordar que hay otras axiomatizaciones de teorías de conjuntos como: (i) Neumann-Bernays-Gödel (sistema BG); (ii) Russell y Whitehead (teoría de tipos); (iii) Quine; y (iv) Morse y Kelley.

21 En algunas presentaciones el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto, v.gr., ∅∈B (Cunningham 2016), y en otras se incluye mediante la definición de conjunto, entendido este como algo que tiene elementos o está vacío, ver Suppes (1972).

22 Hernández (1998: 11) sugiere que este axioma no es solo una propiedad lógica de la igualdad, sino más bien una propiedad no trivial de la pertenencia.

23 Este es un esquema porque permite producir axiomas o colecciones infinitas de proposiciones y su propósito es postular la existencia del conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada, los cuales pertenezcan a otro conjunto ya dado de antemano. Por ende, para especificar un conjunto no basta con dar una propiedad, sino también disponer de un conjunto a cuyos elementos puede aplicarse esa propiedad. Se evita así la paradoja de Russell, ver Hernández (1998: 11).

24 Se debe recordar que el conjunto vacío es miembro del conjunto potencia de cualquier conjunto y, además, cualquier conjunto es miembro de su conjunto potencia, en Suppes (1972).

25 La presentación de estos siete axiomas está basada en Hernández (1998: 10-19).

26 No se debe confundir la con la , porque la pertenencia es transitiva, pero la contención no y, a su vez, la contención es reflexiva, pero la pertenencia no.

27 Como sugiere Suppes (1972), en relaciones con más constituyentes, v.gr., en R = {(L1, L·3) (L2, L4)}, el dom(R) es (L1, L2) y rec(R) es (L3, L4).

28 Una versión preliminar de las ideas aquí presentadas se encuentra en Agüero-SanJuan (2015).

29 En este ejemplo, Alchourrón y Bulygin (1979) utilizan el símbolo Λ para representar el conjunto vacío, sin embargo, para efectos de mayor claridad he optado utilizar el previamente indicado: ∅.

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References

Electronic reference

Sebastián Agüero-SanJuan, “Una teoría conjuntista de la derogación: sistemas y conjuntos”Revus [Online], 49 | 2023, Online since 30 June 2023, connection on 02 October 2023. URL: http://journals.openedition.org/revus/9589; DOI: https://doi.org/10.4000/revus.9589

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About the author

Sebastián Agüero-SanJuan

Associate Professor, Faculty of Law, Austral University of Chile

Address: Campus Isla Teja s.n. / Valdivia-Chile

E-mail: sebastian.aguero@uach.cl

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