• 1 [Lucas, 1883, 116].
• 2 [Lucas, 1883, 101-119].
• 3 [Auvinet, 2017b, 44].

1L’utilisation du terme « mosaïste » dans le titre de cette contribution renvoie explicitement aux « mosaïques de Laisant1 », présentées par Édouard Lucas sous cette appellation dans les dernières pages d’une récréation mathématique intitulée « Le jeu de parquet ». Les jeux dits de parquet, ou de mosaïques, sont particulièrement représentés dans les pratiques ludiques de la Belle Époque (des années 1870 à la Première Guerre mondiale) sous des formes différentes que nous présentons plus loin. Lucas y consacre un chapitre entier dans le second volume2 de ses Récréations mathématiques de 1883, mettant en lien ces jeux et les mosaïques de Laisant. Ces dernières constituent en réalité des prolongements originaux, fondés sur une « pratique visualisante des mathématiques3 », à des questions soulevées dans le domaine des mathématiques discrètes à la fin du xix^e siècle. C’est à travers cet exemple particulier de jeu de parquet que nous souhaitons illustrer l’intérêt que porte Laisant aux récréations mathématiques, notamment à celles de son ami Lucas, illustrant son engagement pédagogique et mathématique.

• 4 [Auvinet, 2017b, 47].
• 5 [Auvinet, 2017b, 44].

2« Les liens d’amitié que Laisant tisse avec Lucas sont indissociables de ses travaux en mathématiques discrètes. Laisant est admiratif devant la première intervention à l’AFAS de Lucas […]4 », et ce dernier fait partie des sources d’inspiration de Laisant (avec Jean Macé, Charles Méray et Carlo Bourlet, entre autres). Les deux hommes partagent notamment les façons de représenter visuellement des concepts de mathématiques discrètes avec des jeux et des dessins (voir chap. 11). C’est avec le développement de ses travaux sur la géométrie des quinconces à la fin des années 1870 que Lucas donne une nouvelle orientation à son œuvre mathématique, en s’appuyant explicitement sur de nombreuses visualisations, qui deviendront également caractéristiques des travaux de Laisant5.

• 6 [Laisant, Lemoine, 1894, v], [Auvinet, 2017b, 62-63].
• 7 [Laisant, Lemoine, 1894, vi].
• 8 [Laisant, Lemoine, 1894, 215].
• 9 [Barbin, 2017].
• 10 [Rougetet, 2017].
• 11 [Auvinet, 2017b, 65].
• 12 [Auvinet, 2017b, 62].

3L’intérêt prononcé pour les jeux et les récréations mathématiques développé par Laisant se manifeste à travers de nombreuses publications et actions en lien avec des problèmes récréatifs. Par exemple, en 1894, Laisant crée avec Émile Lemoine L’Intermédiaire des mathématiciens, un journal inspiré de L’Intermédiaire des chercheurs et des curieux qui présente une approche différente des autres journaux mathématiques de l’époque en fournissant aux lecteurs des discussions ouvertes sur des sujets variés avec leurs solutions et des indices bibliographiques6. Certains de ces sujets « se rapportant aux Sciences mathématiques, depuis les plus élémentaires, jusqu’aux plus arrivées7 » traitent de récréations mathématiques et reprennent explicitement des développements de Lucas8. Par ailleurs – toujours en 1894 – Laisant fonde la Société des sciences récréatives, présidée par Jules Arnous de Rivière, l’un des meilleurs joueurs d’échecs français du xix^e siècle, aux côtés de MM. Falguière, J. Quinaud, Th. Berger et A. Béligne. L’association souhaitée a pour objet l’étude scientifique d’amusements constitutifs des sciences récréatives de la fin du xix^e siècle (jeux de hasard, carrés magiques9, jeux de combinaisons10, billard, etc.) et l’objectif principal est de donner le goût à la science et de la diffuser à un plus large public11. Malheureusement le projet n’aboutit pas et la Société se dissout rapidement. Enfin, entre 1898 et 1906, Laisant s’engage en tant que secrétaire du Répertoire bibliographique des sciences mathématiques pour « […] maintenir les sections “Problèmes sur les jeux d’échecs, de dominos, etc.” (Q4b) et “Problèmes analogues divers” (Q4c) en bonne place dans la hiérarchie complexe du répertoire, avant qu’elles ne soient ensuite relayées dans la section X10 “Jeux et récréations mathématiques”12 », montrant l’intérêt qu’il porte aux problèmes récréatifs.

• 13 [Auvinet, 2017a, 176].
• 14 [Auvinet, 2011, 491], [Lamandé, 2011].

4L’investissement de Laisant dans de telles initiatives s’explique, d’une part par son attachement à appréhender et à enseigner les mathématiques comme une science expérimentale (voir chap. 10) qui peut faire l’objet de manipulations avec l’usage de matériel simple pour rendre concrètes les notions abordées tel que « bâtons de bois pour l’addition, pièces de puzzles ou d’échiquier, [manipulation] qui rend tangibles les notions sous-jacentes13 » et, d’autre part, par son implication dans un mouvement d’éducation populaire dès le milieu des années 1890 et qui se poursuit au début du xx^e siècle14.

• 15 [Décaillot, 2002].
• 16 [Guitart, 2017].
• 17 [Barbin, 2017].

5Plus particulièrement, Laisant est cité dans les 4 tomes de Récréations mathématiques de Lucas, notamment pour les récréations suivantes : la géométrie du tissage15 et le jeu du Taquin16 dans le tome 1 en 1882, le jeu de parquet et de mosaïques dans le tome 2 en 1883, l’arithmétique en boules et les réseaux et dominos17 dans le tome 4, publié à titre posthume en 1894. Intéressons-nous à présent plus spécifiquement au jeu de parquet.

• 21 [Boutin, Rougetet, 2022].

8Les couleurs peuvent être multiples : certains jeux présentent uniquement des pièces noires et blanches, d’autres plusieurs couleurs qui peuvent être unies, d’autres encore sont des carrés divisés en deux couleurs par leur diagonale (on appelle ces pièces des pavés mi-partis)21. La boîte en elle-même permet de former le cadre dans lequel les mosaïques seront créées (Fig. 4 et Fig. 5).

• 27 [Ozanam, 1778, 103].

10Dès la fin du xviii^e siècle, on peut trouver des références aux « jeux de parquet » dans des ouvrages comme le Mémoire sur les jeux de Constant d’Orville en 1779, ou encore le Dictionnaire des jeux familiers ou des amusemens de société de l’An V de la République en 1796-1797. Le terme apparaît également au même moment dans la réédition posthume de 1778 des Récréations mathématiques et physiques de Jacques Ozanam, qui décrit clairement ce genre de jeu dans le problème intitulé « Des combinaisons de quarreaux mi-partis de deux couleurs par la diagonale » : « On en a fait du moins l’objet d’un petit jeu appelé le Jeu du parquet, dont on trouve l’instruction chez les tabletiers. C’est une petite table garnie d’un rebord, & capable de recevoir 64 ou 100 petits quarrés mi-partis, dont on cherche à faire des combinaisons agréables27 ». Il semblerait néanmoins qu’à ce jour personne n’ait trouvé de telles boîtes datant du xviii^e siècle. Le jeu de parquet le plus récent dont nous disposons date des années 1870, probablement d’origine allemande puis décliné dans d’autres pays (Fig. 9). À la fin du xix^e siècle, Charles Watilliaux, l’éditeur français de jeux le plus célèbre de la Belle Époque, proposait plusieurs modèles de boîtes : les unes étaient nommées « Jeux de parquet » (Fig. 3), les autres « Jeux de Mosaïque » ou de « Parquet en cubes de couleur ».

• 29 [Boutin, 2019a].

11En 1889, un exemplaire de jeu de parquet entre au patrimoine du Conservatoire national des arts et métiers (Fig. 5), grâce à Lucas et à sa collaboration avec les éditeurs scientifiques Chambon & Baye pour la collection des jeux scientifiques qu’ils présentent à l’Exposition universelle de Paris la même année, au côté de la « Tour d’Hanoï », de l’« Arithmétique diabolique », du « Baguenaudier », de l’« Icosagonal » et de la « Fasioulette ». Le sixième et dernier jeu scientifique de la série s’intitule « Les pavés florentins du Père Sébastien – Jeux de mosaïques pour les enfants, les menuisiers, les ébénistes et les paveurs en chambre qui ont ou n’ont pas de demoiselles », mais le fascicule relatif au jeu semble introuvable29 (bien qu’annoncé dans l’index bibliographique des Récréations mathématiques de Lucas).

• 30 [Lucas, 1883, 101-119].
• 31 [Lucas, 1883, 104].

12En 1883, paraît le second volume des Récréations mathématiques de Lucas dans lequel on trouve la récréation intitulée « Le jeu de parquet30 ». À l’instar de l’ensemble des récréations présentées par Lucas dans ses ouvrages, celle sur le jeu de parquet s’ouvre sur une note historique qui informe le lecteur de l’ancienneté des mosaïques, de « la grande habileté, de l’expérience et une certaine connaissance des nombres31 » qu’elles requièrent et des localisations où il est possible d’en observer (Herculanum, Pompéi, Florence).

• 32 [Lucas, 1883, 108].

13Lucas s’appuie sur les travaux antérieurs en lien avec l’analyse des pavés mi-partis pour déterminer le nombre de combinaisons qu’il est possible de faire pour créer des pavages de un, deux, trois, etc. pavés : le « Mémoire sur les combinaisons » envoyé par le Père Sébastien Truchet à l’Académie Royale des Sciences en 1704 et la Méthode pour faire une infinité de dessins différents, avec des carreaux mi-partis de deux couleurs par une diagonale éditée par le Père Dominique Douat en 1722. Lucas s’arrête au nombre de dispositions qu’on peut former en créant un pavage de 64 carreaux (8x8), cette dernière configuration amenant tout de même à 2¹²⁸dispositions possibles. Il présente ensuite différentes manières « d’obtenir des dessins que l’on peut reproduire dans la parqueterie32 ».

• 34 [Lucas, 1883, 108].
• 35 [Lucas, 1883, 108], en italique dans le texte original.

14Dans un premier temps, en numérotant 1, 2, 3, 4 (Fig. 10) les quatre orientations possibles pour un pavé mi-parti, le mosaïste peut procéder par « juxtaposition », en reproduisant, les uns à côté des autres, des rectangles égaux à un premier initialement construit, et contenant les carreaux dans le même ordre. « Pour désigner ce carrelage, il suffira de connaître la notation numérique du rectangle élémentaire34 ». Ensuite, en remarquant que les carreaux 1 et 3 sont opposés (les couleurs sont inversées, comme pour les carreaux 2 et 4), Lucas précise qu’au lieu « […] d’assembler des carrés ou des rectangles élémentaires par simple juxtaposition, on peut les assembler par opposition des lignes et des colonnes35 ».

• 36 [Lucas, 1883, 109].

15Ensuite, « pour obtenir des dessins présentant des lignes diagonales36 », un jeu d’écriture consiste à présenter sur une première ligne, dans un ordre quelconque, les chiffres 1, 2, 3, 4, puis à faire une permutation circulaire à chaque ligne, de sorte qu’un même chiffre se retrouve aligné en diagonale (Fig. 11 et Fig. 12).

• 40 [Lucas, 1883, 113].

18Ces juxtapositions diverses et variées sont détaillées par Lucas pour montrer au lecteur « qui s’exercera dans l’assemblage de ces carreaux40 » la variété infinie et la symétrie des dessins que l’on peut obtenir pour la construction des mosaïques et générer des parquets de toute sorte, par une pratique ludique. Lucas termine ensuite sa récréation par quelques pages au sujet des parquets anallagmatiques et des études récentes qui en ont été faites, notamment par Laisant.

• 41 [Lucas, 1883, 113].
• 42 [Laisant, 1880, 70].

19Dans un parquet (ou échiquier) anallagmatique (qui signifie seulement « sans changement »), au lieu d’assembler des carrés mi-partis de deux couleurs, sont assemblés des carrés de deux ou plusieurs couleurs (chaque carré étant de couleur unie). La définition donnée par Lucas est la suivante : « L’échiquier anallagmatique est un carré formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que, pour deux lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre de variations de couleurs [terme à terme verticalement, resp. horizontalement], d’une colonne à l’autre, soit toujours égal au nombre de permanences41 ». Il existe une analogie entre l’échiquier anallagmatique et les formules qui donnent la décomposition du produit de sommes de carrés en somme de carrés, notamment dans l’alternance des signes. Cette analogie fut remarquée par Lucas en 1877 lors du congrès annuel de l’Association française pour l’avancement des sciences (AFAS) au Havre, où il fit une communication « Sur l’échiquier anallagmatique de M. Sylvester », que ce dernier avait présenté en 1865 en lien avec les variations de signes dans la suite des coefficients d’une équation algébrique. En 1879, Laisant prolonge l’intervention de Lucas et propose un nouveau procédé, qui « paraît fort simple42 », pour construire les échiquiers anallagmatiques de 2ⁿ cases de côté. Il s’agit de construire les échiquiers de taille supérieure à partir des échiquiers complémentaires de taille inférieure, deux échiquiers étant complémentaires s’ils sont de même taille et si les couleurs des cases sont inversées. Par exemple, dans le 2^e échiquier de 4x4 cases de la figure 15, on retrouve l’échiquier de 2x2 cases en haut à gauche (et en bas à droite) et son complémentaire en haut à droite (et en bas à gauche).

• 44 [Auvinet, 2011, 324].

20C’est en 1881 que Laisant « s’empare véritablement de l’outil échiquier pour représenter la loi de développement d’un produit algébrique44 », en réponse au problème initialement posé par Eugène Catalan l’année précédente dans la Nouvelle correspondance mathématique : « Dans le développement du produit

• 45 [Catalan, 1880, 143].
• 46 [Laisant, 1882, 87].

quel est le signe du n^e terme45 ? » Laisant y répond avec une démarche combinatoire et par une représentation avec les échiquiers, concluant que : « Cela donne lieu à des dessins mosaïques assez curieux et symétriques46. » C’est la première fois qu’il utilise le terme de mosaïque, et Lucas reprendra cette terminologie dans sa récréation sur le jeu de parquet en 1883 (Fig. 16).

• 48 [Auvinet, 2017b, 51].

21La réécriture par Laisant du problème posé par Catalan « […] surprend par son originalité48 ». Dans le développement du produit

• 49 [Auvinet, 2017b, 52].
• 50 [Décaillot, 2002, 184-185, 205].

donnant la suite des signes successifs des termes du produit. « Mais il se dote aussi d’un motif visuel frappant pour répondre à la question [de Catalan]49 » : pour un développement de p + 1 facteurs, il construit un échiquier de côté 2^p cases, où chaque case blanche correspond au signe + et chaque case noire au signe −, comme le montre la figure 15. Cette traduction du problème permet à Laisant de le généraliser au développement de (1 + i₁ + i₂ + i₃)², où 1, i₁, i₂, et i₃ sont les racines quatrième de l’unité, et de construire les deux mosaïques de dimension 16 de la figure 16, l’une générée à partir de l’échiquier de dimension 4 construit selon les règles du groupe multiplicatif des racines quatrièmes de l’unité (à gauche) et l’autre selon les règles du groupe de Klein (à droite)50.

• 51 [Hadamard, 1893a].
• 52 [Hadamard, 1893b, 244].

22Les contributions sur les échiquiers anallagmatiques se poursuivent ensuite avec les travaux de Jacques Hadamard en 1893, lorsqu’il recherche, parmi les matrices carrées dont les éléments complexes ont un module inférieur à 1, celles dont le déterminant est maximum (en module)51. Quand la matrice est réelle, l’obtention d’un déterminant maximum impose en effet que les éléments soient + 1 ou – 1, « et cela de telle façon que, considérant deux lignes quelconques et comparant les éléments correspondants, il y ait autant de concordances que de discordances de signes52 ».

• 53 [Lucas, 1883, 103-104].

23Lucas, parmi les auteurs cités précédemment répertoriant les jeux de parquet avec d’autres amusements auxquels s’adonnaient la noblesse ou les personnes intéressées par des questions de mathématiques récréatives, semble être l’un des premiers à mentionner explicitement l’intérêt pédagogique qu’ils présentent. Il reprend les propos de Louis Becq de Fouquières dans son livre de 1879 sur Les jeux des anciens quand il présente le « jeu du mosaïste » et explique qu’il faut soumettre de la gymnastique intellectuelle aux enfants et les exercer dès le plus jeune âge à une foule de petits calculs à leur portée53,

• 54 [Auvinet, 2017a].

24Laisant ne présente pas les pavés mi-partis et les jeux de parquet dans son Initiation mathématique de 1906 (ni dans les éditions ultérieures), cette dernière formant un ensemble de leçons qui offre aux enfants entre 4 et 11 ans un enseignement stimulant leur curiosité naturelle, grâce à l’utilisation nouvelle de ressources mathématiques telles que les récréations mathématiques, fortement appuyée sur la représentation visuelle (graphiques, quadrillages) d’objets familiers et la manipulation de matériel54. Nous renvoyons au chapitre de Marc Moyon pour une présentation détaillée de cet ouvrage et de ses objectifs pédagogiques (voir chap. 11). En revanche, un matériel spécifique, approprié aux méthodes indiquées par Laisant dans l’Initiation mathématique, sera inventé par Jacques Camescasse et publié par Hachette à partir de 1910 : « L’Initiateur mathématique, jeu de petits cubes », permettant la réalisation de mosaïques.

• 55 [Camescasse, 1916]. La lettre est également reproduite dans [Laisant, 1932, 51].

25Camescasse, espérantiste et franc-maçon comme Laisant, propose un matériel spécifique pour la pratique effective de l’Initiation mathématique, vendu dans une boîte portant le nom de « L’Initiateur mathématique, jeu de petits cubes » (Fig. 17), comportant 1 200 petits cubes dont 600 rouges et 600 blancs, et 114 réglettes pour assembler ces cubes entre eux (Fig. 18). Un dépliant en trois volets présentant un schéma de montage cube-réglette (Fig. 19) accompagne la boîte, ainsi qu’une notice d’une trentaine de pages dont la préface est une reproduction d’une lettre très élogieuse de Laisant adressée à Camescasse pour le remercier d’avoir comblé « une lacune » concernant le matériel nécessaire à son Initiation mathématique car, écrit-il : « Vos cubes, par leurs assemblages, c’est l’“Initiation Mathématique” mise entre les mains des enfants.55 »

• 59 [Camescasse, 1916, 17].

26Les applications en question sont essentiellement portées sur la compréhension du système décimal (cf. chap. 11) mais s’intéressent en premier lieu aux « […] dessins, carrelages, mosaïques, construction d’objets divers […] conformes au programme des écoles maternelles59 ». « L’Initiateur mathématique » se prête en effet aux jeux de mosaïques, comme le montre la planche donnée à la fin de la notice d’accompagnement (Fig. 20). Mais les petits cubes peuvent également servir à la justification d’égalités numériques – comme les identités remarquables – par leur visualisation géométrique (Fig. 21) ou à se familiariser avec l’abstraction, en imaginant un volume de 1 m³ à partir d’un tableau de 1 m² composé de 100x100 petits cubes (Fig. 22).

• 63 [Boutin, 2019b, 158].

27Par la diversité des applications mathématiques proposées pour des enfants d’école maternelle mais aussi de primaire, Camescasse montre que cet « outil polymorphe63 » constitue un matériel pédagogique pouvant à la fois être instrument de calcul, mais aussi source de jeux, notamment de mosaïques.

• 64 [Laisant, 2015, 7].

28Dans l’avant-propos de son Initiation mathématique, Laisant explique que : « Dans les Récréations mathématiques, le mot le dit assez, il suffit d’appliquer à des sujets amusants, jeux divers, combinaisons, etc. les théories mathématiques déjà connues […] » et qu’« ici, c’est l’inverse ; nous nous servirons de questions amusantes comme moyen pédagogique, pour attirer la curiosité de l’enfant et ainsi arriver à faire pénétrer dans son esprit, sans efforts imposés, les premières notions mathématiques les plus essentielles64 ». Le jeu de parquet présenté dans cette contribution relève de cette bivalence : issu d’une pratique ludique avérée dans la société française à la Belle Époque, il devient objet de questionnement dans une communauté de pratiques des mathématiques discrètes avec les développements de Laisant sur les échiquiers anallagmatiques, mais il se révèle également être un outil pédagogique pertinent pour manipuler et amener à la réalisation pratique de principes éducatifs, comme le montre « L’initiateur mathématique » de Camescasse, valorisé par Laisant. Ainsi, les jeux de mosaïques et les images présentées ici constituent des documents historiques intéressants pour situer l’activité de Laisant et souligner son engagement pédagogique, mathématique, mais également « populaire ».