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Partie I. Les réseaux du mathématicien Laisant : théories et collaborations

Chapitre 4. Une collaboration de Charles-Ange Laisant. L’algèbre et l’arithmétique graphiques de Gabriel Arnoux

Évelyne Barbin et René Guitart
p. 51-63

Texte intégral

1Gabriel Arnoux a connu Charles-Ange Laisant au congrès de 1891 de l’Association française pour l’avancement des sciences (AFAS) à Marseille. Il semble que ce soit lui, qui soit allé au-devant du mathématicien et que celui-ci lui ait accordé aussitôt de l’intérêt. Leurs rencontres se poursuivront dans le réseau de l’AFAS, où échangent mathématiciens, enseignants et passionnés de mathématiques. Laisant devient l’interlocuteur privilégié d’Arnoux et leurs interactions s’inscrivent jusque dans les écrits de l’un et de l’autre. Il fait lire l’Arithmétique graphique d’Arnoux à Gaston Tarry, fonctionnaire à Alger et habitué des congrès de l’AFAS, ce qui jouera un grand rôle pour l’orientation des travaux de Tarry et marquera le début d’une relation entre ces deux amis de Laisant.

Biographie et travaux de Gabriel Arnoux

2Arnoux est né en 1831, il est donc de dix ans l’aîné de Laisant. À sa mort, en 1913, celui-ci écrit, dans L’Enseignement mathématique, la meilleure notice biographique que nous puissions espérer pour notre propos.

Une biographie de Gabriel Arnoux par Laisant

  • 1 [Laisant, 1913, 338].
  • 2 [Laisant, 1913, 338].

3Arnoux est né aux Mées (Basses-Alpes) le 23 mars 1831. Admis en 1846 à l’École Navale, il abandonne la carrière maritime en 1858 pour raisons de santé. Il se retire dès lors dans son pays natal, où il est resté presque jusqu’à sa mort, s’occupant de divers travaux, puis consacrant ses loisirs à des recherches mathématiques, publiées dans les comptes rendus de la Société scientifique des Basses-Alpes, et surtout ceux de l’AFAS. Laisant précise : « Mais son œuvre principale, publiée sous le titre général : Essais de psychologie et de métaphysique positives ; arithmétique graphique, se compose de quatre volumes, publiés à d’assez longs intervalles1 ». Il dresse aussi un portrait intellectuel de son ami2 :

La puissance d’invention d’Arnoux était prodigieuse ; mais il lui fallait pour ainsi dire concrétiser les objets de ses recherches pour en saisir les rapports. Il mettait une sorte de coquetterie à se déclarer exclusivement visuel et à proclamer son incapacité à comprendre le langage algébrique, pour lequel, disait-il, il éprouvait une sorte de phobie. […]. Le terme de Métaphysique positive représentait à ses yeux une science des raisonnements, s’appuyant sur l’observation et l’expérience, mais pouvant s’appliquer ensuite à toutes les recherches dont est capable l’humanité. À prendre les mots dans leur sens habituel, c’était une métaphysique-antimétaphysique.

Fig. 1. Les rochers des Mées appelés « Pénitents » 3.

Fig. 1. Les rochers des Mées appelés « Pénitents » 3.
  • 4 [Arnoux, 1889a, 82].

4Arnoux a publié deux ouvrages à Digne en 1889 et 1890, dont le premier s’intitule Le cas général de l’hypoténuse. Il présente plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore à la Société scientifique des Basses-Alpes en 1889, et salue la démonstration indienne qui peut se résumer à « Voyez »4. Il a pu inspirer Laisant dans son Initiation mathématique de 1908 (voir chap. 10). Le second ouvrage est le premier des Essais de psychologie et de métaphysique positives et il s’intitule L’algèbre graphique. Quatre autres ouvrages sont publiés ensuite par Gauthier-Villars, sans doute avec l’aide de Laisant, dont les trois premiers sont dédiés à l’arithmétique graphique : Arithmétique graphique. Les espaces arithmétiques hypermagiques en 1894, Arithmétique graphique. Introduction à l’étude des fonctions arithmétiques en 1906 et Arithmétique graphique. Les espaces arithmétiques ; leurs transformations en 1908. Le quatrième ouvrage est publié en 1911 sous le titre Essai de Géométrie analytique modulaire à deux dimensions.

Arnoux à l’Association française pour l’avancement des sciences

5L’AFAS a été fondée en 1872 et elle est reconnue d’utilité publique en 1876. Elle met en avant, dès ses débuts, des principes qui sont toujours d’actualité : rassembler des spécialistes de toutes disciplines, s’ouvrir au monde industriel, informer le public5 ». À l’époque, les intervenants aux congrès sont ou non des scientifiques de profession et ils sont regroupés en « sections » correspondant à leurs disciplines de prédilection. Ces congrès représentent pour Arnoux un lieu d’émulation et de reconnaissance. Il a surtout publié dans leurs Comptes rendus, qui paraissent en deux parties, un ou deux ans après leur tenue. De 1885 à 1909, ses quatorze interventions portent sur trois thèmes : les carrés magiques pour les premier et dernier congrès, l’algèbre graphique, pour celui de 1891, et l’arithmétique graphique pour tous les autres, de 1896 à 1905 (Tab. 1).

Tab. 1. Les interventions d’Arnoux dans les congrès de l’AFAS.

Tab. 1. Les interventions d’Arnoux dans les congrès de l’AFAS.
  • 6 [Arnoux, 1886, 94].
  • 7 [Arnoux, 1889a, 77-78].

6Lors de son premier congrès, Arnoux a traité des « carrés de magie diverse6 » en donnant des échantillons d’une « méthode générale », qu’il a ainsi présentée dans une note d’un Bulletin de la Société scientifique et littéraire des Basses Alpes de 18897 :

Ainsi Fermat et bien d’autres mathématiciens, après lui, ont étudié la question des carrés magiques, sans pouvoir la résoudre, en employant toutes les ressources de l’analyse, ressources d’une puissance inouïe. Je suis prêt à donner un procédé pour construire des espaces hypermagiques à un nombre quelconque de dimensions à la portée des enfants de l’école primaire, et l’hypermagie est à la magie ce qu’est un homme dans la force de l’âge par rapport à un enfant au maillot.

  • 8 [Barbin, 2017b].
  • 9 [Barbin, 2017a, 122].

7Les carrés magiques sont des carrés de n2 cases, qui contiennent chacun des nombres 1, 2, … , n2 de telle sorte que la somme de tous les nombres sur une ligne, sur une colonne ou sur les deux diagonales du carré soit toujours la même. Ces carrés sont recherchés dans le Moyen Âge oriental et les mathématiciens arabes ont donné des algorithmes pour en produire, puis ils intéressent des mathématiciens du xviie siècle, comme Pierre de Fermat, et du siècle suivant, comme Leonhard Euler. Avec aussi leurs aspects récréatifs, ils connaissent un engouement à la fin du xixe siècle8. En 1885, l’arithméticien et auteur de Récréations mathématiques Édouard Lucas trouve des manuscrits originaux et inédits de Fermat sur les carrés magiques, dont il propose une « restauration »9. Or Lucas est présent lors de l’exposé d’Arnoux au congrès de l’AFAS et il a pu ne pas apprécier ses propos présomptueux, qui semblent s’adresser à lui. L’échange qui a suivi a pu laisser un goût amer à Arnoux, ce qui expliquerait son absence aux congrès pendant six ans.

  • 10 [Arnoux, 1894, vii].

8Après cette interruption, Arnoux participe au congrès de l’AFAS de Marseille de 1891, où il fait la connaissance de Laisant, un ami et collaborateur de Lucas (voir chap. 3) qui va s’intéresser dès lors à ses travaux10. À ce congrès, il présente un travail sur l’algèbre graphique, mais il reviendra sur les carrés magiques dans le cadre de son arithmétique graphique.

L’algèbre graphique d’Arnoux

  • 11 [Arnoux, 1889a, 77].

9Dans la suite de la note citée plus haut, Arnoux explique comment il est passé de l’arithmétique à l’algèbre11 :

Encouragé par cette étude arithmétique, qui comprend une très belle théorie, car on n’obtient pas de grands résultats sans une théorie d’une force équivalente, j’ai porté mes études sur l’algèbre, et là j’ai attaqué le problème de la résolution des équations. Je puis, par des procédés toujours à la portée des élèves des écoles primaires, résoudre approximativement les équations algébriques de n’importe quel degré et je suis prêt à exposer sur l’algèbre des idées qui simplifieraient au plus haut point la compréhension de cette science réputée si ardue et permettraient de la faire entrer dans l’instruction élémentaire.

10Une résolution graphique des équations, proposée par le Capitaine Lill, est déjà parue dans les Nouvelles annales mathématiques quelque vingt ans plus tôt.

La résolution graphique des équations du Capitaine Lill

11Lill associe à une équation une ligne polygonale à angles droits dont les côtés ont pour longueurs les valeurs absolues des coefficients de l’équation et tournant à gauche ou à droite selon l’alternance ou non de leurs signes. Par exemple, pour x3 – bx2 + cx – d = 0, avec b, c, d trois nombres positifs, il construit la ligne polygonale OABCK, telle que :

OA = 1, AB = b, BC = c et CK = d.

  • 12 [Lill, 1868, 360].

12Il explique que si une ligne polygonale rectangulaire OA’B’C’, inscrite dans la précédente, est telle que C’ coïncide avec K, alors AA’ est une racine de l’équation. Ce qui se démontre par similitude des triangles rectangles de la figure (Fig. 2)12.

Fig. 2. La résolution graphique de Lill.

Fig. 2. La résolution graphique de Lill.

L’algèbre graphique d’Arnoux au congrès de l’AFAS de 1891

  • 13 [Arnoux, 1889b, 190].

13Arnoux présente son algèbre graphique à la Société scientifique et littéraire des Basses-Alpes en mai 1889 en écrivant que « la graphie fait entrer l’analyse mathématique dans les sciences expérimentales, ce qui a une portée immense tant au point de vue de la découverte qu’à celui des vérifications13 ». Sa construction du graphique associé à un polynôme est reprise dans L’algèbre graphique de 1890, puis au congrès de l’AFAS de Marseille de 1891 de manière plus brève et plus concise.

  • 14 [Arnoux, 1891, 244].

14Arnoux appelle « latère, un déplacement rectiligne considéré au double point de vue de sa longueur et de sa direction [et] une ligne polygonale est un n. latère14 ». La ligne ABC est un « 2. latère » qui représente un polynôme du premier degré :

(AB = A0) x1 + (BC = A1)x0.

15Il poursuit la représentation des polynômes par des « multiplications » de 2. latères (Fig. 3). Ainsi, la ligne polygonale rectangulaire ABDE représente le polynôme du second degré

(AB = A’0) x2 + (BD = A’1) x+ (DE = A’2)x0.

  • 15 [Arnoux, 1891, 246].

Fig. 3. La multiplication des 2. latères ABC et ACE15.

Fig. 3. La multiplication des 2. latères ABC et ACE15.

16Il considère un polynôme du cinquième degré tel que la ligne polygonale

ABCDEFG =

A0x5 + A1x4 + A2x3 + A3x2 + A4x1 + A5x0.

corresponde à la présentation du polynôme sous la forme que nous appelons aujourd’hui le schéma de Ruffini-Horner :

((((A0x + A1)x + A2)x + A3) + A4)x + A5x0.

  • 16 [Arnoux, 1891, 247].

17Il « démontre graphiquement16 » qu’alors une ligne polygonale rectangulaire AKLMNG, inscrite dans la précédente, correspond à un des facteurs du quatrième degré du polynôme et que la ligne polygonale ABK sera son multiplicande du premier degré (Fig. 4).

Fig. 4. La factorisation graphique d’un polynôme du 5e degré.

Fig. 4. La factorisation graphique d’un polynôme du 5e degré.
  • 17 [Arnoux, 1889b, 280].
  • 18 [d’Ocagne, 1918, 184-195].

18Arnoux commentait sa méthode en 1889 en écrivant : « la traduction de la graphie en symbolie et réciproquement se fait d’elle-même, sans aucune aide. Pas de cerveau qui ne puis comprendre. C’est la dÉmocratisation de l’algÈbre17 ». Les méthodes graphiques de Lill et d’Arnoux seront exposées par Maurice d’Ocagne dans son Cours de géométrie18 de 1918.

  • 19 [Arnoux, 1889b, 215].

Fig. 5. Les facteurs successifs d’un polynôme dans l’exposé de 188919.

Fig. 5. Les facteurs successifs d’un polynôme dans l’exposé de 188919.
  • 20 [Poincaré, 2007, 12].

19Henri Poincaré fait référence au travail d’Arnoux dans une lettre à Henri Becquerel20 :

J’ai lu le travail du Ct Denis qui contient des choses intéressantes. Je ne crois pas qu’il puisse être publié sous sa forme actuelle ; il serait facile de le rendre plus court et plus clair. […]
Mais il y a autre chose : M. Arnaud ou en tout cas un M dont le nom commence par un A a publié dans le congrès de l’AFAS, en 1889 je crois un mémoire où il y a quelque chose d’analogue. Il faudrait le lire et le citer.

  • 21 [Deny, 1905, 196].

20Cette lettre doit être postérieure à septembre 1891, date à laquelle Arnoux expose devant l’AFAS. Le Commandant L. Deny (et non Denis), dont il est question ici, publiera en 1905 dans les Nouvelles annales de mathématiques une « Note sur la représentation des polynômes algébriques ». Il y cite les écrits de Lill et d’Arnoux, que Laisant lui a signalé et qu’il veut rendre moins tâtonnants en concevant « la base d’une sorte d’algèbre21 ».

L’appareil d’Arnoux de 1893

  • 22 [Arnoux, 1893].

21Arnoux est devenu membre de la Société Mathématique de France (SMF) en juin 1893 grâce au parrainage de Laisant et d’Ocagne. Cette année-là, il présente dans le Bulletin de cette Société un appareil pour décomposer un polynôme22, une fois obtenu « le représentant graphique » de ce polynôme présenté dans son Algèbre graphique de 1890.

22Supposons que le polynôme soit représenté par la ligne polygonale rectangulaire OABCK. L’instrument est composé d’équerres qui peuvent glisser les unes sur les autres. Il suffit de placer l’extrémité de la première équerre, puis d’ajuster les suivantes de sorte que la dernière équerre passe par K. La ligne polygonale obtenue OA’B’K correspond alors à un polynôme qui est facteur du polynôme de départ et AOA’ correspond au multiplicande (Fig. 6).

Fig. 6. L’instrument pour factoriser un polynôme d’Arnoux.

Fig. 6. L’instrument pour factoriser un polynôme d’Arnoux.

L’arithmétique graphique d’Arnoux

  • 23 [Arnoux, 1894, vi].
  • 24 [Arnoux, 1906, vii].
  • 25 [Arnoux, 1908, v].

23Les ouvrages d’Arnoux sur l’arithmétique graphique font l’objet de nombreuses interactions avec Laisant. Celui-ci écrit, avant même la publication du premier ouvrage en 1894, un article dans le Bulletin de la SMF sur les principes de la méthode d’Arnoux. Puis Arnoux et Laisant exposent ensemble, au congrès de l’AFAS de 1900 à Paris, des applications de la méthode aux congruences. Enfin, Laisant expose en 1906 dans la revue L’Enseignement mathématique un théorème figurant dans l’ouvrage d’Arnoux de 1906 (Tab. 2). Les trois articles sont examinés ci-après. De son côté, Arnoux cite Laisant dans chaque préface de ses ouvrages : en 1894 parce que « Laisant a prêter son concours à la rédaction23 », en 1906 parce que le nom de l’auteur devrait être également Charles-Ange Laisant24 et en 1908, car l’ouvrage « a été fait comme les précédents avec la collaboration de Laisant25 ».

Tab. 2. Les interactions entre Arnoux et Laisant sur l’arithmétique graphique.

Tab. 2. Les interactions entre Arnoux et Laisant sur l’arithmétique graphique.

La méthode de M. Arnoux par Laisant dans le Bulletin de la SMF de 1894

  • 26 [Laisant, 1894, 28].

24Au début de son article de 1894 dans le Bulletin de la SMF, « Principes de la méthode de M. Arnoux concernant l’étude des espaces arithmétiques hypermagiques », Laisant prévient26 :

L’auteur qui vit dans une petite commune des Basses-Alpes, en dehors du mouvement mathématique contemporain, a bien voulu faire appel à mon amitié pour me demander de l’aider dans la rédaction de ce volume ; j’ai donc été conduit à étudier ses méthodes avant qu’elles n’aient été soumises au public, et il m’a semblé intéressant d’en faire connaître la substance à la Société mathématique.
Il y a en effet une telle originalité, une telle puissance d’invention dans les méthodes dont il s’agit, que je serais bien étonné si l’Arithmétique n’arrivait pas quelque jour à les utiliser, soit pour obtenir des démonstrations plus simples de vérités connues déjà, soit pour découvrir des vérités nouvelles.

  • 27 [Laisant, 1894, 28].

25Il explique que les carrés magiques ou d’espaces hypermagiques sont l’occasion d’utiliser « des idées générales, ayant une bien autre portée qu’un simple amusement arithmétique27 ».

26Pour définir un « espace arithmétique modulaire », Laisant part d’un espace indéfini, délimité par une demi-droite horizontale Ox et une demi-droite verticale Oy, et d’un carré de 25 cases (Fig. 7 gauche) dans lequel sont placées successivement les lettres O, A de coordonnées x = 2 et y = 1, puis, « en marchant sur la droite OA du même pas régulier » les lettres B, C, D. Ce carré sert de motif en étant reproduit sur l’espace indéfini à deux dimensions. Les lettres du carré sont disposées de telle sorte qu’on obtient une succession de « lignes arithmétiques » de même direction (Fig. 7 droite). Cet espace à deux dimensions est dit de module premier 5 et de « direction » 2x + y.

Fig. 7. L’espace arithmétique modulaire de « direction » 2x + y.

Fig. 7. L’espace arithmétique modulaire de « direction » 2x + y.
  • 28 [Euler, 1849, 324].

27La notion d’espace arithmétique modulaire est ensuite appliquée pour trouver des « carrés diaboliques ». Euler a introduit dans son mémoire de 1779 « une nouvelle espèce de carrés magiques » tels que, « non seulement toutes les bandes horizontales et verticales, mais aussi toutes les diagonales et leur parallèles et complétées comme par exemple 17, 36, 34, 7, 12, 44 et 25 produiront la même somme, savoir 17528 » (Fig. 8). Ce carré est tel que si on le coupe selon une ligne horizontale ou verticale et si on le reconstruit en permutant les deux parties, on obtient encore un carré magique.

Fig. 8. Le carré « hypermagique » d’Euler.

Fig. 8. Le carré « hypermagique » d’Euler.

28Ces carrés sont appelés « hypermagiques » par Arnoux et « panmagiques » par Tarry. Laisant explique comment la méthode d’Arnoux permet de passer d’un espace arithmétique à un carré hypermagique. Le carré de côté 5 qui sert de motif contient les nombres de 0 à 24 disposés de manière naturelle (Fig. 9 gauche). Dans l’espace hypermagique, les lignes de « direction » 2xy sont des parallèles (Fig. 9 centre) donnant successivement les lignes horizontales d’un carré de côté 5 : 0, 7, 14, 16, 23, puis 11, 18, 20, 2, 9, etc (Fig. 9 droite). Ce carré est hypermagique de somme 60 :

0 + 7 + 14 + 16 + 23 = 60, 14 + 18 + 22 + 1 + 5 = 60, 7 + 20 + 13 + 1 + 8 + 21 = 60,
etc.

Fig. 9. L’espace arithmétique hypermagique et le carré hypermagique.

Fig. 9. L’espace arithmétique hypermagique et le carré hypermagique.
  • 29 [Arnoux, 1908, 74].
  • 30 [Barbin, 2017a, 122-123].
  • 31 [Arnoux, 1908, 70, 82],
  • 32 [Barbin, 2017a, 135-141].

29Arnoux utilise aussi une « grille », qu’il attribue en 1908 à Tarry, pour mieux voir le carré hypermagique dans l’espace hypermagique29. Tarry est un contrôleur des contributions qui vit près d’Alger. Il fréquente les congrès de l’AFAS depuis 1886 et il a pu rencontré Arnoux à celui de 1891, où il présente un de ses travaux sur sa « Géométrie générale ». Il commence à écrire sur les carrés magiques à partir de 1895, un an après que Laisant lui ait fait lire l’ouvrage d’arithmétique graphique de 1894, et il en deviendra un virtuose. Dans son article « La magie arithmétique dévoilée » de 1907, il rend hommage à Arnoux à propos des notions de grille et de constellation dans un carré de nombres30. De son côté, Arnoux consacre le dernier chapitre de son ouvrage de 1908 à des « Applications diverses. Grilles et constellations de Tarry » et il aborde le problème des 36 officiers31, dont Tarry donne une solution32 au congrès de l’AFAS de 1900. La « grille » du carré hypermagique est présente dans les Récréations arithmétiques d’Émile Fourrey de 1899 (Fig. 10).

  • 33 [Fourrey, 1899, 241].

Fig. 10. La « grille » du carré hypermagique chez Fourrey33.

Fig. 10. La « grille » du carré hypermagique chez Fourrey33.

Arnoux et Laisant au congrès de l’AFAS de Paris en 1900

  • 34 [Arnoux et Laisant, 1900, 36].

30Dans « Applications des principes de l’arithmétique graphique : congruences ; propriétés diverses », les deux auteurs expliquent ainsi l’intérêt expérimental de la méthode graphique34 :

Cette méthode [graphique] est par excellence celle qui convient à l’expérimentation, si précieuse surtout dans la recherche ; et si la preuve complète d’une vérité entrevue par l’expérience n’est pas entièrement obtenue, c’est alors qu’il est temps d’appeler à son secours l’analyse et les méthodes symboliques.
Dans les recherches arithmétiques, notamment, la méthode graphique peut offrir des ressources précieuses. […] En somme, pour nous, la théorie des congruences ne sera autre chose que celle des marches sur les espaces arithmétiques congruents.

31Ils commencent par présenter une table de « multiplication congruente » avec l’exemple d’une table modulo 13 (Fig. 11 gauche). À l’intersection d’une colonne, par exemple celle de 6, et d’une ligne, par exemple celle de 5, on doit trouver le reste modulo 13 de la multiplication de 6 par 5 (égale à 30), c’est-à-dire 4. La construction de la table est aisée car elle se fait ligne par ligne en ajoutant à la ligne précédente la première ligne du tableau. Par exemple, 4 s’obtient en ajoutant 11 + 6 = 17, car 17 = 13 + 4.

  • 35 [Arnoux et Laisant, 1900, 44, 51].

Fig. 11. Les tables35 de multiplication et des puissances modulo 13.

Fig. 11. Les tables35 de multiplication et des puissances modulo 13.

32Arnoux et Laisant présentent ensuite la « génération graphique des puissances » pour obtenir des tables de puissances congruentes, par exemple la table des puissances modulo 13 des nombres I (Fig. 11 droite). Un nombre de la ligne N s’obtient en multipliant le nombre qui est à sa gauche par N. Pour N = 5, 8 s’obtient en multipliant 12 par 5, car 60 = 4 × 13 + 8. Chaque ligne peut être aisément complétée en remarquant qu’elle est périodique. Par exemple pour N = 5, la période est 5, 12, 8, 1.

  • 36 [Arnoux et Laisant, 1900, 51].

33Une fois la table obtenue, les deux auteurs observent36 que la dernière colonne est composée uniquement de 1. Ceci signifie, par définition de la table, que pour tous les nombres N, nous avons que 12 est congru à 1 modulo 13. Pour eux, ceci est une preuve expérimentale du petit théorème de Fermat. Ils donnent d’autres preuves expérimentales de théorèmes arithmétiques, dont celui de John Wilson, et ils indiquent que la méthode graphique permet d’aborder la théorie des résidus quadratiques.

Le « théorème d’Arnoux » Laisant (1908)

  • 37 [Laisant, 1908, 221].

34Laisant publie dans la revue L’Enseignement mathématique, qu’il a fondée quelques années auparavant (voir chap. 16), un article sur un « nouveau théorème » dont l’énoncé est, d’une certaine façon, une collaboration d’Arnoux et de Tarry37 :

À propos des tables de numération inverse, dans son Introduction à l’étude des fonctions arithmétiques M. Gabriel Arnoux a en effet établi implicitement le théorème en question, par une constatation faite sur les figures, laquelle est une véritable démonstration. En examinant cette partie intéressante du livre dont il s’agit, M. Gaston Tarry, dont j’avais attiré l’attention sur ce point, a formulé l’énoncé […] :
Théorème d’Arnoux. – Soit M = m1 m2 …mn un nombre composé, dont les facteurs m1, m2, … mn sont premiers entre eux deux à deux ; appelons µ1, µ 2, … µn les quotients M/m1 = m2 m3… mn, … Si a1, a2, … an sont des nombres tels que l’ont ait
a1µ1 = mult. m1 + r, a2 µ 2 = mult. m2 + r, … anmn = mult. mn + r
il s’ensuit qu’on aura aussi
a1 µ 1 + a2 µ 2 + … + an µ n = mult. M + r.
La démonstration est d’une extrême facilité.

35Aussitôt l’article publié, des lecteurs écrivent à la revue que le théorème est déjà connu d’eux. En fait, l’intérêt du travail d’Arnoux réside dans la démonstration, qui repose sur ses « tables de numération inverse ». Prenons l’exemple du nombre M = 28 qui possède deux facteurs 7 et 4 (en général m1, m2) premiers entre eux. Pour chacun des 28 nombres 0, 1, 2, ... 27, notons r1 le reste de sa division par 7 et r2 le reste de sa division par 4. La table de numération inverse est composée de sept colonnes notées 0, 1, … 6 correspondant aux restes modulo 7 et de quatre lignes notées 0, 1, … 3 correspondant aux restes modulo 4. Le nombre 25 qui a pour restes r1 = 4 et r2 = 1 est placé dans la colonne 4 et dans la ligne 1. Ainsi, la constatation que tous les nombres de 0 à 27 remplissent la table correspond à ce que nous appelons aujourd’hui le « théorème des restes chinois » et elle démontre le « théorème d’Arnoux » (Fig. 12).

Fig. 12. La table de numération inverse.

Fig. 12. La table de numération inverse.

Conclusion. Expérimentation graphique et visualisation

  • 38 [Laisant, 1898, 105-106].

36Dans La Mathématique. Philosophie – Enseignement de 1898, Laisant explique que toutes les sciences sont expérimentales (voir chap. 10) et il cite Arnoux à propos de la géométrie de situation38 :

Dans cet ordre d’idées, je ne résiste pas au plaisir de citer un des ouvrages les plus originaux et les plus curieux qui aient été publiés dans ces dernières années, ouvrage d’autant plus intéressant qu’il n’émane pas d’un mathématicien de profession. Je veux parler du livre de M. Gabriel Arnoux : Arithmétique graphique.

37Nous avons vu, en effet, que les graphismes ont permis à Arnoux de concevoir dès 1894 une arithmétique expérimentale où les résultats sont obtenus de manière visuelle, et que, dans leur article commun de 1900, Arnoux et Laisant considèrent que la méthode graphique est « par excellence » celle qui convient à l’expérimentation.

  • 39 [Laisant, 1906, 140-141].

38Laisant prolonge ce propos au delà de l’arithmétique avec, par exemple, la solution du problème des paquebots, donnée dans son Initiation mathématique de 1906. Il raconte une anecdote « absolument authentique » arrivée à Lucas au cours d’un congrès scientifique, où se trouvaient plusieurs mathématiciens connus, auxquels il posa la question suivante39 :

Je suppose que chaque jour à midi, un paquebot parte du Havre pour New-York, et qu’en même temps un paquebot de la même compagnie parte de New-York pour Le Havre. La traversée se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l’autre. Combien le paquebot qui part du Havre aujourd’hui à midi rencontrera-t-il en route de navires de sa compagnie faisant la route opposée ?

  • 40 [Laisant, 1906, 141].

39Laisant prétend que quelques « illustres auditeurs » répondirent sept et que d’autres se turent. Sa solution est graphique avec, sur une première demi-droite horizontale, les journées qui se suivent au Havre et, sur la seconde les journées à New-York (Fig. 13). Les traversées de sept jours sont représentées par des obliques allant des unes aux autres. En comptant le nombre de points d’intersection du segment AB avec les obliques, il apparaît comme « certain que tout paquebot dont le graphique est AB rencontrera en mer 13 navires, plus celui qui entre au Havre à l’instant du départ, plus celui qui part de New-York à l’instant de l’arrivée, soit 15 en tout40 ».

  • 41 [Laisant, 1906, 140].

Fig. 13. La solution du problème des paquebots41.

Fig. 13. La solution du problème des paquebots41.
  • 42 [Laisant, 1906, 135].

40Laisant considère que les graphiques constituent « une algèbre sans calcul » qui permet de visualiser les problèmes et leurs solutions42 :

C’est en ce sens qu’on peut dire que les graphiques permettent de faire de l’Algèbre sans calcul, et même quelque chose de plus, puisque des graphiques ont pu être établis pour des fonctions qui ne sont pas algébriques. […] Il y a donc beaucoup de questions auxquelles s’appliquent avantageusement ces tracés, qui ont en outre l’avantage de parler à l’esprit par l’intermédiaire des yeux, de figurer les choses elles-mêmes. C’est là une qualité précieuse en matière de pédagogie.

41Il s’accorde ainsi avec le propos d’Arnoux de 1889, selon lequel « la graphie » est la « démocratisation de l’algèbre ».

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Bibliographie

Sources primaires

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Sources secondaires

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Notes

1 [Laisant, 1913, 338].

2 [Laisant, 1913, 338].

3 Les Mées autrefois sur http://www.lesmees.org, consulté le 23 décembre 2021.

4 [Arnoux, 1889a, 82].

5 https://www.afas.fr consulté le 23 décembre 2021. 

6 [Arnoux, 1886, 94].

7 [Arnoux, 1889a, 77-78].

8 [Barbin, 2017b].

9 [Barbin, 2017a, 122].

10 [Arnoux, 1894, vii].

11 [Arnoux, 1889a, 77].

12 [Lill, 1868, 360].

13 [Arnoux, 1889b, 190].

14 [Arnoux, 1891, 244].

15 [Arnoux, 1891, 246].

16 [Arnoux, 1891, 247].

17 [Arnoux, 1889b, 280].

18 [d’Ocagne, 1918, 184-195].

19 [Arnoux, 1889b, 215].

20 [Poincaré, 2007, 12].

21 [Deny, 1905, 196].

22 [Arnoux, 1893].

23 [Arnoux, 1894, vi].

24 [Arnoux, 1906, vii].

25 [Arnoux, 1908, v].

26 [Laisant, 1894, 28].

27 [Laisant, 1894, 28].

28 [Euler, 1849, 324].

29 [Arnoux, 1908, 74].

30 [Barbin, 2017a, 122-123].

31 [Arnoux, 1908, 70, 82],

32 [Barbin, 2017a, 135-141].

33 [Fourrey, 1899, 241].

34 [Arnoux et Laisant, 1900, 36].

35 [Arnoux et Laisant, 1900, 44, 51].

36 [Arnoux et Laisant, 1900, 51].

37 [Laisant, 1908, 221].

38 [Laisant, 1898, 105-106].

39 [Laisant, 1906, 140-141].

40 [Laisant, 1906, 141].

41 [Laisant, 1906, 140].

42 [Laisant, 1906, 135].

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Table des illustrations

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Titre Fig. 1. Les rochers des Mées appelés « Pénitents » 3.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 26k
Titre Tab. 1. Les interventions d’Arnoux dans les congrès de l’AFAS.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
Titre Fig. 2. La résolution graphique de Lill.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 13k
Titre Fig. 3. La multiplication des 2. latères ABC et ACE15.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 14k
Titre Fig. 4. La factorisation graphique d’un polynôme du 5e degré.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 55k
Titre Fig. 5. Les facteurs successifs d’un polynôme dans l’exposé de 188919.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 120k
Titre Fig. 6. L’instrument pour factoriser un polynôme d’Arnoux.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-8.jpg
Fichier image/jpeg, 24k
Titre Tab. 2. Les interactions entre Arnoux et Laisant sur l’arithmétique graphique.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-9.jpg
Fichier image/jpeg, 149k
Titre Fig. 7. L’espace arithmétique modulaire de « direction » 2x + y.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-10.jpg
Fichier image/jpeg, 25k
Titre Fig. 8. Le carré « hypermagique » d’Euler.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-11.jpg
Fichier image/jpeg, 142k
Titre Fig. 9. L’espace arithmétique hypermagique et le carré hypermagique.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-12.jpg
Fichier image/jpeg, 60k
Titre Fig. 10. La « grille » du carré hypermagique chez Fourrey33.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-13.jpg
Fichier image/jpeg, 71k
Titre Fig. 11. Les tables35 de multiplication et des puissances modulo 13.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-14.jpg
Fichier image/jpeg, 61k
Titre Fig. 12. La table de numération inverse.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-15.jpg
Fichier image/jpeg, 22k
Titre Fig. 13. La solution du problème des paquebots41.
URL http://journals.openedition.org/sabix/docannexe/image/3271/img-16.jpg
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Pour citer cet article

Référence papier

Évelyne Barbin et René Guitart, « Chapitre 4. Une collaboration de Charles-Ange Laisant. L’algèbre et l’arithmétique graphiques de Gabriel Arnoux »Bulletin de la Sabix, 70 | 2023, 51-63.

Référence électronique

Évelyne Barbin et René Guitart, « Chapitre 4. Une collaboration de Charles-Ange Laisant. L’algèbre et l’arithmétique graphiques de Gabriel Arnoux »Bulletin de la Sabix [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 26 avril 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3271 ; DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3271

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Auteurs

Évelyne Barbin

Laboratoire de mathématiques Jean Leray et Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques des Pays de la Loire, Université de Nantes. Professeure émérite en épistémologie, histoire des sciences et des techniques au Laboratoire de mathématiques Jean Leray (UMR 6629) et à l’IREM, Université de Nantes. Principaux thèmes de recherches : histoire des mathématiques et de leur enseignement, histoires de la géométrie et de l’analyse, de la démonstration et des instruments.

Articles du même auteur

René Guitart

Université Paris VII Diderot. Mathématicien et philosophe, enseignant-chercheur de mathématiques à Paris 7 Denis Diderot jusqu’en 2012. Thèmes de recherche : théorie des catégories, histoire des catégories, de la géométrie, de l’analyse, de la logique, de la théorie des modèles, des probabilités et de la théorie du potentiel, philosophies de Nietzche et de Bachelard.

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